Некоторые главы анализа и приложение к финансовой математике

А. Ю. Веретенников, Е. В. Веретенникова

НЕКОТОРЫЕ ГЛАВЫ АНАЛИЗА

ИПРИЛОЖЕНИЕ

КФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

Москва 2016

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ЧАСТЬ 1. НЕКОТОРЫЕ ГЛАВЫ АНАЛИЗА

1 Неравенство Коши – Буняковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Теорема Вейерштрасса о приближении полиномами . . . . . . . . . . 9

3 Тригонометрическая теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Теорема Бернулли «в схеме серий» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Теорема де Муавра – Лапласа «в схеме серий» . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Экспоненциальные оценки в теореме де Муавра – Лапласа . . . 22

ЧАСТЬ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

7 Одношаговая биномиальная модель рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Простейший пример портфеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.3 Эквивалентный портфель, арбитраж. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.4 Цена опциона колл в одношаговой модели. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.5 Другое представление решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.6 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.7 Общий (европейский) опцион и его цена . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Двушаговая модель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.1 Двушаговая модель: общий случай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.2 Однородная двушаговая модель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Многошаговая биномиальная модель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10 Предельный переход в однородной многошаговой модели. . . . . 50

11 Формула Блэка – Шоулса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

Введение

Данное пособие состоит из двух частей и задумано как начало серии учебных пособий, объединенных несколькими идеями. Каждая из этих двух частей содержит определенную главу курса математики (анализа и линейной алгебры), а итогом является знаменитая формула Блэка и Шоулса, играющая важную роль в современной финансовой математике.

Первая часть содержит одну стандартную тему из стандартного курса Анализа – теорему Вейерштрасса о приближении непрерывной функции на отрезке –

идве классические темы из курса теории вероятностей – закон больших чисел

ицентральную предельную теорему, дополненные некоторыми экспоненциальными неравенствами. Особенность изложения состоит в том, что термин «вероятность» неиспользуется. Этосделаноподвумпричинам. Во-первых, какпоказывает преподавательский опыт, существует когорта студентов, вполне подготовленных к изучению данного материала, но слабо владеющая необходимыми элементами теории вероятностей. Конечно, идеально было бы всем им овладеть этими элементами на требуемом уровне, однако, иной раз это бывает трудно достижимо. В частности, хотя теория вероятностей давно уже является частью «строгой математики», такой как анализ и другие, тем не менее начальное изучение ее требует некоторых дополнительных усилий и просто привычки к новым терминам, часто имеющим другой смысл, взятый из повседневной жизни. Соответственно, одной из целей нашей первой части являлось продемонстрировать, что некоторые основополагающиевероятностныеидеимогутбытьизложенывообщебезпривлечения самого слова вероятность. Авторы надеются, что эти идеи окажутся доступными большему числу студентов. Во-вторых, это сделано с надеждой, что в дальнейшем знакомство с «настоящей» теорией вероятностей может быть существенно облегчено, поскольку многие существенные части чисто аналитической составляющей будут студенту уже знакомы. В некотором смысле это, конечно, эксперимент, опирающийся на преподавательский опыт авторов. Последний включает в себя преподавание в нескольких вузах на двоих уже около восьми десятков лет.

Итак, первая часть начинается с напоминания некоторых сведений из стандартного курса Анализа – теоремы Вейерштрасса в двух вариантах, полиномиальном и тригонометрическом, полиномами или тригонометрическими полиномами, при этом второй вариант выводится из первого. Доказательство первого доказывается с помощью знаменитого метода Бернштейна, однако, как уже было сказано, без упоминания о вероятности. В следующих двух параграфах изучается сходимость в теореме де Муавра – Лапласа и некоторые дополняющие ее экспоненциальные оценки; сама теорема является классическим результатом теории вероятностей, однако, доказательство проводится методами Анализа; излагается также схема серий, которая необходима для приложения к финансовой модели.

4

Вторая часть пособия является адаптацией учебного материала из раздела Финансовая Математика в дискретном времени и одновременно приложением теорем из первого раздела к весьма практической модели. Дается описание простейшего финансового рынка, состоящего из одной ценной бумаги – акции –

ибезрискового бонда или банковского счета. Отметим, что все термины будут разъяснены и никакое предварительное знание элементов экономики или финансовой теории не предполагается. В каждый (дискретный) момент времени цена акции случайным образом растет или падает, каждый раз имея выбор из двух возможных значений. В такой модели рынка, называемой биномиальной, вводится понятие опциона (ценной бумаги) «европейский колл» и обсуждается понятие справедливой цены для него на основе принципа «отсутствия арбитража». С помощью простейших линейных уравнений выводится справедливая цена для одношаговой и многошаговой моделей. Одной из вершин теории

ицелью данной части пособия является знаменитая формула Блэка – Шоулса

(Нобелевская премия по экономике 1997 – R. C. Merton and M. S. Scholes) не-

прерывного времени. Для обоснования этого предельного перехода используются результаты первой части.

Отметим, что само по себе исключение вероятности во второй части не претендует на оригинальность, так как, например, первоначальный вывод Блэка – Шоулса основывался исключительно на уравнении теплопроводности, то есть на чисто детерминированной науке. Тем не менее само это уравнение с небольшой натяжкой можно считать вариантом центральной предельной теоремы, только изложенной на другом языке.

Почему авторы считают такой курс полезным для МПГУ? Включение подобного типа курсов – зачастую несколько более сложного уровня – стало традиционным для большинства университетов в нашей стране и во всем мире и пользуется большой популярностью у студентов, в частности, из-за финансовой направленности. Вот поэтому мы и предлагаем данный лекционный курс.

Почемутакойкурсполезенстудентам-математикам? Ондаетвозможностьизучить еще одну главу математики и показывает перспективное направление для приложений. Конечно, не надо думать, что, освоив эту главу, можно явиться на биржу и покорить ее. Однако это факт, что все дилеры на бирже формулой Блэка – Шоулса владеют или, как минимум, она имеется в их компьютерах. Стало быть, материал данных лекций имеет и большой практический смысл.

А. Ю. Веретенников1, Е. В. Веретенникова2, Москва, 2014

1Университет Лидса, Великобритания; Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации и Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.

2Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия.

5

f g

1 1 1/2 1 1/2 fg dx ≤ f2 dx g2 dx .

0 0 0

a, b a2 + b2 > 0

(af + bg)2 dx = 0.

6

1/2 1/2

f2 dx g2 dx > 0.

( ) := ˜( ) ± ˜( ) h± x f x g x .

7

8

f2 = 0

> 0

2|fg| ≤ 2g2 + f2/ 2.

λ R

φ(λ) := (λ f + g)2 dx ≡ λ2 f2 dx + 2λ fg dx + g2 dx .

φ(λ) ≥ 0

2

0 ≥ D := 2 fg dx − 4 f2 dx g2 dx ,

9

f

[0, 1]

an := sup |f(x) − f(k/n)Cnkxk(1 − x)n−k| → 0, n → ∞.

0≤x≤1

+|f(x) − f(k/n)|Cnkxk(1 − x)n−k ≡ S1 + S2.

k:|x−k/n|>δ

k Cnkxk(1 − x)n−k =

(x + (1 − x))n = 1

10