Некоторые главы анализа и приложение к финансовой математике

φξn (t) := 01 exp(itξn(x)) dx

t R1

n → ∞ pn → p (0, 1)

n

ˆ

ˆ

(x1

, . . . , xn) := (1(xk ≤ pn) − 1(xk > pn))

Sn = S

∞

1

2

/2 dz → 0, n → ∞.

− −∞ f(z) √2π e−z

ˆ

ˆ

Sn = 2Sn − n

f(

Sn − n(2pn − 1)

) = f(

Sn − npn

),

n

−

ˆ

−

2

np

(1

pn)

npn(1

pn)

Sn

Sn

pn → p (0, 1)

n → ∞

n

Sn = S(x1, . . . , xn) =

1(xk ≤ pn),

k=0

x1, . . . , xn [0, 1]

ε > 0

c > 0

1(| n − pn| ≥ ε)dx1 . . . dxn ≤ 2 exp(−cn), n → ∞.

A =

Sn

A ≤ exp(−λεn)

exp(λ|Sn − npn|)dx1 . . . dxn

ϕ1(0) =

(1(x1 ≤ pn) − pn))dx1 =

0pn

1 dx1 − pn = 0,

ψ1(0) =

(−1(x1 ≤ pn) + pn))dx1 = − 0pn

1 dx1 + pn = 0.

n

npn(1 pn)

1

n

∞

C(λ) := sup

exp λ

Sn − npn

dx

. . . dx

<

.

−

npn(1

pn)

1

n

exp(λ

Sn

− npn

) dx

. . . dx

−

n

= 1 exp(λ

1(x1 ≤ pn) − pn

) dx1

n

np(1 pn)

n

np(1 pn)

n

= p

exp(λ

1

− pn

) + q

exp(λ

−pn

)

−

−

n

= 1 +

cλ

+ o(1/n) .

n

n→∞

n

n

= exp cλ < ∞,

lim

1 +

cλ

+ o(1/n)

λ > 0

n

npn(1 pn) ≥

1

n

sup

1(

Sn

− npn

N) dx

. . . dx

−

≤

−

n

npn(1 pn)

1

n

exp(

λN) sup

exp(λ

Sn

− npn

) dx

. . . dx

−

≤ C(λ) exp(−λN).

λ > 0

1(

Sn − npn

N) = 1(λ

Sn − npn

λN)

npn(1 − pn) ≥

npn(1 − pn) ≥

≤

exp(

−

λN) exp(λ

Sn − npn

) .

npn(1 − pn)

2

−

16

16

3

3

3

P0 =

2

−

16

S0

.

3

3

P0 |N1

=

2

×

11

−

16

=

22 − 16

= 2.

3

3

3

P0 |N2

=

2

×

8

−

16

=

16 − 16

= 0.

3

3

3