Некоторые главы анализа и приложение к финансовой математике

C0

= e−rnδ

√

p˜ =

eδS0 − eμδ−σ δS0

,

q˜ = 1 p˜.

−

eμδ−σ δS0 − eμδ−σ δS0

p,˜ q˜

δ

n

1/2

p˜ = p˜n

p˜

1

+

√

r − μ − σ2/2

=

1

+

√

r − μ − σ2/2

.

δ

T

2

n ≈

2σ

2

2σ√n

=

1

+ √

r − μ − σ2/2

,

p

T

n

2

2σ√n

−

√

r

−

μ − σ2/2

2

σ2

1

δ

≈

1.

n ≈

σ

n → ∞

Sˆn − n(2pn − 1)

dx1 . . . dxn

2 npn(1

pn)

−

0

f(z)

√

e−z

/2 dz

→ 0.

−∞

n

n

σn ≈ 1

n

(1(xj

≤

p˜)

−

1(xj > p˜))

σ√

j=1

= √n

(1(xj

p˜)

1(xj

> p˜)) σ√T

1

n

√

j=1

≤

−

1))

n

= σ √

(1(xj

≤

p˜)

−

1(xj

> p˜)

−

(2p

−

1) + (2p

−

j=1

√

√

n

T

T

= σ √

n(2p

−

1) + σσn

σ

√

(1(xj

≤

p˜)

−

1(xj

> p˜)

−

(2p

−

1) .

n

n

n

j=1

f

√

n

T

σn√n

j=1(1(xj ≤ p˜)

1

2

→ f(z)

√

e−z

/2 dz,

n → ∞.

2π

μT + σ √

1) = μT + σ √

n√

r − μ − σ2/2

σ2

).

T

n(2p

−

T

= T (r

T

√n

√n

2σ√n

− 2

C0

n → ∞

δ → 0

C0 = e−rT

(S0e(r−σ

√2π e−z

/2)T +σ√T z − K)+

/2 dz.

|z| ≤ N

N

|z| > N + 1

− (S0e(r−σ

/2)T +σ√T z − K)+ √2π e−z

/2 dz

≤

n

√

h(S0eμT +( j=1

δ − K)+dx1 . . . dxn

−

2

√

1

2

/2 dz

h(S0e(r−σ

/2)T +σ T z − K)+ √2π e−z

+

n

√

g(S0eμT +( j=1

δ − K)+dx1 . . . dxn

2

√

1

2

/2 dz .

−

g(S0e(r−σ

/2)T +σ T z − K)+ √2π e−z

h

N

n → ∞

g

N

2

2

n

(Se(r−σ

/2)T +σ√T z − K)+ √2π e−z

/2 dz

,

d

±

= d

±

(t) =

log(S/K) + (r ± σ2/2)T

.

σ√T

T

1

2

p1(z) =

√

e−z

/2

2π

z : Se(r−σ2/2)T +σ√

z ≥ K,

T

e(r−σ2/2)T +σ√

z ≥ K/S,

z :

T

z ≥ log(K/S),

T

≥

log(K/S) − r − σ2/2

T

σ

T

z

√

.

∞

2

C0 = e−rT

Se r−

σ

2

∞

2

= e−rT S

e r−

σ

T +σ√T z p1(z) dz

2

K

σ2

log(

S )−(r−

)T

2

σ√

T

∞

−e−rT K

K

σ2

p1(z) dz

log(

S )−(r−

)T

2

σ√

T

log(

K

σ2

T

−

S )− r−

2

σ√

T

T −σ√

e r−

σ2

zp1(z) dz

= e−rT S

T

2

−∞

K

σ2

T

−

log( S )− r−

2

σ√

T

−e−rT K

p1(z) dz

S

σ2

log(

)+ r−

2 T

K

σ√

T

T −σ√

erT e −

σ2

zp1(z) dz

= e−rT S

T

2

−∞

log(

S

)+ r−

σ2

T

K

2

σ√

T

−e−rT K