Некоторые главы анализа и приложение к финансовой математике

n

(nδ)2

n → ∞

n

n

Ckxk(1

−

x)n−k

k

−

nx

2 = (nx)2

Ckxk(1

−

x)n−k

k=0

n

|

|

k=0

n

n

n

−

2nx

Ckxk(1

−

x)n−kk +

Ckxk(1

−

x)n−kk2

k=0

n

k=0

n

n

n

= (nx)2

−

2nx

Ckxk(1

−

x)n−kk +

Ckxk(1

−

x)n−kk2.

k=0

n

k=0

n

n

n

j = k − 1

Ckxk(1

−

x)n−kk =

Ckxk(1

−

x)n−kk

n

n

k=0

k=1

n

n!

= k=1

xk(1 − x)n−k

(k − 1)!(n − k)!

= n

n−1

(n − 1)!

xj+1(1

−

x)n−1−j

j=0 j!(n − 1 − j)!

n−1

(n − 1)!

xj (1

−

x)n−1−j

= nx

j=0 j!(n − 1 − j)!

n−1

= nx

j=0

Cnj −1xj (1 − x)n−1−j = nx.

n

n

Ckxk

(1

−

x)n−kk2

=

Ckxk(1

−

x)n−kk2

k=0

n

k=1

n

n

n

k=1

k=2

= n(n

−

1)x2

Ci

xi(1

−

x)n−2−i = n(n

−

1)x2.

n−2

i=0

n

Ckxk(1

−

x)n−k

k

−

nx

2

k=0

n

|

|

n

n

= (nx)2

−

2nx

Ckxk(1

−

x)n−kk +

Ckxk

(1

−

x)n−kk2

n

n

k=0

k=0

ε

δ > 0

S1 ≤ ε

S2 ≤

2L

nx(1 − x) =

2L

x(1

− x) → 0, n → ∞.

(nδ)2

nδ2

S2 ≤ ε

n

n ≥ nε

limn→∞ an = 0

f

[0, 1]

n

λk R

Tn(x) =

k=0 ck exp(iλkx)

ck C

an := sup |f(x) − Tn(x)| → 0,

n → ∞.

0≤x≤1

n

sup

|f(x) − Bn(x)| ≤ ε,

x [0,1]

B

(x) =

f(k/n)Ckxk(1

−

x)n−k

n

n

N

cmeimx/(2π)| ≤ ε.

sup |Bn(x) −

0≤x≤1

m=

−

N

N

Tn(x) = m=−N cmeimx/(2π)

N

cmeimx/(2π)|

sup

|f(x) − Tn(x)| ≤

sup |Bn(x) −

m=

0≤x≤1

0≤x≤1

−

N

+

sup |f(x) − Bn(x)| ≤ ε +

sup |f(x) − Bn(x)| ≤ 2ε.

0≤x≤1

0≤x≤1

n

− pn

ε > 0

n → ∞.

1

≥ ε dx1 . . . dxn → 0,

Sn

pn

k=1

0

0

k=1

1(| n

− pn| ≥ ε)dx1 . . . dxn

2

Sn

≤ |

nε

|

n

2

1

≤ |

Sn − npn

dx

. . . dx

nε

|

1

n

Sn

− npn

2dx

. . . dx

1

1

1

n

=

0

. . . 0

(k=1 hk(xk))2 dx1 . . . dxn

(nε)2

=

npn(1 − pn)

=

pn(1 − pn)

→

0,

n

→ ∞

.

(nε)2

nε2

α(t)

β(t) t → 0

t → ∞

h1(x1)

exp(iλ

)

npn(1 − pn)

= 1 + iλ

h1(x1)

1

λ2

h12(x1)

+ o(

|λ|2

).

o( |λ|2 )

− 2 npn(1 − pn)

x1

npn(1 − pn)

n

n

|λ|2

x1

n

h1(x

)

exp(iλ

1

)dx1

npn(1

pn)

1

2

−

λ

2

h1(x1)

= 1 −

λ2

dx1

+ o(

| |

)

2

npn(1 − pn)

n

2

|λ|

2

= 1 −

λ

+ o(

).

2n

n

n → ∞

f(x) = exp(iλx)

npn

(1 − pn)

1

n

f(

Sn

− npn

)dx

. . . dx

λ

n

= 1 −

λ2

2

)

+ o(

| |

→ exp(−λ2/2).

2n

n

v(λ) :=

1

z2/2

μ :=

2

(μ) := v(λ)

vexp(iλz) √2π e−

dz

λ

u

λ

μ

u

u (μ) =

−

u(μ)/2,

u(0) = 1,

> 0

N

N

1

2

−N

√

e−z

/2 dz ≥ 1

− .

2π

g

0 ≤ g(x) ≤ 1, x R

g(x) = 1, |x| ≤ N, & g(x) = 0, |x| ≥ N + 1.

h(x) := 1 − g(x).

∞

dx

1

|g| ≤ 1

> 0| −∞ g(x)

g | ≤

[−N, N]

m

sup

|g(x) −

bkeiλkx| ≤ /(2N + 2),

|x|≤N+1

k=1

m

sup

|1 −

bkeiλkx| ≤ /(2N + 2).

|x|≤N+1

k=1

m

|

g := k=1 bkeiλkx

n

2

|

np(1 pn)

1

n −

√2π

g

(

Sn

− npn

)dx

. . . dx

g

(z)

1

e−z /2

< .

−

˜

dxn = 1 −

˜

dxn.

h(Sn)dx1 . . .

g(Sn)dx1 . . .

1

1

u

0

1(|ξ(x)| > 2/u) dx ≤

−u(1 − φξ(t)) dt.

u