Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
Е. И. АЛГАЗИН, О. Б. ДАВЫДЕНКО, Н. П. САВИН
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2022
УДК 621.3.011.7(075.8) А 456
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В. А. Хрусталев д-р техн. наук, профессор В. П. Разинкин
Работа выполнена на кафедре ЭЭ НГТУ для студентов II курса РЭФ специальности 28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника
Алгазин Е. И.
А 456 Нелинейная электротехника в примерах и задачах: учебное пособие / Е. И. Алгазин, О. Б. Давыденко, Н. П. Савин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2022. – 71 с.
ISBN 978-5-7782-4635-5
В настоящем учебном пособии приведены примеры решения задач нелинейной электротехники методами численного интегрирования дифференциальных уравнений Дуффинга, описывающих исходные электрические схемы с нелинейными реактивными элементами. Приведены также примеры решения задач, описывающих нелинейные схемы с помощью кубических сплайнов. Во всех примерах использованы конкретные значения элементов, изкоторых составлены электрические схемы.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника, а также всех желающих изучать нелинейную электротехнику.
|
УДК 621.3.011.7(075.8) |
ISBN 978-5-7782-4635-5 |
© Алгазин Е. И., Давыденко О. Б., |
|
Савин Н. П., 2022 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2022 |
Оглавление |
|
Предисловие..................................................................................................................... |
4 |
1. Основныепонятия. Нелинейныесистемыииххарактеристики.......................... |
5 |
2. Расчетдросселя, основнаякриваянамагничиванияиеетаблица......................... |
8 |
3. ЧисленноерешениеуравненияДуффинга............................................................. |
11 |
4. Использованиеметодовчисленногоинтегрированиядлярешения |
|
уравненийДуффинга................................................................................................ |
19 |
Пример4.1.................................................................................................................. |
19 |
Пример4.2.................................................................................................................. |
24 |
Пример4.3.................................................................................................................. |
25 |
Вольт-кулоннаяхарактеристикаиеетаблица....................................................... |
27 |
5. Использованиекубическихсплайновдлярешениязадачнелинейной |
|
электротехники.......................................................................................................... |
29 |
5.1. ПримерысаналитическизаданнойзависимостьюU(I) либоI(U) .............. |
29 |
Пример5.1.................................................................................................................. |
29 |
Пример5.2.................................................................................................................. |
32 |
Пример5.3.................................................................................................................. |
34 |
5.2. Примерысиспользованиемкубическихсплайновдляинтерполяции |
|
табличнозаданнойзависимостиU(I) либоI(U) нелинейногоэлемента............ |
37 |
Пример5.4.................................................................................................................. |
38 |
Пример5.5.................................................................................................................. |
39 |
Пример5.6.................................................................................................................. |
45 |
5.3. Примерысиспользованиемкубическихсплайновдляинтерполяции |
|
графическизаданнойзависимостиU(I) либоI(U) нелинейногоэлемента........ |
49 |
Пример5.7.................................................................................................................. |
49 |
Пример5.8.................................................................................................................. |
53 |
Пример5.9.................................................................................................................. |
56 |
Пример5.10................................................................................................................ |
59 |
Пример5.11................................................................................................................ |
62 |
Пример5.12................................................................................................................ |
65 |
Заключение..................................................................................................................... |
69 |
Библиографическийсписок......................................................................................... |
70 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
В профессиональной деятельности как бакалавров, так и магистрантов возникают потребности в расчете нелинейных цепей. В настоящей работе приведены примеры таких расчетов. Эти примеры основаны на использовании кубических сплайнов и численном решении дифференциальных уравнений. Результаты численного решения дифференциальныхуравненийможнопредставитьввидефазовогопортретанафазовой плоскости.
Настоящая работа может быть полезна как бакалаврам и магистрантам, изучающим электротехнику, таки тем, кто самостоятельно изучает дисциплину «Нелинейная электротехника».
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Электрическая цепь считается нелинейной, если хотя бы один из ее элементов будет нелинейным. Нелинейными элементами могут быть сопротивления, индуктивности и емкости. При исследовании нелинейной электрической цепи приходится считаться с характеристиками нелинейных элементов, т. е. с нелинейной зависимостью:
напряжения от тока
U f1(I ) ;
потокосцепления от тока
f2 (I) ;
заряда от напряжения
Q f3(I) .
Эти зависимости представляют собой характеристики соответствующих элементов. Так, принято говорить о вольт-амперной характеристике сопротивления, о потокоамперной характеристике катушки и о кулонвольтнойхарактеристикеконденсатора. Если эти зависимостилинейны, то и соответствующие им элементы линейны.
Характеристики нелинейных элементов, полученные экспериментально, в большинстве случаев могут быть заданы в форме таблиц или кривых, а также в виде приближенных аналитических выражений. В зависимости от физической природы они могут иметь тот или иной вид и быть представлены в разнообразных формах.
5
Классификацию характеристик нелинейных элементов y f (x)
можно провести по различным признакам в зависимости от условий исследования. Нелинейные характеристики часто подразделяются:
на симметричные, если
f (x) f ( x) ,
и несимметричные, если
f (x) f ( x) .
y |
y |
||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а |
б |
|
Рис. 1.1 |
Возможно также |
подразделение характеристик на однозначные |
и многозначные. Характеристики, показанные на рис. 1.1, а и б, являются однозначными. Примеры многозначных характеристик показаны на рис. 1.2 (а – петля гистерезиса у ферромагнитных материалов; б – характеристика феррорезонансной цепи; в – характеристика динатронного эффекта). Многозначность характеристик играет существенную роль при стабилизации, в релейных и других схемах.
В некоторых случаях характеристики могут подразделяться на монотонно изменяющиеся и немонотонно изменяющиеся. На рис. 1.3, а–в показаны:
а – монотонно возрастающая вольт-амперная характеристика, у которой на всем протяжении
dUdI 0 ;
6
y |
|
|
y |
y |
||||
|
|
x |
|
|
x |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а |
|
б |
|
в |
||
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
б – монотонно падающаявольт-ампернаяхарактеристика, у которой на всем протяжении
dUdI 0 ;
в – немонотонно изменяющаяся вольт-амперная характеристика, у которой
dUdI 0 .
I 
I 
I 
U |
U |
U |
а |
б |
в |
|
Рис. 1.3 |
|
Такое их подразделение имеет большое значение при исследовании вопросов колебаний.
7
2. РАСЧЕТ ДРОССЕЛЯ. ОСНОВНАЯ КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
И ЕЕ ТАБЛИЦА
Расчет дросселя предназначен для нахождения индуктивности, которая используется далее в примерах.
Параметры сердечника представлены на рисунке.
сталь 2211 |
|
c |
S |
|
|
d |
lср |
|
|
Размеры дросселя |
|
S 10 10 мм2;
lср 2 4.5 2 2.5 9 5 14 см;
c = 1.5 см; d = 3.5 см.
Параметры дросселя:
Imax 10 A;
J2 А/мм2;
W – число витков обмотки дросселя;
8
K – коэффициент заполнения окна = 0.9;
W 10(cd)KJ / Imax ;
|
B |
– магнитная проницаемость; |
|
0H |
|||
|
|
L – индуктивность дросселя;
L 4 10 7 W 2S ; lср
B = 1.5;
H = 1600;
0 4 3.14159 10 7 ;
|
B |
746. |
|
0H |
|||
|
|
На основании данных, представленных в таблице, выбираем значения В и Н.
Основная кривая намагничивания. Сталь 2211 и 2312
В, |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тл |
|
|
|
|
|
H, А/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
68 |
69 |
70 |
71 |
|
72 |
73 |
73 |
74 |
75 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
76 |
77 |
78 |
79 |
|
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
86 |
87 |
88 |
89 |
|
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
96 |
99 |
103 |
108 |
|
113 |
118 |
122 |
126 |
131 |
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
140 |
145 |
150 |
155 |
|
160 |
165 |
170 |
175 |
180 |
185 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
190 |
195 |
200 |
205 |
|
210 |
215 |
220 |
225 |
230 |
235 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
240 |
246 |
252 |
258 |
|
264 |
270 |
276 |
282 |
288 |
294 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
300 |
310 |
320 |
330 |
|
340 |
350 |
360 |
370 |
380 |
390 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
400 |
410 |
420 |
430 |
|
440 |
460 |
470 |
480 |
500 |
520 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
550 |
580 |
610 |
650 |
|
690 |
730 |
780 |
830 |
880 |
940 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Окончание таблицы
В, |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тл |
|
|
|
|
|
H, А/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
1000 |
1060 |
1120 |
1180 |
|
1240 |
1300 |
1360 |
1420 |
1480 |
1540 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
1600 |
1750 |
1900 |
2050 |
|
2200 |
2350 |
2500 |
2700 |
2900 |
3100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
3400 |
3600 |
3800 |
4100 |
|
4400 |
4700 |
5300 |
5900 |
6500 |
7100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,7 |
7700 |
8200 |
8900 |
9400 |
|
10 000 |
10 600 |
11 100 |
11 700 |
12 200 |
12 800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,8 |
13 400 |
14 000 |
14 600 |
15 200 |
|
15 800 |
16 400 |
17 000 |
17 600 |
18 200 |
18 800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,9 |
19 400 |
20 000 |
21 800 |
23 700 |
|
25 700 |
27 800 |
30 000 |
32 200 |
34 400 |
36 600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
38 800 |
41 000 |
43 200 |
45 400 |
|
47 600 |
49 800 |
52 000 |
54 500 |
57 500 |
60 500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
65 500 |
72 500 |
80 000 |
88 000 |
|
96 000 |
104 000 |
112 000 |
120 000 |
128 000 |
136 000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,2 |
144 000 |
152 000 |
160 000 |
168 000 |
|
176 000 |
184 000 |
192 000 |
200 000 |
208 000 |
216 000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
224 000 |
232 000 |
240 000 |
248 000 |
|
256 000 |
264 000 |
272 000 |
280 000 |
288 000 |
296 000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,4 |
304 000 |
312 000 |
320 000 |
328 000 |
|
336 000 |
344 000 |
352 000 |
360 000 |
368 090 |
376 000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбранные значения В и Н в дальнейшем используются для расчета индуктивности дросселя, которая, в свою очередь, служит для расчета коэффициентов аппроксимирующего полинома.
10