Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdfи токов резисторов исследуемой цепи (рис. 5.17) определяются нелинейной системой алгебраических уравнений:
|
I |
I |
2 |
I |
3 |
0, |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1(I1) U2 (I2 ) U0 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 (I2 ) U3(I3) 0. |
||||||
Зададимначальныезначениядля I1 , I2 и I3 : |
|||||||
I1 : 0,1 А; |
I2 : 0,1 А; |
I3 : 0,1 А. |
|||||
Решение
Given
I1 I2 I3 0,
U1(I1) U2 (I2 ) U0 0, U2 (I2 ) U3(I3) 0,
U : Find I1, I2 , I3 , U т 0,061 0,031 0,031 .
Найдем значения U1 , U2 и U3 с помощью выражения их вольт-ам- перных характеристик:
U1(I1) 6,792 В; |
U2 (I2 ) 3,202 В; |
U3(I3) 3,202 В. |
Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:
U1(I1) U2 (I2 ) U0 6,255 10 3, U2 (I2 ) U3(I3) 0,
I1 I2 I3 1 0 3.
61
И, наконец, проверим соблюдение баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи.
Мощность генерируемая:
P01 : I1U0, P01 0,61 Вт.
Мощность потребляемая:
P02 : I1U1(I1) I2U2 (I2 ) I3U3(I3),
P02 0,613 Вт.
Задача решена верно.
Пример 5.11
Вычислить значения тока и напряжения нелинейного резистора R2 (рис. 5.18), определенного своей вольт-амперной характеристикой
(табл. 5.10), если |
U |
0 |
10 В, |
R 5 Ом, |
R 4 Ом, |
G R 1 |
См, |
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
1 |
|
|
G2 R3 1 См, Iк R1 1U0 А.
|
|
Рис. 5.18 |
|
|
Рис. 5.19 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
0 |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, А |
0 |
|
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
На основании либо ВАХ, либо зависимости I(U) произведем за-
мену нелинейного резистора источ- |
|
||||
ником тока (по теореме компенса- |
|
||||
ции) (см. рис. 5.19). |
|
|
|||
Преобразуемисточникнапряже- |
|
||||
ния U0 и резистор R1 в источник |
Рис. 5.20 |
||||
тока |
I |
к |
, проводимость |
G R 1 , |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
а также положим G2 R3 1 , Iк R1 1U0 (рис. 5.20). Интерполируем ВАХ нелинейного резистора (табл. 5.10).
1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 7 2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
т |
|
Z : |
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
. |
|
|
|
|
|||||||
2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z
1
Y : Z
2
.
3. Определим выражение ВАХ нелинейного резистора I2 (U ) :
I2 (U ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U .
Схема, изображенная на рис. 5.20, пригодна для решения задачи методом узловых напряжений.
Пусть U0 0
G1 G2 U1 Iк I2 (U2 ) ,
где U2 U1 U0 U1.
63
В нашем случае:
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк.
РешимданноеуравнениеспомощьюсредствMathcad, задавначальное значение U1 : 1 .
Given
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк 0,
U : Find(U1), U 2,703.
Найдем значение тока через нелинейный элемент:
I2 (U1) 0,784 А.
Произведем проверку, подставив U1 и I2 (U1) в исходное уравнение:
(G1 G2 )U1 I2 (U1) Iк 2,614 10 4 .
Произведем проверку баланса мощностей данной схемы. Генерируемая мощность:
P01 : (Iк I2 (U1))U1, P01 3,288 Вт.
Потребляемая мощность:
P |
: (U |
)2 (G |
G |
), |
P 3,288 Вт. |
02 |
1 |
1 |
2 |
|
02 |
Генерируемая и потребляемая мощности равны.
64
Пример 5.12
Рассмотрим пример на применение метода контурных токов схемы, представленной на рис. 5.21, в которой требуется определить токи ветвей.
По теореме компенсации заменим нелинейный резистор R6 источником напряжения U6 (I6 ) , вольт-амперная характеристика которого
задана таблично (см. табл. 5.11).
Получим схему, рис. 5.22. С использованием этой схемы применим метод контурных токов.
Рис. 5.21 |
|
|
|
Рис. 5.22 |
|
||
|
|
|
|
|
Таблица 5.11 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
I, А |
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
4,3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
65
ЗапишемврабочийдокументMathcad численныезначенияпарамет-
ров источников напряжений и резисторов: |
|
|
U01 : 50 В; U04 : 40 В; U05 : 40 В; |
R1 : 4 Ом; |
R2 : 5 Ом; |
R3 : 4 Ом; R4 : 10 Ом; R5 : 10 Ом; R6 : 6 Ом. |
|
|
Далее получим аналитическое выражение вольт-амперной характеристики нелинейного резистора U6 (I6 ) .
1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 6 2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
4,3 |
6 |
|
т |
|
Z : |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
. |
|
|
|
|
||||||
2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z
1
Y : Z
2
.
3. Определим выражение ВАХ нелинейного резистора:
U6 (I ) : interp cspline X ,Y , X ,Y , I .
Зададим начальные значения контурных токов I1 , I2 и I3 :
I1 : 5 А; |
I2 : 5 А; |
I3 : 5 А. |
На основании метода контурных токов запишем следующую систему уравнений:
|
|
R R |
0 |
R |
|
I к |
|
U |
|
U |
|
(I |
|
) |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
6 |
6 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
2 |
|
|
|
04 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
R R |
R |
|
I к |
U |
(I |
6 |
) U |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
05 |
|
||
|
|
|
|
R2 |
R3 |
|
|
к |
|
|
|
U01 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R1 R2 R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I |
6 |
I |
к I к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66
Решим полученную систему уравнений средствами Mathcad:
Given
(R2 R4 )I1к R2I3к U6 I2к I1к U04 0
(R3 R5 )I2к R3I3к U6 I2к I1к U05 0
R2I1к R3I2к (R1 R2 R3)I3к U01 0
II : Find I1к, I2к, I3к . II т 1,961 2,026 2,468 .
Получим токи ветвей:
I1 : I3к, I2 : I1к I3к, I3 : I2к I3к,
I4 : I1к, I5 : I2к, I6 : I2к I1к.
I1 2,468 A, I2 4,429 A, I3 4,494 A, I4 1,961 A,
I5 2,026 A, I6 0,065 A, U6 (I6 ) 1,742 B.
Произведем проверку на основе системы уравнений контурных токов:
(R2 R4 )I1к R2I3к U6 I2к I1к U04 0,013, (R3 R5 )I2к R3I3к U6 I2к I1к U05 0,022,
R2I1к R3I2к (R1 R2 R3)I3к U01 7 10 3.
67
Проверим на основе баланса генерируемой и потребляемой мощностей:
генерируемая мощность:
P01 : I1U01 I4U04 I5U05, P01 282,88 Вт;
потребляемая мощность:
P02 : I12R1 I22R2 I32R3 I42R4 I52R5 U6 (I6 )I6 ,
P02 282,844 Вт.
Генерируемая и потребляемая мощности приблизительно равны.
68
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Внастоящей работе представлены задачи и примеры расчета нелинейных цепей и численного решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Нелинейные цепи и дифференциальные уравнения могут встретиться также в профессиональной деятельности бакалавров и магистрантов. Набор методов решения приведенных в настоящей работе задач и примеров расширяет инструментарий будущего специалиста и позволяетдетальноанализироватьзадачу, возникшуювпрофессиональной деятельности.
Вработе при решении задач и примеров используется математическийпакетMathcad, позволяющийсущественнооблегчитьрешениеанализируемой задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Данилов Л. В. Теория нелинейных электрических цепей / Л. В. Данилов, П. Н. Матханов, Е. С. Филиппов. – Ленинград : Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1990.
2. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи / П. Н. Матханов. – Москва : Высшая школа, 1977.
3. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. – Изд-е второе, перераб. и доп. / П. Н. Матханов. – Москва : Высшая школа, 1986.
4. Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи / Л. А. Бессонов. – Москва : Высшая школа. 1964.
5. Филиппов Е. Нелинейная электротехника / Е. Филиппов ; пер. и доп. А. З. Кулебякина. – Москва : Энергия, 1968.
6. Бессекерский В. А. Теория систем автоматического управления [линейныесистемы, нелинейныесистемы, импульсныесистемы, цифровыеиадаптивные системы, критерии устойчивости, случайные процессы] / В. А. Бессекерский, Е. П. Попов. – Санкт-Петербург, 2004. – 747 с.
7. Андронов А. А. Теория автоколебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – Москва : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
8. Математическая энциклопедия. Том 1–5 / гл. ред. И. М. Виноградов. – Москва : Советская энциклопедия, 1977–1985.
9. Острейковский В. А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф : учеб. пособие для вузов / В. А. Острейковский. – Москва : Высшая школа, 2005. – 326 с. : ил.