Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие

разбивают на малые интервалы времени h t , которые называют шагом интегрирования.

Решение дается в равномерно распределенных точках, начиная от начальной точки t0 до конечной tm . Для i-й точки ti t0 ih .

Вычисления решения в момент ti дают приближенное решение. Обозначают его через xi .

Ошибка или погрешность расчета численным методом в момент ti

равна разности между точным и приближенным вычисленным значением. Эта ошибка имеет вид

i x(ti ) xi i i ,

где i – есть неточность самого алгоритма. Она называется методиче-

ской ошибкой (или ошибкой ограничения). Эта ошибка возникает из-за работы с ограниченным числом членов бесконечного ряда. Отсеченные члены и дают методическую погрешность; i – ошибка округления.

Она вызвана ограничением количества разрядов в машинном слове. Обе ошибки в процессе вычисления имеют тенденцию нарастания.

Еслиошибкаокруглениясростомчислашаговуменьшается, тоиспользуемый алгоритм является численно устойчивым. В противном случае алгоритмбудетчисленнонеустойчивымидляиспользованиянепригодным.

Численные алгоритмы

Существует большое количество численных алгоритмов, применяемых для решения дифференциальных уравнений при заданных начальных уровнях.

Перечислим наиболее простые методы.

1.Одношаговые. Вычисления в момент ti 1 (i 1)h основаны на знании результата в момент ti ih .

2.Многошаговые методы, в которых результат очередного шага зависит от результатов нескольких предыдущих шагов.

Рассмотрим подробнее как одноранговые, так и многоранговые методы.

12

КодноранговымметодамотносятсяметодыРунге–Кутта. (Простейшим из них является алгоритм Эйлера.)

Для реализации таких методов необходимо разложить искомое решение в окрестности точки ti в ряд Тейлора:

Алгоритм Тейлора получается при ограничении количества членов ряда p-м членом и замене x(ti 1) xi 1; x(ti ) xi :

Ошибка отсечения быстро убывает с ростом степени алгоритма (как h p ). При увеличении p может увеличиваться шаг, а это уменьшает

объем вычислений и экономит время. Алгоритм Тейлора в форме (3.1) применяетсяредковсвязиснеобходимостьювычисленияпроизводных, возрастающих с повышением порядка.

При p = 1 мы имеем прямой, иначе явный, алгоритм Эйлера, учитывающий только линейные члены разложения:

где ошибка отсечения имеет верхнюю границу как Kh2.

В алгоритмах Рунге–Кутта различного порядка производные в алгоритмах Тейлора заменяются вычислениями значений функции в нескольких промежуточных точках шага. Это требует трудоемких преобразований.

13

Наиболее широко применяется алгоритм Рунге–Кутта четвертого порядка.

Он имеет следующий вид (i = n):

Здесь ki , где i = 1…n, представляют угловые коэффициенты касательных в различных точках: k1 – в начальной точке xn , tn ; k2 , k3 – в середине шага и ординатах, определяемых по k1 и k2; k4 – в конце интервала и ординате, найденной по значению k3. Угловые коэффици-

енты касательных есть наклоны, усредненные с весовыми коэффициентами, значение которых определяет приращение решения.

Этот алгоритм согласуется с алгоритмом Тейлора при p = 4.

При этом методическая погрешность, зависящая от шага как Kh5, не-

велика и позволяет реализовывать вычисления со сравнительно большим шагом.

Заустранениенеобходимостивычисленияпроизводныхприходится платить ценой вычисления самой функции в четырех точках, что требует больших затрат времени.

Алгоритмы Рунге–Кутта являются явными. Искомое решение не входит в правую часть выражения, а это значит, что вычисления начинаются сразу с точки x0 , t0.

К наиболее употребимым многошаговым методам относятся алгоритмы Адамса–Бэшфорта и Адамса–Мултона. Алгоритмы Адамса– Бэшфорта могут быть различного порядка. Они принадлежат к явным

14

алгоритмам. Решение появляется в левой части. Аналитическое выражение имеет следующий вид для k-го порядка:

Коэффициенты ak определяются следующим образом.

Если k = 1, то имеет место алгоритм первого порядка, совпадающий с явным алгоритмом Эйлера (3.4).

При k = 3 имеет место трехшаговый алгоритм Адамса–Бэшфорта третьего порядка:

xn 1 xn 12h [23 f (xn , tn ) 16(xn 1, tn 1) 5 f (xn 2, tn 2 )] . (3.6)

Для осуществления процесса вычислений необходимо знать значения функции k = 3 в предыдущих точках.

Алгоритм Адамса–Мултона представляет собой неявный алгоритм. Этозначит, чторешенияприсутствуюткаквправой, такивлевойчасти аналитического выражения алгоритма.

Для k-го порядка имеем следующее аналитическое выражение:

xn 1 xn h[b 1(k) f (xn 1, tn 1) b0 (k) f (xn , tn )

Коэффициенты находятся из решения соответствующей системы линейных уравнений.

При k = 1 получим алгоритм первого порядка, который называется обратным, или неявным, алгоритмом Эйлера:

15

При k = 2 получим алгоритм второго порядка, который называется трапецеидальным:

При k = 3 получим двухшаговый алгоритм Адамса–Мултона третьего порядка:

xn 1 xn 12h [5 f (xn 1, tn 1) 8 f (xn , tn ) f (xn 1, tn 1)] . (3.10)

Для реализации этого алгоритма требуется вычислить два значения функции в двух предыдущих точках.

Поскольку искомое значение xn 1 в неявных алгоритмах входит в

правую часть в виде нелинейной функции, то его можно определить из решения следующего функционального уравнения:

xn 1 g(xn 1) ,

где g(xn 1) – правая часть выражения (3.7),

Эти уравнения решаются численно методом простой итерации или методом Ньютона–Рафсона.

При малом шаге имеет место сходимость итерации.

При применении многошаговых методов нужно найти решения в требуемых начальных точках. Для этого применяется одношаговый метод, основанный на алгоритме Рунге–Кутта. Затем применяют многошаговый метод.

Одношаговый метод нужен для предсказания, многошаговый – для коррекции.

Многошаговые методы позволяют контролировать ошибку проще, чем одношаговые. Они более эффективны, так как в алгоритмах (3.6)

16

и (3.10) функция вычисляется в двух точках, а не в четырех, как в формуле (3.4) Рунге–Кутта.

Аналитические выражения, рассмотренные для одномерного уравнения, непосредственно позволяют работать с системой из n уравнений состояния.

Обобщим формулу Эйлера (3.3) на систему двух уравнений:

С начальными условиями при t t0

Разложив x1(t) и x2 (t) в ряд Тейлора и ограничившись линейными

членами с учетом (3.11), заменим производные переменных правыми частями.

Получим

Используя формулы (3.12), необходимо последовательно (начиная от момента t t0 ) на каждом интервале вычислять hfk , добавлять их к

значениям переменных в начале интервала и получать при этом значения в конце интервала.

Алгоритм вычислений имеет следующий вид. 1. t t0; найдем x10 x1(t0 ); x20 x2 (t0 ).

2. t t1 t0 h; найдем

f10 hf10 hf1(x10 , x20 , t0 );

f20 hf20 hf2 (x10 , x20 , t0 ),

17

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДУФФИНГА

Рассмотримцепь, представленнуюнарис. 4.1: e(t) KU0 sin( t ) .

Пример 4.1

R1

L

Рис. 4.1

19

Um – амплитуда напряжения источника питания;

– круговая частота напряжения источника питания.

Зададим следующие значения параметров и элементов цепи: R1 : 100 – сопротивление, Ом;

C1 : 833 10 6 – емкость, Ф; Em0 : 300 – напряжение, В;: 2 50 – частота, Гц;

Sg : 10 4 – площадь сечения магнитопровода, м2;

IsRg : 0.14 – длина средней линии магнитопровода, м; dg : 3.5 – ширина окна магнитопровода, см;

Cg : 1.5 – высота окна магнитопровода, см;

Imax : 10 – максимальный ток, А;: 2 – плотность тока, А/мм2;

tmax : 0.5 – верхний предел по времени; tmin : 0.1 – нижний предел по времени;

H1 : 69 – напряженность магнитного поля в первой точке, А/м; H2 : 940 – напряженность магнитного поля во второй точке, А/м; B1 : 0.41 – индукция магнитного поля в первой точке, Тесла;

B2 : 1.39 – индукция магнитного поля во второй точке, Тесла;B Sg – формула расчета магнитного потока, Тесла м2;

Тесла м2;

J : – плотность тока, А/мм2;

Ku : 0.9 – коэффициент заполнения окна магнитопровода;

20