Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие

Исходные данные:

U0 : 160 В; R1 : 40 Ом; R2 : 40 Ом; R5 : 40 Ом.

Зададим произвольно начальные значения токов I1 I5 :

I1 : 10 А; I2 : 10 А; I3 : 10 А; I4 : 10 А; I5 : 10 А.

Решение: Given

I1 I2 I4 0

I3 I5 I1 0

С использованием найденных токов определяем напряжения ветвей на основе соотношений (5.1):

U1(I1) : 80 В; U2 (I2 ) : 40 В; U3(I3) : 40 В; U4 (I4 ) : 40 В; U5 (I5 ) : 40 В.

Найдемтокамперметранаосновеуравненийбалансатоков(первого

31

уравнений (5.2) и (5.3) и получим значения в правой части, практически равные нулю:

I1 I2 I4 0,

I3 I5 I1 0,

U1(I1) U2 (I2 ) U3(I3) U0 0,U2 (I2 ) U4 (I4 ) 0,

U3(I3) U5 (I5 ) 0.

Для этих же целей (проверки правильности решения) можно воспользоваться также условием баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи.

Мощность генерируемая:

P01 : U0I1 , P01 : 320 Вт.

Мощность потребляемая:

P02 : U1(I1)I1 U2 (I2 )I2 U3(I3)I3 U4 (I4 )I4 U5 (I5 )I5 ,

P02 : 320 Вт.

Пример 5.2

Рассмотрим второй пример, где задана аналитически зависимость I U нелинейных элементов. Требуется определить токи

инапряжениявсехпассивныхэлементов. Задачубудемрешатьметодом напряжений резисторов, т. е. выберем в качестве независимых переменных состояния напряжения ее резисторов.

Рис. 5.3

32

Определим ток на обычном резистивном элементе цепи методом напряженийрезисторов (закона Ома), а для определения токов нелинейных элементов цепи воспользуемся аналитически заданной зависимо-

стью I U :

I1(U1) : G1U1,

I2 (U2 ) : a1U2 a2U22 , (5.4)

I3(U3) : b1U3 b2U32.

Напомним, что здесь G1 1 / R1 .

На основании рис. 5.3 запишем уравнения баланса напряжений элементов первого и второго контуров схемы, а для узла (5.4) – уравнение баланса токов. В результате получим систему из трех линейно независимых уравнений:

b1 0,004 1/Ом; b2 0,002 1/Ом2; G R1 1 См.

Зададимпроизвольноначальныезначениядлянапряжений U1 U3 :

U1 : 1 В; U2 : 1 В; U3 : 1 В.

Решаем данную систему уравнений (5.5) в программе Mathcad с помощью той же конструкции Given … Find:

Given

U1 U2 U0 0,

33

U2 U3 0,

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0,

X: Find U1,U2 ,U3 X т 17,327 12,673 12,673 .

Врезультате получаем

U1 : 17,327 В; U2 : 12,673 В; U3 : 12,673 В,

а следовательно, токи на основании (5.4):

I1(U1) : 0,866 А; I2 (U2 ) : 0,494 А; I3(U3) : 0,372 А.

Для проверки правильности решения подставим значения U1 U3 и I1(U1) I3(U3) в исходную систему (5.5):

U1 U2 U0 0,

U2 U3 0,

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 3,964 10 5.

Проверим правильность решения вторым способом, рассчитав баланс генерируемой и потребляемой мощности.

Мощность генерируемая:

Равенство мощностей потребляемой и генерируемой подтверждает правильность решения.

Пример 5.3

Рассмотрим третий пример, где задана аналитически зависимость U I нелинейного элемента. Требуется найти напряжение UV . Задачу будем решать методом токов резисторов, т. е. выберем в качестве независимых переменных состояния токи ее резисторов.

34

Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения исходных величин:

I1 I2 I3 0,

I2 I4 0,

I3 I5 0,

Произведем проверку правильности решения, подставив полученные значения в исходную систему (5.7):

I1 I2 I3 0,

I2 I4 0,

I3 I5 0,

36

U0 U1(I1) U2 (I2 ) U4 (I4 ) 1 10 3,

U2 (I2 ) U3(I3) UV 1 10 3,

U4 (I4 ) UV U5 (I5 ) 1 10 3.

Погрешность расчетов близка к нулю.

Произведем проверку правильности решения, сравнив потребляемую и генерируемую мощности:

Генерируемая мощность:

P01 : U0I1 , P01 : 15,003 Вт.

Потребляемая мощность:

P02 : U1(I1)I1 U2 (I2 )I2 U3(I3)I3 U4 (I4 )I4 U5 (I5 )I5 ,

P02 : 15,006 Вт.

Генерируемая и потребляемая мощности практически равны.

5.2. Примеры с использованием кубических сплайнов для интерполяции таблично заданной зависимости U ( I ) либо I ( U ) нелинейного элемента

Характеристики нелинейных элементов не всегда заданы аналитически. Кроме того, использование аналитических выражений зависимости U(I) либо I(U) несетвсебесистематическуюпогрешность, заклю-

чающуюся в том, что аналитическое выражение неточно описывает зависимость U(I) либо I(U) . Поэтому приходится прибегать к методам

аппроксимации нелинейных характеристик, заданных графически либо таблично.

Избежать систематической ошибки, обусловленной неточным описаниемзависимости U(I) либо I(U) , можнопутемпостроенияграфика

на основе экспериментальных результатов. В этом случае зависимость описывается очень точно. На основе графической зависимости можно получить таблицу дискретных значений зависимости U(I) либо I(U)

нелинейного элемента.

37

При малом шаге дискретизации аргумента высокую точность воспроизведения кривой зависимости U(I) либо I(U) можно получить

сиспользованиемдляинтерполяциикубическихсплайнов. Этивопросы и рассматриваются в данной части пособия.

Пример 5.4

Аппроксимировать кубическими сплайнами вольт-амперную характеристику I(U) (табл. 5.1)

нелинейного резистора рис. 5.5.

Рис. 5.5

Решение

1. Запустим Mathcad.

2. Переопределим значение встроенной переменной ORIGIN (Tools/ Worksheet Options …), в открывшемся окне перейдем на вкладку BuiltIn Variables (встроенные переменные) и в поле Array Origin (ORIGIN) (начало массивов) введем 1.

3. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 7   2), столбцами которой являются соответствующие строки предыдущей таблицы:

4. Определим далее векторы значений аргумента и функции

38

Пример 5.5

Вычислить значения токов и напряжений резисторов электрической цепи (рис. 5.7), определенных своими вольт-амперными характеристиками Ii (Ui ) , (i = 1, 2, 3) (табл. 5.2–

5.4)1, если U01 10 В, U02 10 В, U03 40 В.

Рис. 5.7

1 В этих таблицах приведены значения координат нескольких точек графиков ВАХ лишь для первых квадрантов плоскостей Ii , Ui 0 , где i = 1, 2, 3.

39

Таблица 5.3

Таблица 5.4

Решение

Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения параметров источников напряжения:

U01 : 10 В; U02 : 10 В; U03 : 40 В.

Далее получим аналитические выражения вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов I1(U1) , I2 (U2 ) и I3(U3) . Для этого ап-

проксимируем наборы точек графиков ВАХ кубическими сплайнами с помощью встроенной в Mathcad функции interp(S, X, Y, t).

Внимание! Поскольку знаки значений напряжений и токов резисторов заранеенеизвестны, тоопределимвыраженияихВАХ Ii (Ui ) впервомитретьем

квадрантах плоскостей Ii , Ui , (i = 1, 2, 3). Переопределим значение встроенной переменной ORIGIN, положив его равным 1.

Начнем с аппроксимации (интерполяции) ВАХ первого резистора

(табл. 5.2).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 6   2), столбцами которой являются соответствующие строки табл. 5.2:

40