Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие

2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:

I1(U1) :

interp cspline X ,Y , X ,Y, U1 if U1 0,

I1(U1) :

interp cspline X ,Y , X ,Y,U1 otherwise.

Аппроксимируем (интерполируем) теперь ВАХ второго резистора

(табл. 5.3).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 4   2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:

41

И, наконец, аппроксимируем (интерполируем) ВАХ третьего резистора (табл. 5.4).

1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 9   2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:

2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:

I3(U3) :

interp cspline X ,Y , X ,Y , U3 if U3 0,

I3(U3) :

interp cspline X ,Y , X ,Y ,U3 otherwise.

На этом подготовка исходных данных закончена.

Полученные выражения ВАХ резисторов цепи в виде Ii (Ui ) опре-

деляютвыборнезависимыхпеременныхсистемыуравненийстационарногосостоянияцепи. Решимпоставленнуюзадачуметодомнапряжений резисторов цепи. По законам Кирхгофа составим систему уравнений стационарного состояния цепи схемы, показанной на рис. 5.7. В качестве независимых переменных состояния цепи выберем напряжения ее резисторов U1 , U2 и U3 . Запишем уравнения баланса напряжений эле-

ментов цепи, например, для верхнего и нижнего внутренних контуров еесхемыприихобходепочасовойстрелке. Запишемуравнениебаланса токов элементов цепи для одного из двух узлов ее схемы, например для правого узла. Таким образом, стационарные значения напряжений

42

резисторов исследуемой цепи (рис. 5.7) определяются нелинейной системойалгебраическихуравнений:

Решим данную систему уравнений. Ниже приведен соответствующий фрагмент численного решения этой системы уравнений в Mathcad.

Пусть U1 : 10 В; U2 : 10 В; U3 : 10 В. Given

U01 U1 U2 U02 0,

U02 U2 U3 U03 0,

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0,

U : Find U1,U2 ,U3 U т 1,761 21,761 28,239 В*.

Результаты этих и последующих вычислений отображены в протоколе с точностью до 10–3.

Вычислим значения зависимых переменных состояния цепи. Найдем значения токов резисторов из выражений их вольт-амперных характеристик:

* Элементы последней матрицы являются значениями индексной переменной U: U1, U2, U3, индексы которых вводятся не с помощью точки < >, а с помощью открывающейся прямой скобки <[>. Внимание! Аргументами всех последующих выражений ВАХ в рабочем документе Mathcad являются компоненты индексной переменной (вектора) U.

43

Проверить полученные результаты можно одним из двух альтернативных способов.

1-й способ

Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:

U01 U1 U2 U02 0,

U02 U2 U3 U03 0,

I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0.

2-й способ

Проверим соблюдение баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи – отдаваемой источниками напряжения цепи P01 и по-

требляемой ее резисторами Р02 .

Вычислим значение мощности Р01 , отдаваемой всеми источниками напряжения цепи:

P01 : U01I1(U1) U02I2 (U2 ) U03I3(U3),

P01 8,630 Вт.

Вычислим теперь значение мощности Р02 , потребляемой всеми резисторами цепи:

P02 : U1I1(U1) U2I2 (U2 ) U3I3(U3),

P02 8,630 Вт.

Как видно, значения мощности Р01 , отдаваемой источниками напряжения цепи, и мощности Р02 , потребляемой ее резисторами, сов-

падают с точностью до трех значащих цифр после запятой. Задача решена верно.

44

Пример 5.6

Определитьпоказаниеамперметравцепи(рис. 5.8), если Iк 700 мА, R1 250  Ом, R4 200  Ом, нелинейные резисторы 2 и 3 определены своими одинаковыми ВАХ I2 (U2 ) I3(U3) I (U ) (рис. 5.9).

Решение

По умолчанию сопротивление амперметра в цепи (рис. 5.10) равно нулю, следовательно, амперметр может быть заменен проводом с током I5 , направленным от плюса ам-

перметра (+) к его минусу (–). В результате такой замены получим эквивалентную схему цепи (рис. 5.10). При этом показание амперметра А

исходной цепи равно значению тока I5 провода эквивалентной цепи:

Рис. 5.10

A I5 .

45

В свою очередь, значение тока I5 провода вычисляется после ана-

лиза стационарного состояния эквивалентной цепи по одному из двух следующих выражений баланса токов элементов цепи в узлах, ограничивающих провод:

I1 I2 I5 0

либо

I3 I4 I5 0 .

Запишем в рабочий документ Mathcad числовые значения исходных величин:

Iк : 0,7 ; R1 : 250 ; G1 : R1 1 ; R4 : 200 ; G4 : R4 1 .

Здесь по умолчанию значения напряжений и токов всех элементов цепи выражены в вольтах (В) и амперах (А), сопротивления и проводимости линейных резисторов – в Омах (Ом) и сименсах (См).

Прежде чем анализировать стационарное состояние заданной цепи, получим аналитические выражения вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов: I2 (U2 ) I3(U3) I (U ) .

ОбращаяськграфикуВАХ I(U) , приведенномунарис. 5.9 вусловии задачи, выберемнанемдесятьточекизапишемихкоординатывтабл. 5.5.

Таблица 5.5

Затем аппроксимируем этот набор точек графика ВАХ (рис. 5.9) кубическими сплайнами с помощью встроенной в Mathcad функции

interp s, X ,Y ,t .

46

С этой целью:

1) создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 10   2), строками которой являются соответствующие столбцы предыдущей таблицы:

2) определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:

X : Z1 Y : Z2 ;

3) определим выражение ВАХ I(U) , интерполирующее заданный

набор точек исходнойВАХнелинейного резисторакубическимисплайнами:

I (U ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U .

Определим, наконец, выражения вольт-амперных характеристик I2 (U2 ) и I3(U3) нелинейных резисторов:

I2 (U2 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U2 ,

I3(U3) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U3 .

Втакой же форме запишем выражения вольт-амперных характеристик I1(U1) и I4 (U4 ) линейных резисторов:

I1(U1) : G1U1,

I4 (U4 ) : G4U4.

На этом подготовка исходных данных задачи закончена. Решим поставленную задачу методом напряжений резисторов цепи. По законам

47

Кирхгофа составим систему уравнений стационарного состояния цепи для схемы, показанной на рис. 5.10. В качестве независимых переменных состояния цепи выберем напряжения ее резисторов U1 , U2 , U3

и U4 .

Запишемуравнениябалансанапряженийэлементовверхнегоинижнего контуров схемы и уравнения баланса токов элементов в верхнем и нижнем узлах схемы. Таким образом, стационарные значения напряжений резисторов исследуемой цепи (рис. 5.10) определяются следующей нелинейной системой алгебраических уравнений:

U1 U3 0,

U2 U4 0,

I1(U1) I3(U3) Iк 0,

I2 (U2 ) I4 (U4 ) Iк 0.

Решим эту систему. Ниже приведен соответствующий фрагмент численного решения этой системы уравнений в Mathcad.

Пусть U1 : 50 В; U2 : 50 В; U3 : 50 В; U4 : 50 В. Given

U1 U3 0,

U2 U4 0,

I1(U1) I3(U3) Iк 0,I2 (U2 ) I4 (U4 ) Iк 0,

U : Find U1,U2 ,U3,U4 , U т 70,44 62,26 70,44 62,26 .

Вычислим значения зависимых переменных состояния цепи для схемы, изображенной на рис. 5.10.

48

Сначала найдем значения токов резисторов, используя выражения их вольт-амперных характеристик:

I1(U1) 0,28 А; I2 (U2 ) 0,39 А; I3(U3) 0,42 А; I4 (U4 ) 0,31 А.

Далее вычислим значение тока провода I5 :

I5 I1(U1) I2 (U2 ), I5 0,11 А.

Проверка:

I4 (U4 ) I3(U3) 0,11 А.

Показаниеамперметра A исходнойцепи(рис. 5.8) равнозначению модуля тока I5 проводаэквивалентной цепи, изображенной нарис. 5.10:

A 0,11 А.

5.3.Примеры с использованием кубических сплайнов для интерполяции графически заданной зависимости U ( I ) либо I ( U ) нелинейного элемента

В случае задания ВАХ нелинейного элемента графическим способом следует, пользуясь графиком, получить таблицу дискретных значенийВАХ, азатеминтерполироватьееспомощьюкубическихсплайнов.

Пример 5.7

Пусть задана графически вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, рис. 5.11. На основании этой зависимости получим таблицу дискретных значений ВАХ нелинейного элемента схемы, изображенной на рис. 5.12 (см. табл. 5.6). Требуется найти токи ветвей.

С использованием этой зависимости для определения напряжения резисторов цепи произведем следующие преобразования.

49

2. Определим векторы значений аргумента X и функции Y:

X : Z1 Y : Z2 .

3. Определим выражение ВАХ I(U) , интерполирующее заданный

набор точек исходной ВАХ нелинейного элемента кубическими сплайнами:

I3(U3) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U3 .

50