Нелинейная электротехника в примерах и задачах. Учебное пособие
.pdfЗатем запишем выражения вольт-амперных характеристик I1(U1) и I2 (U2 ) линейных резисторов:
I1(U1) : U1G1,
I2 (U2 ) : U2G2.
На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнения баланса токов для нижнего узла схемы (рис. 5.12) иуравнения баланса напряжений элементов двух ее контуров. В нашем случае получается система трех линейно-независимых уравнений:
I |
3 |
(U |
3 |
) I |
(U |
) I |
2 |
(U |
2 |
) 0, |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
U1 U3 0, |
|
|
|
|
||||
U01 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 U3 0. |
|
|
||||
U02 |
|
|
|||||||||
Решим ее при следующих исходных данных:
U01 : 24 В; U02 : 60 В; R1 : 4 Ом; R2 : 20 Ом; G1 : R1 1 См;
G2 : R2 1 См.
Зададим начальные значениянезависимых переменных U1 , U2 , U3 :
U1 : 5 В; U2 : 5 В; U3 : 5 В.
Given
I3(U3) I1(U1) I2 (U2 ) 0;
U01 U1 U3 0; |
|
|
|
|
||
U02 U2 U3 0; |
|
|
|
|||
U : Find U ,U |
2 |
,U |
3 |
, |
U т 4 |
40 20 . |
1 |
|
|
|
|
||
51
Вычислим значения зависимых переменных состояния цепи. Найдем значения токов резисторов с использованием выражения их вольт-амперных характеристик:
I1(U1) 1 А; I2 (U2 ) 2 А; I3(U3) 3 А.
Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:
I3(U3) I1(U1) I2 (U2 ) 0,
U01 U1 U3 0,
U02 U2 U3 0.
Проверим соблюдение баланса мощностей активных и пассивных элементов цепи отдаваемой источниками напряжения цепи Р01 и по-
требляемой ее резисторами Р02 . Мощность генерируемая:
P01 : U01I1(U1) U02I2 (U2 ),
P01 144 Вт.
Мощность потребляемая:
P02 : I1(U1)U1 I2 (U2 )U2 I3(U3)U3,
P02 144 Вт.
Задача решена верно.
52
Пример 5.8
Рассмотрим следующий пример. Заданаграфически вольт-амперная характеристика нелинейного резистора R4 (см. рис. 5.13). Требуется определитьтокиветвей. Аналогичнопримеру5.7 получимтабл. 5.7 дискретных значений нелинейного элемента R4 схемы цепи, рис. 5.14.
Используемзависимость, табл. 5.7, дляопределениянапряжениярезисторов цепи.
|
|
|
Рис. 5.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.14 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
|
0 |
|
10 |
|
|
|
17 |
|
|
21 |
|
24 |
|
|
26 |
28,4 |
|
30 |
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I, А |
|
0 |
|
0,05 |
|
0,1 |
|
0,15 |
|
0,2 |
|
0,25 |
|
0,3 |
|
0,35 |
|
0,4 |
|
0,45 |
|
0,5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Сформируем матрицу Z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
10 |
17 |
|
21 |
|
24 |
26 |
|
28,4 |
30 |
|
31 |
|
32 |
33 |
т |
|||||||||||||
Z : |
0 |
0,05 |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,35 |
0,4 |
0,45 |
0,5 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
53
2. Определим векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z
1
Y : Z
2
.
3. Определим выражение ВАХ I(U) , интерполирующее заданный
набор точек исходной ВАХ нелинейного элемента кубическими сплайнами:
I4 (U4 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y ,U4 .
Зададим зависимость I(U) линейных резисторов:
I1(U1) : U1G1,
I2 (U2 ) : U2G2 ,
I3(U3) : U3G3.
На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнения баланса токов для 1-го и 2-го узлов схемы, изображенной на рис. 5.4, и уравнения баланса напряжений элементов двух контуров схемы, рис. 5.14. Получим систему четырех линейно-независимых уравнений:
I3(U3) I4 (U4 ) 0,
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0,
U01 U1 U2 0,
U2 U3 U4 0.
Решим ее при следующих исходных данных:
U01 : 100 В; R1 : 100 Ом; R2 : 100 Ом; R3 : 75 Ом; G1 : R1 1 См;
G2 : R2 1 См; G3 : R3 1 См.
54
Зададим начальные значения независимых переменных U1 , U2 , U3 ,
U4 :
U1 : 10 В; U2 : 10 В; U3 := 10 В; U4 : 10 В.
Given
I3(U3) I4 (U4 ) 0,
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 0,
U01 U1 U2 0,U2 U3 U4 0,
U : Find U1,U2 ,U3,U4 , |
U т 60,299 39,701 15,448 |
24,254 . |
Найдем значения зависимых переменных состояния цепи:
I1(U1) 0,603 А; |
I2 (U2 ) 0,397 А; |
I3(U3) 0,206 А; |
I4 (U4 ) 0,206 А. |
Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:
U01 U1 U2 0,
U2 U3 U4 1 0 3,
I3(U3) I4 (U4 ) 4,381 10 6 ,
I1(U1) I2 (U2 ) I3(U3) 6,667 10 6.
Проверим соблюдение баланса мощностей: генерируемой Р01 и потребляемой Р02 .
55
Генерируемая:
P01 : U01I1(U1), P01 60,299 Вт.
Потребляемая:
P02 : I1(U1)U1 I2 (U2 )U2 I3(U3)U3 I4 (U4 )U4 , P02 60,299 Вт.
Обе проверки указывают на правильность решения.
Пример 5.9
Вольт-амперная характеристика нелинейного резистора R5 схемы,
рис. 5.15, задана графически. Определить токи ветвей. Получим табл. 5.8 для дискретных значений ВАХ нелинейного элемента схемы.
Рис. 5.15 |
|
|
|
|
Рис. 5.16 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
|
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
|
4,3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, А |
|
0 |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
1. Сформируем матрицу Z:
0 |
0,5 |
1,5 |
2,6 |
4,3 |
6 |
|
т |
|
Z : |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
. |
|
|
|
|
||||||
2. Определим векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z
1
Y : Z
2
.
3. Определим выражение ВАХ U(I) , интерполирующей заданный
набор точек исходной ВАХ нелинейного элемента кубическими сплайнами:
U5 (I5 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y , I5 .
Зададим зависимость U(I) линейных резисторов:
U1(I1) : I1R1,
U2 (I2 ) : I2R2,
U3(I3) : I3R3,
U4 (I4 ) : I4R4.
На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнения баланса токов для 1, 2 и 3-го узлов схемы (рис. 5.16). На основании второго закона Кирхгофа запишем уравнения баланса напряжений элементов первого и второго контуров схемы цепи. Получим систему пяти линейнонезависимых уравнений:
I6 I1 I2 0,
I5 I2 I4 0,
I3 I4 I6 0,
U1(I1) U5 (I5 ) U2 (I2 ) 0,U5 (I5 ) U3(I3) U4 (I4 ) 0.
57
Решим полученную систему при следующих исходных данных:
I6 : 12 А; R1 : 12 Ом; R2 : 4 Ом; R3 : 8 Ом; R4 : 16 Ом.
Зададимначальныеусловиянезависимыхпеременных:
I1 : 1 А; I2 : 1 А; I3 : 1 А; I4 : 1 А; I5 : 1 А.
Given
I6 I1 I2 0,
I5 I2 I4 0,
I3 I4 I6 0,
U1(I1) U5 (I5 ) U2 (I2 ) 0,U5 (I5 ) U3(I3) U4 (I4 ) 0,
I : Find I1, I2 , I3, I4 , I5 , I т 5,437 6,563 6,375 5,625 0,938 .
Зависимыепеременныесостоянияцепибудутиметьследующиезначения:
U1(I1) 65,244 В; U2 (I2 ) 26,252 В; U3(I3) 51 В; U4 (I4 ) 50 В; U5 (I5 ) 39,012 В.
Проверим соблюдение законов Кирхгофа для схемы исследуемой цепи:
I6 I1 I2 0,
I5 I2 I4 0,
I3 I4 I6 0,
U1(I1) U5 (I5 ) U2 (I2 ) 0,02,
U5 (I5 ) U3(I3) U4 (I4 ) 0,012.
Произведем проверку правильности решения задачи вторым способом: сравним генерируемую и потребляемую мощности.
58
Генерируемая:
P01 : I6U2 (I2 ) I6U4 (I4 ), P01 1,395 103 Вт,
Потребляемая:
P02 : I1U1(I1) I2U2 (I2 ) I3U3(I3) I4U4 (I4 ) I5U5 (I5 ),
P02 1,395 103 Вт.
Задача решена верно.
Пример 5.10
Дляэлектрическойцепи, схемакоторойпоказананарис. 5.17, содержащей нелинейные резисторы, имеющие одинаковые вольт-амперные характеристики, определить токи ветвей. Пусть I1 , I2 и I3 – независи-
мыепеременныесостояниябудущейсистемыуравненийстационарного состояния цепи. При этом
U0 10 В,
U1 U1(I1),
U2 U2 (I2 ),
U3 U3(I3).
Рис. 5.17
59
Для U1 , U2 и U3 , зависимость U(I) , задана табл. 5.9.
Таблица 5.9
I, А |
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U, В |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Начнем с аппроксимации (интерполяции) ВАХ нелинейных резисторов (табл. 5.9).
1. Создадим вспомогательную матрицу Z (dim Z = 7 2), столбцами которой являются соответствующие строки таблицы:
0 |
0,65 |
0,93 |
0,99 |
1,00 |
1,01 |
1,04 |
|
т |
|
Z : |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
. |
|
|
|
|
|||||||
2. Определим далее векторы значений аргумента X и функции Y:
X : Z
1
Y : Z
2
.
3. ОпределимвыражениеВАХпервого, второго итретьего нелинейного резистора – U1(I1) , U2 (I2 ) и U3(I3) :
U1(I1) : interp cspline X ,Y , X ,Y , I1 ,
U2 (I2 ) : interp cspline X ,Y , X ,Y , I2 ,
U3(I3) : interp cspline X ,Y , X ,Y, I3 .
Составим уравнения баланса напряжений элементов цепи для первогоивторогоконтуровсхемыибалансатоковэлементовцепидляпервого узла схемы. Таким образом, стационарные значения напряжений
60