Нелинейные волновые уравнения в оптике. Учебное пособие

Преобразуем нелинейное уравнение Шрѐдингера к следующему

Здесь в правой части в скобках стоят дисперсионный и нелинейный операторы:

E(z, t) – комплексная огибающая амплитуды поля на шаге z в момент времени t, нелинейный оператор не включает пока член, соответствующий рамановскому саморассеянию.

Решение такого дифференциального уравнения на шаге z = jh (где j – целое) можно представить в виде

Важно обратить внимание, что нелинейный оператор одновременно действует на поле и является функцией от поля E(z, t).

Для увеличения скорости счета дифференциальный оператор с помощью преобразования Фурье можно перевести в частотное представление:

Стоит отдельно остановиться на целесообразности такого шага. Дело в том, что в частотном представлении вместо вычисления производной по времени стоит умножение на число, что гораздо эффективнее с точки зрения вычислительного алгоритма. Современные численные методы преобразования Фурье обычно пользуются методом быстрого преобразования Фурье, что позволяет эффективно перевести импульс из временно´го представления в частотное и обратно (рис. 3.7).

31

Это означает, что мы исключили некоторые члены, учет которых означал бы значительное усложнение алгоритма и резкое увеличение времени расчета. Однако для задач с высокой дисперсией, сильной нелинейностью, а также для ультракоротких импульсов длительностью менее 1 пс такая аппроксимация часто оправдана, а ошибка мала.

Точность метода можно заметно улучшить, если выбрать симметричную схему расчета прохождения импульсом шага от z до z + h (рис. 3.8). Расчет шага здесь производится по следующей формуле:

Рис. 3.8. Симметричная схема фурье-метода с расщеплением по физическим параметрам

Отличие симметричной схемы от обычной состоит в том, что пер-

вым вычисляется действие дисперсионного оператора на полушаге h2 ,

затем вычисляется действие нелинейного оператора в центре шага и снова – дисперсия на заключительном полушаге. Кроме того, для расчета по этой схеме требуется вычисление интеграла нелинейного оператора. Таким образом, хотя симметричная схема точнее, она сложнее

33

в реализации и требует бо´льших объемов вычислений. Это естественная цена точности.

Решение задачи о распространении импульса в оптическом волокне с помощью рассматриваемого метода предполагает последовательный расчет описанных шагов, такой, что решение одного шага становится начальными условиями для следующего. Метод Фурье с расщеплением по физическим параметрам очень критичен к выбору как пространственного шага, так и временного. Для пространственного шага обычно достаточно, чтобы он был гораздо меньше характерных дисперсионной и нелинейной длин: h LD , h LN , но делать шаг

слишком малым не стоит, поскольку это сильно увеличивает время расчета. Временной шаг стоит выбирать, имея в виду профиль самого импульса и особенности преобразования Фурье, например частоту Найквиста.

По отношению к традиционным методам численного решения дифференциальных уравнений с частными производными главным преимуществом описанного метода решения нелинейного уравнения Шрѐдингера является скорость алгоритма, которая в зависимости от сложности и требуемой точности вычислений эволюции импульса может давать преимущество в десятки и сотни раз. К недостаткам можно отнести относительно высокие ошибки и некоторые ограничения, связанные с приближением медленно меняющихся амплитуд, которое было использовано при выводе нелинейного уравнения Шрѐдингера. Так, для описания ультракоротких импульсов длительностью в несколько циклов на оптической частоте потребуется решение волнового уравнения Максвелла второго порядка, а для этого альтернатив методу конечных разностей нет.

3.3. Метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния – одно из наиболее важных достижений математической физики последних сорока лет. Он используется для решения целого ряда нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, включая уравнения Ишимори, Кортвега–де-Вриза, синус-Гордона и Гинзбурга–Ландау. Первое решение нелинейного уравнения Шрѐдингера в рамках задачи о распространении солитонов было получено Захаровым и Шабатом именно с помощью этого метода. По сравнению с методом Фурье (SSFM) метод обратного рассеяния гораздо более сложен как в математической формулировке, так и в практической реализации, однако он значительно

34

точнее, поскольку не связан с ошибками разграничения дисперсионных и нелинейных эффектов. Кроме того, в задачах по распространению солитонов он часто оказывается быстрее и эффективнее.

Полное и последовательное изложение метода обратной задачи рассеяния в рамках небольшого учебного пособия не представляется возможным, более того, теория этого метода предполагает очень глубокую математическую подготовку читателя. Поэтому здесь будет дано лишь краткое изложение схемы метода для нелинейного уравнения Шрѐдингера.

Запишем нелинейное уравнение Шрѐдингера для солитонов в следующем виде:

тенциалом рассеяния. Согласно теории солитонов Лакса, уравнение Шрѐдингера интегрируемо и преобразуется в систему линейных уравнений:

ры. Первое уравнение фактически является задачей о нахождении соб-

35

В самом общем виде метод обратного рассеяния (рис. 3.9) состоит из трех шагов.

Рис. 3.9. Схема метода задачи обратного рассеяния

Шаг 1. Прямая задача рассеяния. Нахождение соответствующей пары Лакса – двух линейных дифференциальных операторов определенного типа. При этом исходное дифференциальное уравнение с частными производными сводится к уравнению Лакса:

Lt LM ML 0 .

Шаг 2. Определение временной эволюции собственных функций или данных рассеяния. Эта эволюция во времени описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, что сильно упрощает численный расчет.

36

Шаг 3. Восстановление потенциала путем решения обратной задачи рассеяния, которая в общем случае сводится к решению линейного интегрального уравнения – так называемого уравнения Марченко. Для солитонов это уравнение решать необязательно, поскольку задачу можно свести к решению системы алгебраических уравнений.

Помимо рассмотренных методов решения нелинейных уравнений с частными производными есть и другие. Например, метод полного определения поля в частотном представлении. При решении нелинейного уравнения Шрѐдингера этот метод позволяет учитывать экспериментальные кривые рамановского саморассеяния, что оказывается важным в ряде задач, однако алгоритм этого метода может быть реализован только на компьютерах с векторными процессорами.

В большинстве задач, связанных с исследованием эволюции импульсов в оптических волокнах, оптимальным выбором является ме- тод-Фурье-расщепления по физическим параметрам, который сочетает быстроту счета, простоту реализации и разумную точность вычислений.

37

Литература

1.Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. – М.: Мир, 1978.

2.Marcuse D. Light Transmission Optics. – N.Y.: Van Nostrand Reinhold, 1982.

3.Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. – М.: Мир, 1996.

4.Филиппов А.Т. Многоликий солитон. 2-е изд, перераб. и доп. – М.; Наука, 1990.

5.Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. –

6.Kruskal M.D., Miura R.M., Gardner C.S. Korteweg-de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws // J. Math. Phis. – 1970. Vol. 11, N. 3. – Р. 952–967.

7.Захаров В.Е., Фадеев Л.Д., Уравнение Кортевего-де Фриса – вполне интегрируемая система // Функциональный анализ и его приложения. – 1971. – Т. 5, вып. 4. – С. 18–27.

8.Захаров В.В., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. – 1971. – Т. 61, вып. 1(7). С. 118–134.

9.Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – М.: Издво МФТИ, 1994.

10.Балагур А.А. Применение метода обратной задачи рассеяния для описания световых импульсов в оптическом волокне // Нелинейный мир. – 2007. – Т. 5, № 3. – С. 160–163.

11.Теория солитонов: метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.В. Новиков, Л.П. Питаевский. – M.: Наука, 1983.

38