Нелинейные волновые уравнения в оптике. Учебное пособие

Эта оценка соответствует предположению о гауссовом распределении

где m – эффективный радиус моды.

Переходя в систему координат, движущуюся с групповой скоро-

усиления.

Влевой части уравнения, кроме потерь собраны члены, отвечающие за дисперсионные эффекты, в правой – за нелинейные. Первый член в правой части описывает фазовую самомодуляцию, второй – процесс образования ударной волны, третий – рамановское саморассеяние (вынужденное комбинационное рассеяние).

Вподавляющем большинстве случаев аналитических решений нелинейного уравнения Шрѐдингера не существует. Уравнение решается

спомощью численных методов, которые будут рассмотрены в третьей главе.

21

2.3. Солитоны в оптических волокнах

Развитие теории распространения оптических импульсов в нелинейных слабодиспергирующих средах, каковыми являются оптические волокна, привело к наблюдению эффекта, когда при определенных параметрах импульса и волокна импульс распространяется без дисперсионного уширения с сохранением мощности. Этот эффект аналогичен эффекту самоиндуцированной прозрачности, описанному в предыдущей главе, и является типичным для солитонов нелинейного уравнения Шрѐдингера.

В отличие от резонансной двухуровневой среды, физический механизм образования солитонов в оптических волокнах не связан с возбуждением атомов. Оказывается, что при определенных условиях, главным из которых является аномальная дисперсия ( 2 0 ), диспер-

сионные и нелинейные эффекты компенсируют друг друга и эволюция импульса происходит без изменения его формы. Этот случай соответствует стационарным или периодическим во времени решениям нелинейного уравнения Шрѐдингера (НУШ).

Описание солитонов нелинейным уравнением Шрѐдингера часто осуществляется с помощью метода задачи обратного рассеяния, которая будет рассмотрена в следующей главе. Здесь отметим, что многие результаты, полученные при анализе СИП, имеют прямые аналоги для солитонов НУШ. Например, решение для фундаментального солитона имеет следующий вид:

Этот случай соответствует условию N = 1, где параметр N, так называемый порядок солитона, определяется отношением дисперсионной и нелинейной длин:

22

Итак, подобно явлению самоиндуцированной прозрачности в отсутствие потерь в идеальном оптическом волокне импульс с формой гиперболического косеканса будет распространяться на сколь угодно большие расстояния без искажения формы.

Исследования распространения импульсов в волокнах показывают, что для формирования солитона начальная форма импульса не всегда должна строго соответствовать этому условию. Часто оно достигается уже в процессе распространения импульса по волокну. Главным условием образования солитона является аномальная дисперсия и отношение дисперсионной и нелинейной длин.

Расщепление и восстановление солитона третьего порядка (решение получено методом обратной задачи рассеяния Говиндом Агрвалом)

Солитоны высших порядков (N = 2, 3…) имеют бо´льшую пиковую мощность и более сложную динамику распространения. Они обычно не сохраняют форму, расщепляются, но всегда восстанавливаются. Такое поведение объясняется периодичностью решения нелинейного уравнения Шрѐдингера. То есть, солитоны высших порядков имеют характерные периоды – время, за которое солитон проходит фазы расщепления и восстановления (см. рисунок).

Пример решения нелинейного уравнения Шрѐдингера для солитона второго порядка:

23

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1. Метод конечных разностей

Применение аналитических методов решения дифференциальных уравнений с частными производными невозможно в следующих случаях:

1)уравнение нелинейно и не может быть сведено к линейному;

2)граничные условия зависят от времени;

3)среда неоднородна или анизотропна;

4)решения лежат в комплексной области.

Это означает, что в абсолютном большинстве случаев нелинейные и волновые уравнения требуют численного решения. Метод конечных разностей является наиболее общим методом численного решения дифференциальных уравнений любого типа с частными производными. Он начинается с построения так называемой конечно-разностной схемы через замену дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты. Рассмотрим это построение подробнее.

Пусть есть некоторая функция в окрестности выбранной точки (рис. 3.1). Первые производные в этой окрестности можно выразить очевидными соотношениями:

правая производная

Рис. 3.1. Функция в окрестности точки

24

левая производная

центральная производная

Для нахождения производных второго и высших порядков потребуется разложение в ряд Тэйлора:

Откуда для второй производной получим

Таким образом, производные первого и второго порядка в исходном уравнении можно заменить соответствующими выражениями, зная значения функции в соседних точках.

Далее, на область изменения независимых переменных (обычно это время и пространственные координаты) накладывается сетка (дискретное множество узлов), решение ищется не в виде непрерывной функции, а в виде некоторого дискретного конечного множества чисел, представляющих функцию в узлах сетки (рис. 3.2 и 3.3).

25

Рис. 3.2. Пример сетки в методе конечных разностей

Рис. 3.3. Дискретизация функции в методе конечных разностей

26

Удобно рассматривать принцип построения конечно-разностной схемы на примере параболических уравнений, к которым, в частности, относятся уравнения теплопроводности, диффузии и Шрѐдингера. Одномерное уравнение Шрѐдингера для свободной частицы в отсутствие полей выглядит так:

мени и вторая по пространственной координате x; – постоянная Планка; m – масса частицы.

Для численного решения задачи Коши потребуются также граничные и начальное условия для (0,t) , (x,t) и (x,0) . Решение будем

искать в виде дискретной сеточной функции:

Выбранный способ разностной аппроксимации называют схемой, структуру которой удобно пояснять шаблоном. Шаблон – это совокупность узлов сетки, в которых берутся значения функции, участвующие в аппроксимации на данном узле. Одной из самых распространенных и простых схем является явная схема.

Явная схема. В соответствии с шаблоном явной схемы (рис. 3.4) уравнение Шрѐдингера можно переписать в виде следующего разностного уравнения:

Рис. 3.4. Шаблон явной схемы

27

Далее, с помощью несложных преобразований найдем значение сеточной функции в узле (j, n + 1):

Реализация вычислений для так называемых эволюционных задач, т. е. задач, где одной из независимых переменных является время, осуществляется с помощью счета по слоям. Разностные уравнения связывают неизвестные на двух соседних слоях времени, позволяя находить значения функции в тех узлах, где они неизвестны. Так, с помощью последнего уравнения, зная значения сеточной функции на n-м

них. Значения в крайних точках вычисляются из граничных условий. Теперь можно переходить к расчету следующего слоя, и так до тех пор, пока задача Коши для дифференциального уравнения не окажется решенной.

Одной аппроксимации дифференциального уравнения разностным методом часто оказывается недостаточно для того, чтобы результат конечно-разностной схемы приближался к точному ответу даже при бесконечно малых временных и пространственных шагах. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, важно выполнение условия устойчивости. Например, скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат, полученный с помощью разностной схемы, может не стремиться к решению дифференциального уравнения.

Явная разностная схема считается условно-устойчивой, это означает, что для ее устойчивости требуется выполнение условия Куранта kh2 12.

Ошибка вычисления пропорциональна временному шагу и квадрату пространственного шага:

O k O h2 .

Неявная схема. Разностное уравнение Шрѐдингера для неявной схемы (рис. 3.5) выглядит так:

28

Рис. 3.5. Шаблон неявной схемы

Алгоритм вычислений с помощью неявной схемы сложнее, поскольку значения функции на верхнем слое неизвестны, фактически мы имеем одно уравнение с тремя неизвестными:

Однако если выписать все уравнения для верхнего слоя, окажется, что количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Это означает, что вместо последовательного нахождения значений функции в узлах верхнего временного слоя, как это было для явной схемы, в данном случае потребуется решение алгебраической системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей (матрицей Якоби).

Неявная схема является безусловно-устойчивой, т. е. для ее устойчивости не требуется выполнения условия Куранта. В то же время по сравнению с явной схемой неявная требует большего объема вычислений и заметно более сложна в реализации.

Схема Кранка–Николсона (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Шаблон схемы Кранка–Николсона

29

Для уравнения Шрѐдингера получим

Как и в случае неявной схемы, для расчета каждого временного шага потребуется решение системы линейных уравнений.

В отличие от схем, рассмотренных ранее, ошибка для схемы Кран- ка–Николсона квадратична по времени и четвертого порядка по пространственной координате:

O k2 O h4 .

Это означает, что схема Кранка–Николсона – самая точная из рассмотренных, по крайней мере для малых временных шагов.

Метод конечных разностей имеет множество модификаций, самая популярная из которых – так называемый метод конечных разностей во временной области (finite-difference time-domain). Он применяется для очень широкого круга электродинамических задач, связанных с решением уравнений Максвелла. Фактически с помощью этого метода может быть решена любая задача о распространении электромагнитного поля в среде, в частности распространении импульсов в оптических волокнах, которые рассмотрены в предыдущей главе. Полное описание этого метода громоздко и выходит за пределы данного пособия, однако основные принципы методов конечных разностей он сохраняет.

К настоящему времени вышло более 3000 научных работ, посвященных применению методов конечных разностей в различных областях науки, существует около 30 коммерческих пакетов программного обеспечения и около десятка свободных библиотек с открытым кодом, использующих этот метод.

3.2. Фурье-метод расщепления по физическим параметрам

Фурье-метод расщепления по физическим параметрам – самый популярный метод решения нелинейного уравнения Шрѐдингера. Он основан на разделении дисперсионных и нелинейных эффектов.

30