Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
а б
Рис. 3. Процесс разгрузки при напряжении большем предела
упругости (а), эффект Баушингера (б)
В общем случае вышесказанное остается справедливым при неоднородном напряженном состоянии, лишь при простом разгружении, то
есть когда все внешние силы в стадии пассивной деформации уменьшаются пропорционально их общему параметру.
Особый случай возникает при разгрузке с последующим переходом
напряжения через ноль, когда напряжение (уже другого знака, чем при
первом нагружении) достигнет или превысит значение предела пропорциональности. Предел пропорциональности при сжатии предварительно
деформированного растяжением материала меньше, чем недеформированного. Таким образом, первичное пластическое деформирование материала снижает его сопротивление пластическому деформированию при
повторной нагрузке, имеющей направление, противоположное первичному (рис. 3, б). Это явление называется эффектом Баушингера.
Эффект Баушингера объясняется тем, что при малой пластической
деформации растяжения одни зерна материала деформируются пластически, а другие упруго. В результате этого после разгрузки возникают
остаточные силы взаимодействия между зернами. Некоторые из зерен
оказываются в растянутом состоянии, а другие — в сжатом. При последующем сжатии пластические деформации возникают в первую очередь в
ранее сжатых зернах. Этим и объясняется понижение предела текучести.
11
3. НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ.
4
1
4
1
xx
Uε
yy
U
zz
U
xy
U
xz
U
yz
U
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
Потенциальная энергия деформации U может быть записана как
функция шести компонентов тензора деформаций:
U = U(εxx, εyy, εzz, εxy, εxz, εyz), (3)
или как функцию трех инвариантов тензора деформаций:
U = U(I1, I2, I3), (4)
где
I1 = εxx + εyy + εzz;
2
2
I2 = εxxεyy + εxxεzz + εyyεzz –
(ε
+ ε
xy
xz
+ ε
2
);
yz
I3 = εxxεyyεzz –
(εxxε
2
yz
+ εyyε
2
+ εzzε
xz
2
– εxyεxzεyz).
xy
Рассмотрим бесконечно малые приращения деформаций, которым
будет соответствовать бесконечно малое приращение потенциальной
энергии деформации dU. Из формулы (3) следует, что:
dU =
+
dεxx +
dεyy +
dεxz +
dεzz +
dεxy +
dεyz. (5)
При бесконечно малых изменениях деформации справедлив принцип независимости действия сил. В этом случае потенциальную энергию можно определить через напряжения по следующей формуле:
dU = σxxdεxx + σyydεyy + σzzdεzz + σxydεxy + σxzdεxz + σyzdεyz. (6)
Сравнивая формулы (5) и (6), получим:
12
σxx =
xx
Uε
yy
U
zz
U
xy
U
xz
U
yz
U
xx
Uε
1
IU
xx
I
1
2
IU
xx
I
2
3
IU
xx
3I
1
IU
2
IU
3
IU
4
1
1
IU
2
IU
3
IU
4
1
1
IU
2
IU
3
IU
4
1
2
1
2
IU
2
1
3
IU
2
1
2
1
2
IU
2
1
3
IU
2
1
2
1
2
IU
2
1
3
IU
2
1
; σyy =
; σzz =
;
σxy =
; σxz =
; σyz =
. (7)
Частная производная потенциальной энергии U по деформации ε
будет равна:
=
·
+
·
+
·
. (8)
Для остальных деформаций получаются аналогичные формулы. Используя эти формулы, получаем зависимости между напряжениями и деформациями для нелинейно-упругого материала в наиболее общем виде:
σxx =
σyy =
σzz =
+
+
+
(εyy + εzz) +
(εxx + εzz) +
(εxx + εyy) +
(εyyεzz –
(εxxεzz –
(εxxεyy –
2
ε
);
yz
2
ε
);
xz
2
ε
);
xy
xx
σxy = –
σxz = –
σyz = –
·
·
·
εxy +
εxz +
εyz +
·
·
·
(
εxzεyz – εzzεxy);
(
εxyεyz – εyyεxz);
(
εxyεxz – εxxεyz). (9)
13
Для использования этих выражений необходимо знать три функ-
1
IU
2
IU
3
IU
3
IU
1
IU
2
IU
2
1
2
IU
1
IU
2
IU
2
1
2
IU
1
IU
2
IU
2
1
2
IU
1
IU
2
IU
3
zzyyxx
3
zzyyxx
1
IU
2
IU
ции:
;
;
, определяющие механические характеристики
материала.
В некоторых практически важных случаях можно принять:
= 0. (10)
В этом случае существенно упрощаются зависимости между напряжениями и деформациями (9), которые принимают вид:
σxx =
σyy =
σzz =
+
+
+
(εyy + εzz); σxy = –
(εxx + εzz); σxz = –
(εxx + εyy); σyz = –
·
·
·
εxy;
εxz;
εyz. (11)
Складывая напряжения σxx, σyy и σzz, получим:
σxx + σyy + σzz = 3
+ 2
(εxx + εyy + εzz). (12)
Если ввести обозначения:
= σср;
= εср, (13)
будем иметь:
σср =
+ 2
εср. (14)
14
Далее вычислим квадрат интенсивности напряжений по формуле:
2
1
2
1
2
IU
2
3
2
)1(2
1
2
3
2
IU
2
IU
i
i
eν)1(
2
IU
i
i
eν)1(σ
2
σ
=
i
[(σxx – σyy)2 + (σxx – σzz)2 + (σyy – σzz)2 + 6(σ
xy
2
+ σ
xz
2
+ σ
yz
Подставив сюда значения напряжений по формуле (11), получим:
2
σ
=
i
· (
+
2
)
· [(εxx – εyy)2 + (εxx – εzz)2 + (εyy – εzz)2 +
2
2
(ε
+ ε
xy
xz
2
+ ε
)]. (16)
yz
Сравнивая полученное выражение с формулой для квадрата интенсивности деформаций:
2
е
=
i
+
· [(εxx – εyy)2 + (εxx – εzz)2 + (εyy – εzz)2 +
2
2
(ε
+ ε
xy
xz
2
+ ε
)]. (17)
yz
Определим соотношения между интенсивностями напряжений и
деформаций в следующем виде:
σ
2
i
= (
)2(1 + ν)
2
2
е
. (18)
i
2
)]. (15)
Из этого следует:
=
. (19)
Чтобы знак касательных напряжений в формуле (11) был положительный, необходимо взять правую часть со знаком «минус»:
= –
. (20)
Из (14), учитывая (20), получим:
15
1
IU
i
i
eν)1(σ
i
i
eν)1(
i
i
eν)1(2
i
i
eν)1(
i
i
eν)1(2
i
i
eν)1(
i
eν)1(2i
i
i
e3
2
i
i
e3
i
i
e3
2
i
i
e3
i
i
e3
2
i
i
e3
= σср + 2
εср . (21)
Найденные значения производных потенциальной энергии деформации подставляем в выражения для напряжений (11):
σxx – σср =
σ
– σср =
yy
σ
– σ
=
zz
ср
(εxx – εср); σxy =
(εyy – εср); σxz =
(ε
– εср); σyz =
zz
εxy;
εxz; (22)
εyz.
Коэффициент поперечной деформации ν является переменной величиной. При нагружении коэффициент Пуассона увеличивается и достигает предельного значения 0,5. Если принять ν = 0,5, то мы получим
уравнения малых пластических деформаций:
σxx – σср =
σ
– σср =
yy
σ
– σ
zz
ср
=
(εxx – εср); σxy =
(εyy – εср); σxz =
(εzz – εср); σyz =
εxy;
εxz; (23)
εyz.
Для практического использования полученных формул необходимо
установить зависимость между интенсивностями напряжений σi и деформаций ei. Эти величины являются обобщенными характеристиками напряженно-деформированного состояния, поэтому безразлично, какой вид
напряженного состояния будет выбран при экспериментах. Интенсивности напряжений и деформаций построены таким образом, что при одноосном напряженном состоянии (когда σxx = σ; σyy = σzz = σxy = σxz = σyz = 0;
εxx = ε; εyy = εzz = –νε; εxy = εxz = εyz = 0) получается σi = σ; ei = ε. Поэтому
удобнее всего рассматривать диаграммы растяжения или сжатия материала, которые без всяких пересчетов изображают зависимость между σi и ei.
16
4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ
F
P
l
l
0)(
d
d
Изображение экспериментальных кривых напряжений и деформаций с помощью аналитических формул имеет большое значение. Для
аппроксимации экспериментальных кривых было предложено много
различных выражений. При этом необходимо заметить, что обычно
рассматривают экспериментальные зависимости между условными на-
пряжениями σ и условными деформациями ε, которые равны:
σ =
; ε =
, (24)
где P — нагрузка, приложенная к образцу, размеры которого до деформации будут: F — площадь сечения, l — длина, Δl — абсолютное удлинение.
Рассмотрим наиболее важные законы.
Степенной закон Бюльфингера
Г.Б. Бюльфингер (1693—1750) был членом Петербургской Академии наук и ее первым профессором физики. В 1729 г. он предложил форму связи между напряжениями и деформациями в виде степенного закона:
σ = Аεk. (25)
Чтобы закон был бы справедлив и при сжатии необходимо считать
показатель степени k нечетным числом при любых его значениях. Это
означает, что при отрицательных деформациях в формуле (25) появляется знак «минус».
Если показатель степени k = 1, то закон Бюльфингера переходит в
закон Гука. При k = 0 и А = σт получаем закон для жестко пластического материала.
Зависимость (25) несложная и хорошо описывает опытные кривые
при больших деформациях. Однако при малых деформациях закон плохо аппроксимирует экспериментальные кривые, так как для большинства материалов показатель степени k положительный и меньше едини-
цы. Следовательно, начальный модуль Е (производная
) равняет-
ся бесконечности.
17
Недостатком закона Бюльфингера также является дробный показа-
k
пр
d
k
пр
0
k
пр
тель степени k. Решение в этом случае получается в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с нецелыми показателями, которые могут быть решены лишь численными методами. Кроме этого,
кривая (25) не имеет максимума.
Закон Бюльфингера чаше применяется при решении задач устойчивости и ползучести при больших деформациях, когда проявляются
достоинства зависимости, а недостатки становятся несущественными.
Постоянные А и k определяют из двух условий: пределы прочности, определяемые по экспериментальной диаграмме и по аппроксимирующей ее зависимости, должны быть равны:
σпр =
где σ
и εпр — предел прочности материала и соответствующая ему де-
пр
А
, (26)
формация; потенциальная энергия деформации материала (ω2, рис. 4, а)
должна быть равна потенциальной энергии деформации материала, определенной по аппроксимирующей кривой:
ω2 = А
. (27)
Разделив первое равенство (26) на второе получим:
k = (σпрεпр – ω2)/ω2.
Введем обозначение ω1 = σ
– ω2, которое назовем дополни-
пр εпр
тельной потенциальной энергией (рис. 4, а). Отсюда следует:
k = ω1/ω2; А = σпр/
. (28)
На рис. 4, б изображена экспериментальная диаграмма и аппроксимирующая ее кривая (пунктирная линия). Из рисунка видно хорошее
совпадение кривых при деформациях, близких к предельным, и менее
удовлетворительное совпадение при малых деформациях.
18
а б
2
пр
прпр
Е
пр
)(
d
d
пр
пр
Рис. 4. Понятие дополнительной потенциальной энергии (а) и кривая,
аппроксимирующая экспериментальную кривую (б)
Параболическая зависимость Ф.И. Герстнера
В 1831 г. Ф.И. Герстнер (1756—1832) предложил параболическую
зависимость в виде:
σ = А1ε – А2ε2. (29)
Первую константу можно приравнять к модулю упругости А1 = Е.
Таким образом, при малых деформациях получится закон Гука. Вторую
константу можно определить, приравняв пределы прочности экспериментальной и аппроксимирующей кривых. Тогда:
А2 =
. (30)
При этом получается, что производная в точке, соответствующей
пределу прочности:
= 2
– Е, (31)
не всегда равна нулю и в большинстве случаев даже получается отрицательной. Чтобы избавиться от этого недостатка, приравняем нулю
производную в точке, соответствующей пределу прочности:
19
пр
)(
d
d
пр
пр
отсюда:
Е
пр
пр
2
4
Е
пр
= 2
– Е = 0,
εпр = 2
.
Подставляя это выражение в (30), получим:
А2 =
. (32)
Это условие обеспечивает сразу два требования: равенства пределов прочности и равенства производной нулю в этой точке, но при этом
предельная деформация εпр не будет равна деформации, соответствующей максимуму аппроксимирующей кривой.
Существенным недостатком параболической зависимости является
то, что она несимметрична. Поэтому если при деформациях конструкции возникают напряжения разных знаков, то формальное применение
закона может привести к ошибкам. Тем не менее эта зависимость применяется при расчете бетонных конструкций и в других случаях, где
возникают напряжения только одного знака.
Зависимость Сен-Венана (1864 г.)
Сен-Венан (1797—1886) предложил зависимость напряжений деформаций в следующей форме:
σ = А[1 – (1 –
)n]. (33)
Приравняв напряжения при ε = εпр пределу прочности σпр, найдем
постоянную А = σпр.
Константу n найдем из условия равенства потенциальных энергий
экспериментальной и аппроксимирующей кривых:
n = ω2/ω1. (34)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]