Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Уравнения работ для каждого из этих пяти механизмов следующие:
;042
пр
MP
,4
.5,0
8
4
пр
пр
М
М
Р
,08,04
пр
MP
,6
.533,0
6
2,3
пр
пр
М
М
Р
,02,124,032
прпрпр
MMMP
,4
1. Для механизма Б1 (рис. 22):
поэтому:
2. Для механизма Б2 (рис. 23):
то
так как
3. Для механизма бокового смещения С (рис. 24):
отсюда:
Рис. 23. Механизм Б2
а
51
.725,0
8
8,5
пр
пр
М
М
Р
.08,0
прпрпр
MMM
Рис. 24. Механизм бокового смещения С
Рис. 25. Механизм У1
4. Для механизма У1 (рис. 25):
52
.02,18,02,1
прпрпр
MMM
Рис. 26. Механизм У
2
Рис. 27. Комбинация Б1 + У1
5. Для механизма У2 (рис. 26):
На основании кинематической теоремы истинным будет тот механизм, для которого внешняя нагрузка станет минимальной, поэтому при
составлении комбинированных механизмов не будем рассматривать случаи, когда внешняя нагрузка получается явно больше, чем в исходных
случаях. Например, рассмотрим комбинацию Б1 + У1 (рис. 27). При этом
53
работа внешней силы 2Р остается такой же, как и в случае Б1, а работа
.22 CABEFD
,02,12224,02
прпрпрпр
MMMMP
,8
внутренних сил увеличивается, так как вместо момента Мпр в сечении 2
работу совершают два момента — один Мпр в сечении 1 и один 0,8Мпр в
сечении 5 (рис. 21), которые в сумме больше, чем предельный момент в
сечении 2 (0,8Мпр + Мпр > Мпр).
Поскольку работа внутренних сил увеличивается, а работа внешних сил остается постоянной, то предельная сила также увеличивается.
Таким образом, комбинации С + У1; С + У2; Б2 + У1; С + У1 +У2 мы
не рассматриваем. Остаются комбинации: С + Б1; Б2 + С + У1.
Рис. 28. Комбинация С + Б1
При составлении уравнения работ внешних и внутренних сил для
комбинации С + Б1 (рис. 28) необходимо учесть, что угол поворота
нижней части левой стойки в два раза больше, чем угол поворота верхней части левой стойки. Этот факт следует из рассмотрения двух треугольников ACB и DEF. В треугольнике ACB сторона CB равна перемещению Δ, а сторона AC — 8 м. Поэтому угол CAB = φ = Δ/8. Аналогично из треугольника DEF угол EFD = Δ/4 или:
Уравнение работ в этом случае будет:
а
54
отсюда:
.4875,0
16
8,7
пр
пр
М
М
Р
,02,128,034,032
прпрпрпр21
MMMMPP
,41
,62
.586,0
14
2,8
пр
пр
М
М
Р
Для комбинации Б2 + С + У1 (рис. 29) пластические шарниры на левой стойке и на ригеле закрываются, поэтому угол между стойкой и
ригелем становится 90º. Таким образом, при разрушении стойка и ригель поворачиваются на одинаковый угол φ.
В данном случае уравнение работ имеет вид:
перемещения равны:
откуда:
Рис. 29. Комбинация Б2 + С + У1
55
Полученная комбинация С + Б1 (рис. 28) имеет пластический шар-
,02,124,08,0322
прпрпрпрпр
MMMMMP
,12
.4417,0
24
6,10
пр
пр
М
М
Р
нир в сечении В. В этом же сечении образуется пластический шарнир
для комбинации Б1 + С1 (рис. 27). Причем внутренние предельные моменты в пластическом шарнире для этих двух случаев направлены в
разные стороны. Поэтому при сложении С + Б1 и Б1 + У1 шарнир в сечении закрывается и появляется новая комбинация (рис. 30), в которой
балочный механизм Б1 прибавляется дважды, то есть С + Б1 + Б1 + У1.
Для комбинированного механизма разрушения С + Б1 + Б1 + У1 записываем уравнение работ:
откуда:
Наименьшая предельная нагрузка Рпр = 0,4417Мпр соответствует последняя комбинация механизмов разрушения, то есть С + Б1 + Б1 + У1.
Рис. 30. Комбинация С + Б1 + Б1 + У1
56
Для построения эпюры предельных изгибающих моментов будем
,022
432
MMMP
,4
.028
432
MMMP
,024417,08
ПРПР2ПР
ММMМP
ПР2
533,0 МM
исходить из того, что они во всех пластических шарнирах равны предельным значениям.
Следовательно, в сечениях 3 и 4 (рис. 21) необходимо отложить
момент Мпр, в сечении 5 — момент 0,8Мпр, в сечении 9 — момент
0,4Мпр, а в сечениях 11 и 12 — момент 1,2Мпр (рис. 31). В остальных
сечениях изгибающие моменты, не достигшие предельной величины,
находим из уравнений статического равновесия.
Рис. 31. Эпюра предельных изгибающих моментов
Допустим, что положительные изгибающие моменты показаны на
рис. 32. Тогда уравнение работ внешних и внутренних сил для Б1 будет:
подставляя
получим уравнение статического равновесия:
Сила равна Р = 0,4417 Мпр, а изгибающие моменты М3 и М4 равны
М
, поэтому:
пр
отсюда:
.
57
Рис. 32. Анализ работы механизма Б1
Полученный изгибающий момент меньше, чем предельный в этом
сечении. Если изгибающий момент получается больше предельного
момента, то это означает, что выбранный механизм разрушения не является истинным и имеется другой возможный механизм разрушения,
для которого предельная нагрузка будет меньше, чем в данном случае.
Рис. 33. Определение момента в сечении 1 (а) и в сечении 9 (б)
Из равновесия изгибающих моментов крайнего левого узла рамы
находим момент в сечении 1 (рис. 33, а):
58
;0М
,0533,08,0
прпр1
МMM
.267,0
пр1
ММ
,02
765
MMMP
,6
.026
765
MMMP
пр76
85,12 MММ
откуда:
Из равновесия крайнего правого узла находим М9 = 0.
Остается определить изгибающие моменты в сечениях 6 и 7. Записываем уравнения работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях (рис. 34) для Б2 (положительные моменты показаны на рис. 34):
поэтому:
получим:
Рис. 34. Анализ работы механизма Б2
Подставляя Р = 0,4417Мпр и изгибающий момент М5 = 0,8Мпр,
.
59
В истинном механизме разрушения С + Б1 + Б1 + У1 образуется
пр6
8,0 МM
прпрпрпр7
8,025,08,0285,1 MММММ
шесть пластических шарниров (Ш = 6). Степень статической неопределимости заданной рамы равняется шести (Л = 6). Поэтому разрушение
будет частичным (Ш < Л + 1) и для точного определения изгибающих
моментов нужно произвести упругий расчет рамы. Но поскольку предельная нагрузка уже найдена, такой расчет излишен и безразлично,
какие значения примут изгибающие моменты М6 и М7, важно лишь,
чтобы они были меньше или равны предельным моментам и удовлетворяли уравнениям равновесия.
Например, пусть:
,
тогда:
.
Статическая проверка полученной эпюры изгибающих моментов
показана на рис. 35.
Рис. 35. Статическая проверка
ПРИМЕР 3. Для рамы, показанной на рис. 36, имеющей одинаковые сечения стержней, построить эпюру предельных изгибающих моментов при заданной расчетной предельной нагрузке.
Число простых возможных механизмов разрушения рамы равно:
m = 7 – 4 = 3.
Запишем уравнения работ для каждого из механизмов разрушения.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]