Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Рис. 14. Схема возникновения пластических шарниров
Будем считать, что в момент разрушения балки угол поворота θ
мал, тогда получим tgθ = θ = δ/z, откуда δ = θz и аналогично φ = θz/(l – z).
На основании принципа возможных перемещений запишем выражение
работы внешних и внутренних сил на возможных перемещениях механизма разрушения:
qпрlδ/2 – Mпрθ – Mпрφ – Mпрφ = 0
или
q
lzθ/2 – Mпрθ – 2Mпрθz/(l – z) = 0,
пр
откуда получим:
qпр = 2Mпр(l + z)/(lz(l – z)).
Согласно кинематической теореме предельной нагрузкой является
наименьшая из всех возможных нагрузок, определяемых этим выражением. Найдем первую производную по z и приравняем ее нулю. Получим следующее выражение:
41
z2 + 2lz – l2 = 0.
2
пр
l
М
Из решения этого уравнения определим:
z = 0,414l.
Знак второй производной показывает, что при этом значении z
функция qпр достигнет минимума. Предельное значение интенсивности
распределенной нагрузки равно:
qпр = 11,6
.
Результаты расчетов, проведенные по статической и кинематической теоремам, совпали, следовательно, получено действительное значение интенсивности предельной нагрузки.
42
8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ СПОСОБОМ
КОМБИНИРОВАННЫХ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ
При расчете рам пользуются кинематической теоремой, то есть ис-
следуют возможные механизмы разрушения и для каждого из них определяют внешнюю нагрузку. За расчетную нагрузку принимают наименьшую.
Для нахождения истинного механизма разрушения используется
способ комбинированных механизмов, основанный на том, что все
возможные механизмы могут быть получены путем составления различных комбинаций из простых механизмов.
Число возможных простых механизмов разрушения, равное числу
независимых уравнений равновесия, для рамы с вертикальными стойками и горизонтальными ригелями определяется по формуле:
m = n – Л,
где m — число простых механизмов разрушения;
n — число сечений рамы, в которых возможно образование пластических щарниров. Эти сечения совпадают с точками приложения сосредоточенных сил, с точками перелома оси рамы, с точками резкого изменения поперечного сечения, в пределах действия распределенной
нагрузки;
Л — степень статической неопределимости заданной рамы.
В зависимости от числа образовавшихся в истинном механизме
разрушения пластических шарниров различают три вида разрушения
заданной системы:
1) частичное разрушение при образовании в истинном механизме
разрушения пластических шарниров Ш < Л + 1;
2) полное разрушение при образовании в истинном механизме раз-
рушения пластических шарниров Ш = Л + 1;
3) избыточное разрушение при образовании пластических шарни-
ров Ш > Л + 1.
При расчете статически неопределимых рам способом
комбинированных механизмов разрушения сначала рассматриваются
все простые независимые механизмы разрушения, а затем их
комбинации.
43
Рис. 15. Заданная для расчета рама
ПРИМЕР 1. Для рамы, показанной на рис. 15, число простых
механизмов разрушения равно:
m = n – Л = 9 – 5 = 4.
В данной раме могут образовываться два балочных механизма разрушения Б1 и Б2, механизм бокового смещения С и механизм поворота
среднего жесткого узла У. Рассмотрим эти механизмы.
а б
Рис. 16. Балочные механизмы разрушения Б1 (а) и Б2 (б)
44
Балочный механизм разрушения Б
. Этот механизм разрушения
1
возникает от нагрузки, приложенной в пролете. При этом образуются
три пластических шарнира: два по краям пролета и третий в пролете в
месте максимального момента. Пластические шарниры в отличие от
обычных показаны жирными точками. В образовавшихся пластических
шарнирах возникают внутренние предельные моменты Мпр, которые
стремятся закрыть образовавшийся шарнир (рис. 16, а). Для определения нагрузки записываем уравнение работ внешних и внутренних сил.
Работа внешней силы положительна и равна произведению силы Р на
перемещение Δ. Работа внутренних моментов всегда отрицательна, так
как предельные моменты стремятся закрыть образовавшийся шарнир. Она
равна произведению момента на угол поворота. Согласно принципу возможных перемещений работа внешних и внутренних сил равна нулю:
РΔ – Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0.
Перемещение Δ вследствие малости угла φ равно 3φ, поэтому:
3Рφ – 4Мпр = 0
или
Р = 1,33Мпр.
Балочный механизм разрушения Б
. Число пластических шарни-
2
ров может быть меньше трех, если на месте их образования уже есть
обычный шарнир (рис. 16, б), как у механизма Б2. Во втором сечении
пластический шарнир возникает на ригеле, так как он меньше, чем на
стойке. Пластический момент в этом сечении будет равен Мпр. В первом сечении в точке приложения внешней силы пластический момент
будет 2Мпр. Уравнение работ для этого сечения будет:
2РΔ – Мпрφ – 2Мпрφ –2Мпрφ = 0.
Перемещение Δ равно 2φ, поэтому:
4Рφ – 5Мпр = 0
или
Р = 1,25Мпр.
45
Механизм бокового смещения С. В этом случае ригель рамы смещается в сторону действия нагрузки. Пластические шарниры образуются на
стойках в местах прикрепления к ригелю и к жесткой опоре (рис. 17, а).
Предельная нагрузка для этого механизма будет равна:
2РΔ – Мпрφ – 3Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ = 2φ; Р = 2,25Мпр.
а б
Рис. 17. Механизм С1 (а) и механизм С + Б2 (б)
Механизм поворота узла У. Такой механизм возможен только в
узлах, где жестко соединены три или более стержней. В каждом прикрепленном стержне на бесконечно малом расстоянии от узла возникает пластический шарнир. При повороте узла по часовой стрелке (или
против нее) в каждом прикрепленном стержне на бесконечно малом
расстоянии от узла возникает пластический шарнир. Поскольку образовавшиеся пластические шарниры находятся непосредственно около поворачивающегося узла, стержни рамы при таком механизме не деформируются. Отдельно этот механизм разрушения рассматривается только при наличии в узле поворота заданного внешнего сосредоточенного
изгибающего момента. Его учитывают в комбинации с другими простыми механизмами разрушения.
При составлении комбинаций простых механизмов надо рассматривать только те случаи, при которых хотя бы один шарнир закрывается.
При сложении простых механизмов общие для этих механизмов
пластические шарниры закрываются, то есть исчезают, если в простых
механизмах они были раскрыты в разные стороны. Поэтому при сложении в пластическом шарнире наступает разгрузка, и благодаря свойству односторонности он исчезает.
46
Рассмотрим все возможные комбинации простых механизмов.
Комбинация балочного механизма Б
и механизма бокового
2
смещения С (рис. 17, б). В результате сложения пластический шарнир
во втором сечении закрывается, и угол между ригелем и стойкой будет
снова прямым. Работа внешних и внутренних сил будет равна:
2РΔ – 2Мпр2φ – 3Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ = 4φ; Р = 1,5Мпр.
а б
Рис. 18. Комбинация С + У (а) и комбинация С + Б2 + У
Комбинация механизма бокового смещения С и узлового механизма У. В этом случае вместо шарнира в 4 сечении на стойке возни-
кают два шарнира на ригеле в точках 3 и 5 (рис. 18, а) Этот механизм
надо рассматривать только в случае если сумма предельных моментов
на ригеле справа и слева от узла меньше предельного момента на стойке. В противоположном случае работа внутренних сил в такой комбинации получится больше чем в простом механизме, а значит и предельная нагрузка будет больше, то есть она не будет предельной. Предельная нагрузка в данном случае будет равна:
2РΔ – Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ = 2φ и Р = 2Мпр.
Комбинация балочного механизма Б2, механизма бокового смещения С и углового механизма У (рис. 18, б). Из уравнения работ
внешних и внутренних сил получим:
47
2РΔ – 2Мпр2φ − Мпрφ – Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ = 4φ и Р = 1,375Мпр.
Комбинация балочного механизма Б
, механизма бокового сме-
1
щения С и углового механизма У (рис. 19, а). В этом случае пластиче-
ские шарниры на стойке в сечении 4 и на ригеле в сечении 6 закрываются. Таким образом угол между стойкой и правой частью ригеля становится прямым. Предельная нагрузка будет равна:
2РΔ1 + РΔ2 – Мпрφ – Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ –
− Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ1 = 2φ; Δ2 = 3φ и Р = 1,428Мпр.
Комбинация балочного механизма Б
, балочного механизма Б2,
1
механизма бокового смещения С и углового механизма У (рис. 19, б).
Это последняя возможная комбинация. В этом работа внешних и внутренних сил будет равна:
2РΔ1 + РΔ2 – 2Мпр2φ – Мпрφ – 3Мпрφ – Мпрφ –
− Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ – Мпрφ = 0;
Δ1 = 4φ; Δ2 = 3φ и Р = 1,1818Мпр.
а б
Рис. 19. Комбинация С + Б1 (а) + У и комбинация С + Б1 + Б2 (б)
48
Минимальное значение Р
соответствует последней комбиниро-
min
ванной форме разрушения. Следовательно, на основании кинематической теоремы истинным будет именно эта форма. По этой форме разрушения строится эпюра предельных изгибающих моментов (рис. 20).
Для построения эпюры изгибающих моментов надо отложить в сечениях 3, 6, 7 и 9, соответствующих пластическим шарнирам, предельный
момент Мпр, в сечении 1 предельный момент 2Мпр, в сечении 9 предельный момент 3Мпр. Изгибающие моменты в остальных сечениях определяются из уравнений равновесия. Для левой стойки получим:
2Р = 2Мпр+ М2/2
или
М
= 2(2 · 1,1818Мпр – 2Мпр) = 0,727М
2
пр.
Рис. 20. Эпюра предельных изгибающих моментов
Аналогично определяется изгибающий момент в сечении 5:
Р6/4 = М
+ М4/2 + Мпр/2
пр
или
М
= 2(1,5 × 1,1818Мпр – 1,5Мпр) = 0,545Мпр.
4
Изгибающий момент в сечении 4 определяется из равновесия узла.
49
ПРИМЕР 2. Определить предельную нагрузку и построить эпюру
предельных изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 21.
Предельные моменты равны: для ригеля 0,8Мпр, для левой стойки Мпр,
для средней стойки 0,4Мпр, для правой стойки 1,2Мпр.
Для данной рамы (m = 11 – 6 = 5) возможны пять простых механизмов разрушения: Б1, Б2, С, У1, У2. При этом надо иметь в виду, что
узловых механизмов У1 и У2 возможен поворот как по часовой стрелке,
так и против нее.
Рис. 21. Заданная для расчета рама
Рис. 22. Механизм Б1
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]