Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Рис. 56. Образование линейных пластических шарниров
Рассмотрим шарнирно опертую плиту, загруженную сосредоточенной силой. В этом случае образуются линейные пластические шарниры, идущие от точки приложения сил к опорам (рис. 56). Работа внешней сосредоточенной силы Р, приложенной в точке С, будет равна:
V = Pu.
Где u перемещение точки приложения сосредоточенной силы из
плоскости плиты. Погонные пластические шарниры совершают работу
на линиях АС, ВС, DC, EC. Длины этих пластических линейных шарниров обозначим соответственно L1, L2, L3, L4. Взаимный угол поворота
θ1 жестких дисков ABC и BDC будет равен:
θ1 = (ctqα1 + ctqβ1)u/L1.
Взаимный угол поворота θ2 жестких дисков ABC и AEC будет равен:
θ2 = (ctqα2 + ctqβ2)u/L2.
91
Взаимный угол поворота θ3 жестких дисков AEC и EDC будет равен:
ba
ab
ba)1(
ab
)1(
ba)1(
)1(
ab)1(
)1(
ba
)1(
ab)1(
ba
ab
ba)1(
ab
)1(
ba)1(
)1(
ab)1(
)1(
ba
)1(
ab)1(
ba)1(
ab)1(
θ3 = (ctqα3 + ctqβ3)u/L3.
Взаимный угол поворота θ4 жестких дисков DEC и BDC будет равен:
θ4 = (ctqα4 + ctqβ4)u/L4.
Тогда работа внутренних сил запишется в следующем виде:
W = M0u(ctqα1 + ctqβ1 + ctqα2 + ctqβ2 +
+ ctqα3 + ctqβ3 + ctqα4 + ctqβ4). (92)
Котангенсы углов определяются по формулам:
ctqα1 =
ctqα2 =
ctqα3 =
ctqα4 =
Подставляя найденные котангенсы углов в формулу (92), получим:
W = M0u(
+
+
= M0u(
; ctqβ1 =
; ctqβ2 =
; ctqβ3 =
+
; ctqβ4 =
+
+
+
+
+
;
;
;
.
+
) =
).
92
Приравнивая сумму работ внешних и внутренних сил к нулю, по-
ba)1(
ab)1(
лучим предельную силу:
Р = M0 (
+
).
Для квадратной плиты с силой, приложенной в центре (a = b, η =
ξ = 0,5):
Р = 8M0.
93
11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Напряжения и деформации, возникающие при нагружении конструкций, изменяются во времени. Это явление называется ползучестью
материала. Одна сторона этого явления — изменение во времени де-
формаций — называется собственно ползучестью. Например, случай
возрастающих во времени прогибов сильно напряженного перекрытия
под действием постоянной неизменной во времени нагрузки. С другой
стороны, при постоянстве деформаций со временем напряжения будут
изменяться (случай падения напряжения в натянутом болте или струне,
сохраняющих постоянную деформацию). Это так называемое явление
релаксации. Последствие может быть упругим и пластическим. При
упругом последствии деформации, возникающие во времени, после
разгрузки уменьшаются и с течением времени совсем исчезают, при
пластическом они в основном необратимы и после разгрузки уменьшаются медленно и в незначительной степени.
а б в
Рис. 57. Деформации пружины (а), вязкого (б)
и жестко-пластического (в) элементов
Законы деформации различных материалов можно проиллюстрировать посредством простых механических или, как и называют, реологических моделей. Рассмотрим основные элементы этих моделей.
94
Деформация чисто упругой среды, подчиняющейся закону Гука,
Е
1
dt
dв
1
иллюстрируется деформацией пружины (рис. 57, а). Удлинение δу ее
пропорционально приложенной силе Р:
δу =
где Е — модуль упругости.
Вязкий элемент (рис. 57, б) может быть изображен в виде цилиндра, заполненного жидкостью, которая может вытекать через зазор между цилиндром и поршнем. В этом случае скорость перемещения δв
поршня пропорциональна приложенной силе Р:
где η — коэффициент вязкости.
На рис. 57, в изображен жесткопластический элемент. В этом элементе за счет Кулонова трения до определенного значения Р взаимное
перемещение стержней будет равно нулю. После превышения внешней
силы этого значения скорость перемещения будет постоянная.
Р, (93)
=
Р, (94)
а б
Рис. 58. Модель упругопластической (а) и вязкопластической (б) среды
95
Комбинация упругого и жесткопластического элементов образуют
dt
d
Е
1
dt
dP
1
dt
d
Е
1
dt
d
1
модель упругопластической среды (рис. 58, а).
Если параллельно соединить вязкий элемент и жесткопластический, то получим модель вязкопластической среды (рис. 58, б).
Последовательное соединение упругого и вязкого элементов описывают так называемое тело Максвелла (рис. 59, а). В этом случае перемещение δ будет равно сумме удлинения δу пружины и перемещения
δв поршня:
δ = δу + δв, (95)
дифференцируя соотношение (95) по времени и используя выражения
(93) и (94) получим:
Переходя от перемещения δ и силы Р к деформации ε и напряжению σ получим уравнение описывающее тело Максвелла:
а б
=
=
·
·
+
Р. (96)
+
σ. (97)
Рис. 59. Тело Максвелла (а) и график времени релаксации (б)
96
При постоянном во времени напряжении производная
dt
d
dt
d
1
dt
d
Е
1
dt
d
1
Et
e
E
dt
d
dt
d
равна нулю, из уравнения (97) следует, что:
=
σ.
Это означает, что материал течет подобно вязкой жидкости с постоянной скоростью.
будет
Рассмотрим теперь постоянную деформацию, то есть
В этом случае получим дифференциальное уравнение первого порядка:
·
+
σ = 0,
интегрируя это уравнение при начальном условии t = 0; σ = σ0, получим:
σ = σ0
Отношение
напряжение уменьшается в e = 2,718 раз. Эта величина называется
временем релаксации. Напряжение изменяется по экспоненциальному
закону и стремится к нулю (рис. 59, б).
При соединении упругого и вязкого элементов параллельно по-
лучим так называемую модель тела Фойгта (рис. 60, а). Сила Р, действующая на упругий и вязкий элементы, очевидно, равна сумме сил Ру и
Рв, действующих на упругий и вязкий элементы. Используя выражения
(93) и (94), получим:
представляет собой время, за которое начальное
Р = Еδ + η
.
.
= 0.
Переходя к напряжению и деформации, получим:
σ = Еε + η
97
. (98)
а б
Et
e
Рис. 60. Модель тела Фойгта (а)
и график изменения деформаций во времени (б)
Интегрируя это уравнение при постоянном напряжении и используя начальное условие при t = 0, ε = 0, получим:
ε = σ/Е (1 –
). (99)
Согласно полученной зависимости деформация увеличивается во
времени и стремится к величине σ/Е (рис. 60, б).
При постоянной деформации мы из уравнения (98) получаем закон
Гука, следовательно, это уравнение не отражает явления релаксации
напряжений и является его недостатком.
Модели Максвелла и Фойгта качественно отражают некоторые
стороны сложных процессов деформирования материалов во времени,
но не дают удовлетворительного совпадения с опытом. Для лучшего
описания происходящих процессов используют более сложные модели
(рис. 61).
Рассмотрим модель, представленную на рис. 61, а. Изменение расстояния между точками приложения сил Р будет равно сумме удлинения первой и второй пружин:
δ = δу1 + δу2. (100)
98
а б
Рис. 61. Варианты сложных моделей поведения материала (а) и (б)
Удлинения пружин пропорциональны силам, действующим на упругие элементы:
Е1δ
= Ру1;
у1
Е2δу2 = Ру2. (101)
Подставляя эти выражения в формулу (100), получим:
δ = Ру1/Е1 + Ру2/Е2. (102)
Очевидно, что сила Р, воспринимаемая соединением элементов,
равна сумме сил, действующих на второй упругий и вязкий элементы, а
также равняется силе, действующей в первом элементе:
Р = Ру1 = Рв + Ру2. (103)
99
Сила, приложенная к вязкому элементу, пропорциональна скорости
dt
dв
1
dt
dв
dt
dε
dt
d
перемещения поршня относительно цилиндра:
Учитывая (103) и (104) из уравнения (102), получим:
РЕ2 + Е1(Р – η
Деформации второго упругого элемента и вязкого элемента
(рис. 61, б) равны:
δв = δу2. (106)
Учитывая это и уравнение (103) и (105), а также переходя от перемещений и сил к деформациям и напряжениям, получим:
η(Е1 + Е2)
=
Р
. (104)
в
) = δЕ1Е2. (105)
+ Е1Е2 ε = η
+ Е
σ. (107)
2
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]