Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
сечения, а не в крайнем волокне (рис. 10, б). Дифференцируя (60) по
)/1( d
dM
2
3
A
43
2
2 IA
EI
3
2
43
2
3 IA
EI
27
2
bh
3
5
A
E
5/36
2
bh
max
1
Eh
пр
15
Eh
пр
кривизне 1/ρ и приравнивая производную нулю, получим выражение
для максимального значения кривизны:
= EI2 – 3I
4
= 0; (1/ρ)
max
=
. (66)
После подстановки этого значения в формулу (60) найдем максимальный момент:
M
max
=
EI
2
. (67)
Для прямоугольного сечения, подставив моменты инерции, получим:
M
max
=
E
. (68)
Если выразить А3 через Е и σпр (38), то максимальный момент будет
равен:
M
max
=
σпр. (69)
Максимальный момент больше наибольшего момента М1. Отношение этих моментов равно:
M
= 1,076M1. (70)
max
Определим максимальную кривизну, соответствующую максимальному моменту. Для этого в формулу (66) подставим значения моментов инерции для прямоугольного сечения балки и значение постоянной А3 (38):
=
= 3,86
. (71)
31
Подставив в формулу (61) значение максимальной кривизны (71),
152
3
2
h
9
2
15
кв
max
M
4
2
bh
после преобразований получим ординату zm, соответствующую точке с
максимальным напряжением (рис. 10, б):
zm =
h = 0,348, h = 0,776
. (72)
Определим напряжение в крайнем волокне, подставив в формулу
для напряжений (57) значения максимальной кривизны (71) и расстояние до крайнего волокна z = h/2:
σкв =
σпр. (73)
Момент сопротивления W, соответствующий максимальному моменту, будет равен:
W =
=
. (74)
Полученное значение момента сопротивления подтверждает вывод
А.Р. Ржаницына, что при любом законе физической нелинейности момент сопротивления будет одинаков, если на балку действует максимальный момент.
32
6. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
4
2
bh
ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Для расчета стержневых систем воспользуемся жесткопластической диаграммой работы материала. Теория расчета, основанная на
идеализированной диаграмме работы материала с неограниченной
площадкой текучести, называется теорией предельного равновесия.
Рассмотрим изгиб балки поперечного сечения с двумя осями симметрии (рис. 11, а). Для упрощения задачи зависимость σ-ε примем в
виде диаграммы работы упруго пластического материала (рис. 6, а), а
также будем считать, что при изгибе балки, как в пределах упругой работы материала, так и при напряжениях, равных σт, поперечные сечения остаются плоскими и только поворачиваются около нейтральной
оси. На основании принятых допущений пластические деформации
вначале возникают в крайних волокнах поперечного сечения при достижении в них нормальных напряжений, равных σт. Соответствующая
эпюра показана на рис 11, б.
При дальнейшем увеличении внешней нагрузки нормальные напряжения, равные σт, будут возникать и во внутренних волокнах. Распределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения
примет вид, изображенный на рис. 11, в, то есть появятся две зоны:
пластическая у крайних волокон и упругая — около нейтральной оси.
Дальнейшее увеличение внешней нагрузки вызовет перемещение
поверхности y = hу, разделяющей упругую и пластическую зоны, к нейтральной оси, до тех пор, пока hу не станет равным нулю. При hу = 0 все
поперечное сечение, как в сжатой, так и в растянутой зонах, будет находиться в состоянии текучести и эпюра нормальных напряжений примет вид двух прямоугольников (рис. 11, г).
Внутренний изгибающий момент, соответствующий возникновению
нормальных напряжений во всех волокнах поперечного сечения, равных
σт, называется предельным моментом, или моментом текучести.
Предельный момент равен:
Мпр = σ
= σТWпл, (75)
Т
где Wпл — пластический момент сопротивления поперечного сечения.
33
а б в г
у
h
у
Т
dy
h
y
0
2
σ
ydy
h
h
Т
у
σ
12
2
bh
Рис. 11. Балка с двумя осями симметрии (а), эпюра нормальных
напряжений при упругой работе (б), движение пластической зоны работы
внутрь сечения (в) и возникновение пластического шарнира (г)
Соответствующий этой эпюре нормальных напряжений внутренний изгибающий момент равен:
M = 2b[
+
] = σ
Т
(3h2 – 4h
2
). (76)
у
Таким образом, при достижении изгибающим моментом предельного значения Мпр в опасном сечении возникает пластический шарнир и
происходит исчерпание несущей способности сечения, то есть одна
часть балки в этом шарнире может повернуться относительно другой.
Пластический шарнир отличается от идеального шарнира тем, что в нем
возникает предельный изгибающий момент, и он является односторонним,
то есть раскрывается только в одном направлении. Пластический шарнир
исчезает при разгрузке конструкции или при перемене знака внешнего
воздействия. При этом конструкция начинает работать как упругая.
Для различных форм поперечного сечения с двумя осями симметрии пластический момент сопротивления можно выразить через упругий момент сопротивления по формуле: Wпл = λWуп (где λ — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; для прямоугольника λ = 1,5; для двутавра λ = 1,17; для круга λ = 1,7).
34
Проанализируем развитие деформации в балке, нагруженной возрастающей силой Р, и определим зависимость между кривизной балки
и изгибающим моментом в опасном сечении.
На первом этапе нагружения, пока σ < σТ, в упругой стадии работы
материала зависимость между кривизной оси балки и изгибающим моментом линейная (участок ОВ на рис. 12, а).
а б
Рис. 12. Первый этап загружения балки сосредоточенной силой (а),
диаграмма зависимости величины момента от кривизны (б)
С дальнейшим ростом нагрузки Р и достижением напряжениями в
крайних и некоторых внутренних волокнах предела текучести зависимость между кривизной и моментом становится криволинейной. При
этом увеличение изгибающего момента отстает от роста кривизны
(участок ВС на рис. 12, б). При достижении внешней нагрузки предельного значения Рпр кривизна оси балки в опасном сечении стремится к
бесконечности. Упругие деформации отдельных участков балки ЕК1 и
К
Т настолько малы по сравнению с общей пластической деформацией,
1
что ими можно пренебречь. Тогда можно принять, что в состоянии предельного равновесия происходит движение кинематического механизма,
состоящего из двух бесконечно жестких дисков ЕК1 и К1Т, соединенных
шарниром в точке К1, в которой по концам этих дисков возникает предельный изгибающий момент постоянной величины, равный Мпр.
Таким образом, предельная нагрузка, которую может воспринимать заданная конструкция, почти не зависит от диаграммы работы материала, от поперечных, продольных сил и крутящих моментов.
35
При практических расчетах пользуются следующими допущениями:
1. Конструкция выполнена из жесткопластического материала, бла-
годаря чему кривизна будет равна нулю до тех пор, пока изгибающий
момент в сечении меньше Мпр, и кривизна будет иметь любое положительное значение при М = М
или любое отрицательное значение при
пр
М = –Мпр.
2. Форма поперечного сечения мало сказывается на величине Рпр, а
определяющей будет несущая способность заданного сечения, равная
М
= σТWпр.
пр
3. Влиянием поперечных, продольных сил и крутящих моментов
будем пренебрегать.
4. Рассматривается случай простого нагружения, при котором все
действующие на конструкцию нагрузки связаны между собой и одновременно возрастают до предельного состояния прямо пропорционально одному параметру.
36
7. ТЕОРЕМЫ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Введем понятие статически допустимого распределения внутренних изгибающих моментов. В этом случае внутренние усилия во
всей конструкции должны удовлетворять двум условиям:
1) условиям равновесия, то есть внутренние изгибающие моменты
уравновешены внешними нагрузками;
2) условиям прочности, то есть внутренние изгибающие моменты
ни в одном сечении не превышают по величине предельный момент.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы конструкция
могла воспринять заданную нагрузку, является существование, по
крайней мере, одного статически допустимого распределения моментов
с данной нагрузкой.
Статическая теорема. Для заданной статически неопределимой
системы из всех возможных статически допустимых распределений
внутренних изгибающих моментов истинным будет то, которое соответствует максимальной величине нагрузки.
а б
Рис. 13. Статически допустимое поле при загружении балки
равномернораспределенной нагрузкой (а), область допустимых решений (б)
37
Применение статической теоремы проиллюстрируем на примере
2
2
qz
dz
dM
q
R
A
q
R
А
2
2
q
R
А
2
2
балки, изображенной на рис. 13, а. Балка имеет постоянное сечение,
предельный момент для всех сечений равен: Мпр = σтWпр. Статически
допустимым полем распределения изгибающих моментов является эпюра моментов от распределенной нагрузки q, показанная на рис. 13, а. Так
как заданная система один раз статически неопределима, то внутренние
изгибающие моменты в предельном состоянии должны хотя бы в двух
сечениях достичь предельной величины. Такими сечениями, согласно
эпюре М, будут опорное сечение в точке В и сечение в пролете на расстоянии z.
Выразим изгибающие моменты в этих сечениях через опорную реакцию RА. Изгибающий момент в пролете балки равен:
Мz = RAz –
Наибольшее значение момента достигается при Q =
. (77)
= 0, откуда:
RA – qz = 0
или
z =
.
Наибольший момент в пролете равен:
М
max
=
.
Из условия, что величина наибольшего момента не превышает предельного:
М
max
=
≤ Мпр,
38
получим:
пр
2
2М
R
А
2
2
ql
2
пр
2
l
М
l
RА2
пр
2
2М
R
А
2
пр
2
l
М
l
RА2
l
М
пр
пр
2
2М
R
А
2
пр
l
М
qпр ≥
.
Отрицательный наибольший момент будет в опоре В. Он не должен превышать предельного момента и равен:
МВ = – RAl +
≤ Мпр,
откуда:
q ≤
+
.
По полученным неравенствам построим область допустимых решений Ω (рис. 13, б). На основании статической теоремы предельная
нагрузка qпр должна быть больше всех возможных нагрузок, определяемых областью Ω. Наибольшего значения qпр достигает на границе
области в точке D, на пересечении линий уравнений:
qпр =
и
q =
+
.
Из решения этих уравнений находим:
RА = 4,82
.
Из любого равенства определяем величину предельной интенсивности распределенной нагрузки:
qпр =
= 11,6
.
39
Кинематическая теорема основана на рассмотрении условий об-
разования механизмов разрушения. Механизм разрушения соответствует двум условиям:
1) в заданной системе или ее части образуется достаточное число
пластических шарниров, при которых система или ее часть превращаются в геометрически изменяемую;
2) в предельном состоянии перед образованием последнего пласти-
ческого шарнира для данного механизма разрушения система еще
удовлетворяет условию равновесия, которое записывается в виде работ
внешних сил и внутренних изгибающих моментов. При этом работа
внешних сил считается положительной, а работа предельных изгибающих
моментов, возникающих в пластических шарнирах — отрицательной.
Кинематическая теорема формулируется следующим образом. Для
заданной статически неопределимой системы при действии заданного
вида нагрузки истинным механизмом разрушения является тот, который соответствует наименьшей нагрузке.
Таким образом, кинематическая теорема позволяет находить из
рассмотренных различных механизмов разрушения внешние нагрузки
больше предельной. Наименьшая из всех найденных нагрузок будет
ближе всего к предельной.
Статическая и кинематическая теоремы позволяют снизу и сверху
приблизиться к действительной предельной нагрузке. Для стержневых
систем удается определить точное значение предельной нагрузки. В этом
случае нагрузки, найденные на основе статической и кинематической
теорем, будут равны. Следовательно, если найден действительный механизм разрушения, то подтверждением этому является возможность существования статически допустимого распределения внутренних изгибающих моментов. Это утверждение называется теоремой единственности.
Для стержневых систем предельную нагрузку обычно находят на
основе кинематической теоремы. Статическая теорема служит для проверки правильности найденной предельной нагрузки. Иными словами,
если можно построить хотя бы одну эпюру моментов, соответствующую статически допустимому полю распределения внутренних изгибающих моментов, то предельная нагрузка определена верна.
Кинематическую теорему проиллюстрируем на примере расчета балки, рассмотренной статическим способом. Данная система превратится в
механизм с одной степенью свободы, если в ней образуются два пластических шарнира. Один шарнир возникает в жесткой опоре (сечение В), а
второй где-то в пролете в сечении С на расстоянии z от опоры А (рис. 14).
Обозначим угол поворота диска АС ― θ и угол поворота диска СВ ― φ.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]