Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Для большинства материалов дополнительная энергия ω1 меньше,
d
d
пр
пр
пр
пр
пр
)(
d
d
2
пр
3
3А
Е
3
2
3
3А
Е
чем потенциальная энергия деформации ω2, поэтому n > 1.
Определим начальный модуль:
Е = (
)
ε = 0
=
n. (35)
Таким образом, начальный модуль равен конечному числу, а не
бесконечности, как в степенном законе Бюльфингера. Поэтому зависимость Сен-Венана лучше описывает поведение материала при малых
деформациях. Но в общем случае начальный модуль Е, вычисленный
по формуле (35), не будет равняться действительному значению. Если
вместо второго условия поставить требование начального модуля Е
экспериментальному значению Еэ, то из выражения (35) получим постоянную n:
n = Еэ/
. (36)
Кубическая парабола
Чтобы исправить основной недостаток зависимости Герстнера, необходимо во втором члене этой зависимости квадрат деформации заменить кубом:
σ = А1ε – А3ε3. (37)
Приравняем нулю производную при деформации равной предельной ε = εпр:
= Е – 3А
= 0; εпр =
3
.
Если полученное значение деформации εпр подставить в (37), то
получим предельное напряжение:
σпр =
.
21
Из этого выражения находим постоянную А3:
27
4
2
пр
3
Е
А3 =
·
. (38)
Кубическая парабола обеспечивает симметричность диаграммы относительно растяжения-сжатия, а при деформациях, стремящихся к нулю, она переходит в закон Гука. Однако не очень точно аппроксимирует экспериментальные деформации при больших деформациях.
Кубическая парабола для материалов, по-разному
сопротивляющихся на растяжение и сжатие
Многие материалы в большей или меньшей степени по-разному
сопротивляются растяжению и сжатию. Например: алюминиевые сплавы, пластмассы, бетон и т.д. Для таких материалов зависимость напряжений и деформаций можно представить в виде кубической параболы:
σ = А1ε + А2ε2 – А3ε3. (39)
Рис. 5. Равенство пределов прочности на экспериментальной
и аппроксимирующей диаграммах
Для определения коэффициентов можно использовать следующие условия: равенство пределов прочности экспериментальной и
аппроксимирующей диаграмм в сжатой (σ
с
) и растянутой (σ
пр
пр
р
) зо-
нах (рис. 5); равенство А1 = Е.
22
Диаграмма Прандтля
а б
Рис. 6. Диаграмма Прандтля для упругопластичного (а)
и жесткопластичного тела (б)
Для материалов, имеющих ярко выраженную площадку текучести,
Прандтль (1875—1953) в 1924 г. предложил диаграмму идеального упругопластического тела (рис. 6, а). Она имеет два участка: упругий участок ОВ до предела текучести и участок ВС — площадку текучести
бесконечно большой величины. Диаграмма Прандтля с достаточной
степенью точности аппроксимирует действительную диаграмму растяжения. При больших деформациях величиной упругой деформации
можно пренебречь или, что равносильно, принять модуль упругости
равным бесконечности. Тогда получим диаграмму растяжения, приведенную на рис. 6, б. При отсутствии упрочнения она называется диаграммой жесткопластического тела. Согласно этой диаграмме работы
материала в конструкции не возникает никаких деформаций при напряжениях, меньших предела текучести, а они появляются и безгранично возрастают при напряжениях, равных пределу текучести. Данная
диаграмма имеет простое математическое описание, и ею широко пользуются при практических расчетах.
23
5. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ БАЛКИ
F
z
dF
dFz
A
F
k
k
Если длина балки значительно превышает ее высоту и моменты
меняются по длине балки достаточно медленно, то независимо от физико-механических свойств материала справедлива гипотеза плоских
сечений.
Согласно гипотезе плоских сечений удлинение волокна, отстоящего на расстоянии z от нейтрального слоя, равно:
ε = z/ρ. (40)
Здесь ρ — радиус кривизны изогнутой оси балки. Составим формулы для определения напряжений и прогибов при различных законах
физической нелинейности.
Используя степенной закон Бюльфингера (25), получим:
σ = А(z/ρ)k . (41)
а б
Рис. 7. Определение положения нейтрального слоя
для симметричного (а) и несимметричного сечений (б)
Для определения положения нейтральной оси спроектируем все
внутренние силы на ось x (рис. 7, а):
=
. (42)
24
Величина:
dFz
F
k
0
dFz
F
k
3
h
2
12
F
z
zdF
dFz
A
F
k
k
1
k
k
АI
1
dFz
F
k1
Sk =
(43)
называется статическим моментом k-го порядка. Так как А и ρ не равны
нулю, то статический момент должен быть равен нулю:
Sk =
. (44)
Это условие для определения нейтрального слоя при k = 1 переходит в аналогичное условие для линейно-упругой балки, у которой нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Для симметричного сечения относительно оси x (рис. 7, а) из условия (44) также будет
следовать, что нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Для несимметричных сечений, например, для треугольного сечения (рис. 7, б), условие (44) будет:
k+2
(h – z0)
– z
k+1
[h(k + 2) – z0] = 0. (45)
0
Решая это уравнение при k = 1 (линейно-упругий материал) и k = 0
(жесткопластическое тело), получим:
(z0)
k=1
=
; (z0)
k=0
=
h = 0,293h. (46)
Таким образом, нейтральный слой для нелинейного материала уже
не проходит через центр тяжести несимметричного сечения.
Найдем зависимость для изгибающего момента М, при этом ограничимся случаем симметричного сечения балок:
М =
=
=
. (47)
Величина:
I
k+1
=
(48)
называется моментом инерции (k+1)-го порядка. Сопоставляя (41) и
(47), получим формулу для определения напряжений:
25
σz =
1k
I
M
1k
I
M
1k
W
M
k
k
hI)2/(
1
zk. (49)
Рис. 8. Изменение эпюры напряжений по степенному закону
Отсюда следует, что эпюра напряжений в отличие от эпюры деформаций изменяется также по степенному закону (рис. 8). При увеличении изгибающего момента эпюра напряжений по высоте сечения сохраняет свой вид. Например, при увеличении момента вдвое радиус
кривизны увеличивается в 2n раза, деформации тоже в 2n раза, а краевые напряжения — в два раза, то есть пропорционально изгибающему
моменту. Наибольшее напряжение для закона Бюльфингера будет всегда в крайнем волокне и определяется по формуле:
σ =
(h/2)k =
Здесь величина:
W
k+1
=
называется моментом сопротивления (k+1)-го порядка.
Для прямоугольного поперечного сечения балки момент инерции и
момент сопротивления равны:
26
. (50)
. (51)
)2(2
1
2
k
bh
k
k
)2(22k
bh
k
k
AI
M
1
1
2
P
k
k
AI
x
P
M
1
1
0
2
I
=
k+1
;
W
k+1
=
. (52)
Для определения перемещений подставим в формулу (47) вместо
кривизны вторую производную прогиба (1/ρ = w"). После преобразований получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
w" = –
. (53)
При заданном М(x) уравнение интегрируется обычными методами.
Определим форму изогнутой оси и опорные изгибающие моменты в
балке, защемленной по концам и нагруженной в середине сосредоточенной силой (рис. 9, а).
а б
Рис. 9. Загружение балки (а) и соответствующая эпюра моментов (б)
Эпюра моментов будет в этом случае симметричной (рис. 9, б).
Поэтому рассмотрим только половину балки. В этом случае момент
будет равен:
M = –M0 +
x,
и дифференциальное уравнение (53) принимает вид:
w" =
27
. (54)
Последовательно интегрируя это уравнение, находим:
1
1
1
0
2
k
k
AI
x
P
M
)1/1(
2
1
kP
AJ
k
2
1
1
0
2
k
k
AI
x
P
M
)2/1)(1/1(
4
2
212
kkP
JA
k
)1/1()(
2
/1
1
1/1
0
kPAJ
M
k
k
k
)2/1)(1/1()(
4
2/1
1
2/1
0
kkPAJ
M
k
k
k
8
Pl
z
3
3
z
ρ
w =
w' = –
+ С1;
+ С1x + C2. (55)
Составим граничные условия и получим значения постоянных М0,
С
, С2:
1
При x = 0, w' = 0:
C1 =
.
При х = 0, w = 0:
C1 =
.
При х = l/2, w' = 0:
M0 =
. (56)
Таким образом, опорные моменты М0 прямо пропорциональны
внешней нагрузке.
Рассмотрим особенности изгиба балок при зависимости между напряжениями и деформациями в виде кубической параболы (37). Напряжения в этом случае будут равны:
σz = E
– A
28
. (57)
Составим уравнение моментов:
F
z
zdF
dFz
E
F
2
dFz
A
F
4
3
3
dFz
F
2
dFz
F
4
2
EI
3
43
IA
dz
d
z
σ
E
3
2
z
3
3A
E
1
h
2
3
3A
E
М =
=
–
. (58)
Введем обозначение:
I2 =
; I4 =
(59)
и назовем эти величины моментами инерции соответственно второго и
четвертого порядков. Учитывая (59), изгибающие моменты будут равны:
М =
–
. (60)
Определим предельный изгибающий момент. При этом могут быть
два случая.
В первом диаграмма растяжения не имеет нисходящей ветви, и поэтому наибольший момент будет определяться из условия, что напряжение в крайнем волокне должно равняться предельному значению
σпр. Рассмотрим случай симметричного сечения балки высотой равной
h. В этом случае расстояние от нейтрального слоя до крайнего волокна
равняется h/2. Дифференцируя (57) по z и приравнивая производную к
нулю, получим уравнение для определения ординаты zm, соответствующей максимальному значению σпр:
=
– 3A
3
Полагая zm = h/2, получим значение кривизны, соответствующее
наибольшему значению изгибающего момента:
=
29
= 0; zm = ρ
. (62)
. (61)
Подставляя найденную кривизну в (60), определим наибольшее
h
I
A
E
E
2
3
2
3
3
4
3
8
33
h
I
A
EE
12
2
bh
80
5
bh
15
2
3
3A
E
E
значение момента М1 (рис. 10, а):
М1 =
–
. (63)
Для прямоугольного поперечного сечения моменты инерции будут
равны:
I2 =
; I4 =
. (64)
Подставляя (64) в (63), получим:
М1 =
bh
2
. (65)
а б
Рис. 10. Балка с симметричным поперечным сечением и эпюра напряжений
без нисходящей ветви (а) и снисходящей ветвью (б)
Если диаграмма растяжения имеет нисходящую ветвь, то наибольший момент можно определить как максимум функции (60). В этом
случае эпюра напряжений будет иметь максимум напряжений внутри
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]