Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
rjisrsji
j
i
aaaab
;
0
ir
i
a
b
5) все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент ars.
Правило выбора разрешающего элемента заключается в следующем:
1. Выбираем строку с отрицательным свободным членом (напри-
мер, br < 0). Обычно берут строку с наибольшим по абсолютной величине отрицательным свободным членом. Если среди коэффициентов
этой строки нет отрицательных, то система несовместна.
2. Если же среди коэффициентов рассматриваемой строки есть отрицательные, то берем какой-нибудь из них (пусть ars < 0 и столбец,
содержащий этот коэффициент, берем в качестве разрешающего.
3. Выбор разрешающей строки производится так: вычисляем все
неотрицательные отношения
свободных членов к соответст-
вующим отличным от нуля коэффициентам разрешающего столбца,
находим среди них наименьшее. Тогда эту строку берем в качестве разрешающей.
После проведения шага МЖИ просматривается столбец свободных
членов. Если они неотрицательны, то опорный план найден. Если же
среди свободных членов есть отрицательные, то выполняют второй шаг
МЖИ. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все свободные члены
не будут неотрицательными. Опорный план будет найден.
Нахождение оптимального плана
После получения опорного плана просматриваются коэффициенты
целевой функции. Если все они неотрицательные, то оптимальное решение найдено. Это решение получается, приравнивая нулю в симплекс-таблице переменные, расположенные вверху, а боковые в этом
случае будут равны свободным членам.
Если в строке целевой функции имеется отрицательный элемент, то
симплекс-метод для отыскания оптимального решения предлагает специальное правило перехода от полученной точки к той соседней вершине этого многогранника, в которой значение целевой функции больше
(не меньшее) предыдущего значения. Этот процесс продолжается, пока
не будет найдена вершина, в которой значение Z максимально, то есть
для которой все коэффициенты Z-строки будут неотрицательны.
Чтобы осуществить переход от данной вершины к упомянутой соседней вершине, делаем один шаг МЖИ со следующим правилом выбора разрешающего элемента.
71
Правило выбора разрешающего элемента:
ir
i
a
b
1. В качестве разрешающего берем столбец, содержащий отрица-
тельный элемент Z-строки (обычно разрешающим берут столбец, содержащий наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент Z-строки).
2. Отбираем все положительные коэффициенты этого столбца (если
такие имеются), делим соответствующие свободные члены на них
сравниваем полученные отношения и берем среди них наименьшее, достигаемое пусть при i = s. Тогда эту строку берем разрешающей, так что
элемент аsr разрешающий.
После шага МЖИ с разрешающим элементом, выбранным по только что сформулированному правилу, знак у fs изменится на противоположный, так что новый коэффициент fs окажется уже положительным.
Если все остальные новые коэффициенты Z-строки неотрицательны, то
задача решена (неотрицательность новых свободных членов обеспечена
правилом выбора разрешающего элемента).
Если же среди остальных коэффициентов новой Z-строки есть отрицательные, то процесс МЖИ продолжается до тех пор, пока все коэффициенты целевой функции не станут неотрицательными.
ПРИМЕР 1. Используя линейное программирование, найти предельную нагрузку и построить эпюру предельных изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 43 и имеющей одинаковые несущие
способности стержней (Мпр = 1 кН·м).
,
Рис. 43. Заданная для расчета рама
72
Примем следующее правило для моментов: изгибающий момент
05,0)(
421
PMMM
0
421
PMMM
считается положительным, если эпюра, построенная на растянутом волокне, лежит внутри рамы (рис. 44).
Рис. 44. Правило знаков
Составим уравнения равновесия, связывающие моменты в сечениях 1, 2, 3, 4 с внешними силами. Это можно сделать путем приравнивания к нулю суммы моментов всех сил относительно нескольких точек
рамы, однако этот путь нерационален, так как при этом в уравнения
равновесия войдут поперечные и продольные силы, которые потом
придется исключать. Более эффективный кинематический способ составления уравнений, основанный на принципе возможных перемещений. При этом способе возможно применение простых механизмов разрушения, так как их число соответствует числу независимых уравнений
равновесия статики. Для данной рамы (m = 4 – 2 = 2) возможны два
простых механизма разрушения: балочный и бокового смешения.
При принятом правиле знаков для изгибающих моментов работ
внешних и внутренних сил на возможных перемещениях для балочного
механизма (рис. 45) запишутся в следующем виде:
, где
.
Сокращая на φ, получим:
.
73
05,0)(
421
PMMM
2
0
421
PMMM
Рис. 45. Балочный механизм
Для механизма бокового смещения (рис. 46) запишем уравнение
работ:
или
, здесь
.
Рис. 46. Механизм бокового смещения
74
Полученные уравнения статического равновесия образуют систему:
02
432
PMMM
0
421
PMMM
11
1
M
11
3
M
11
2
M
11
4
M
1iiMx
1iixM
20 ix
02 iixy
02
432
Pxxx
01
421
Pxxx
;
.
Исходя из условий прочности, изгибающие моменты не должны превосходить предельного момента Мпр = 1 кН·м. Запишем эти ограничения:
;
;
;
.
Вводим новые неизвестные:
или
; i = 1, …4.
Тогда неравенства перепишутся в виде:
; i = 1, …4.
Левые части этих неравенств в дальнейшем не участвуют — они
лишь свидетельствуют о неотрицательности переменных xi.
Правые части полученной системы неравенств (вводя новые переменные yi) перепишем в виде:
; i = 1, …4.
Подставим в уравнения равновесия новые неизвестные xi:
;
.
Изменим знаки во втором уравнении на обратные, чтобы получить
положительный свободный член:
75
02
432
Pxxx
;
01
421
Pxxx
прmax
РРZ
–x1
–x2
–x3
–x4
–P
1
0 =
–1 2 –1
–1
0 =
1
–1 1 1 1
у
1
=
1
2
у
2
=
1
2
у
3
=
1
2
у
4
=
1
2
Z =
–1
2
0
1
2
2
0
.
В соответствии со статической теоремой истинным будет то распределение усилий, которое соответствует наибольшей нагрузке, следовательно, целевая функция равна:
.
Запишем полученную задачу в форме таблицы (табл. 2.)
Таблица 2
Значения целевой функции
Вначале необходимо исключить все 0-уравнения. Просматриваем
первую 0-строку. Положительный коэффициент 2 стоит в третьем
столбце. Его берем разрешающим. Для выбора разрешающей строки
приравниваем все неотрицательные отношения свободных членов к
соответствующим коэффициентам третьего столбца:
из них
и его знаменатель 2 будет разрешающим элементом.
;
. Меньший
Сделав шаг МЖИ и вычеркнув столбец коэффициентов под перенесенным наверх нулем, придем к табл. 3.
Аналогично освобождаемся от второй 0-строки. Получим табл. 4.
76
Преобразование целевой функции
–x1
–x2
–x4
–Р 1 x3 =
0
–0,5
–0,5
–0,5
0
0 =
1
–1 1 1
1
у1 =
1 0 0 0 2
у2 =
0 1 0 0 2
у3 =
0
0,5
0,5
0,5
2
у4 =
0 0 1 0 2
Z =
0 0 0
–1
0
–x2
–x4
–Р 1 x3 =
–0,5
–0,5
–0,5
0
x1 =
–1 1 1
1
у1 =
1
–1
–1
1
у2 =
1 0 0
2
у3 =
0,5
0,5
0,5
2
у
4
=
0 1 0
2
Z =
0 0 –1
0
1
1
5,0
2
,
1
1
min
Таблица значений опорного решения
Таблица 3
Таблица 4
В Z-строке имеется только один отрицательный член −1. Так как
МЖИ, придем к табл. 5.
шаюший элемент, равный 1, расположенный в пятой строке первого
столбца. После шага МЖИ получим табл. 6.
Эта таблица содержит уже опорное, но не оптимальное решение.
, то разрешающей строкой будет вторая. Сделав шаг
Для исключения отрицательного коэффициента примем разре-
77
Таблица промежуточных значений функции Z
–x2
–x4
–x1 1 x3 =
–1 0 0,5
0,5
P =
–1 1 1
1
у
1
=
0 0 1
2
у
2
=
1 0 0
2
у
3
=
1 0 –0,5
1,5
у
4
=
0 1 0
2
Z =
–1 1 1
1
–у3 =
–x4
–x1 1 x3 =
1 0 0
2
P =
1 1 0,5
2,5
у1 =
0 0 1
2
у
2
=
–1 0 0,5
0,5
x2 =
1 0 –0,5
1,5
у
4
=
0 1 0
2
Z =
1 1 0,5
2,5
03y
04x
01x
5,2
max
P
5,12x
23x
21y
5,02y
24y
Таблица значений оптимального решения
Таблица 5
Таблица 6
В табл. 6 все свободные члены и коэффициенты целевой функции
неотрицательны. Следовательно, получено оптимальное решение:
;
;
;
;
,
;
;
;
.
Переходя к старым переменным, получим:
78
М
02
432
Pxxx
01
421
Pxxx
= –1 кН·м; М2 = 0,5 кН·м;
1
М
= 1 кН·м; М4 = –1 кН·м.
3
По полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру М
(рис. 47).
Рис. 47. Эпюра М
С помощью компьтерной программы «MS Excel» можно упростить
нахождение предельной нагрузки.
Для решения этой задачи с помощью средства «Поиск решения»
надо ввести данные в рабочий лист Excel (табл. 7). В ячейки А2…Е2
надо ввести начальные значения х1, х2, х3, х4, Р (например, единица).
В ячейку А5 вводим «=B2–2*C2+D2+E2», то есть первое уравнение
равновесия:
.
В ячейку А6 вводим «=B2–A2–D2–E2+1» ― второе уравнение равновесия:
.
После этого выбирается команда «Поиск решения» (в группе
«Анализ» на вкладке «Данные»). На экране отобразится диалоговое
окно «Поиск решения» (рис. 48).
79
Таблица внесенных данных
A
B C D
E
1
x1
x2
x3
x4 Р 2 1 1 1 1 1 3 4
5
= B2–2С2+D2+E2
6
= B2–A2–D2−E2+1
Таблица 7
Рис. 48. Диалоговое окно «Поиск решения»
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]