Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Рис. 36. Заданная для расчета рама
03
прпр1
МP
,3
Рис. 37. Механизм бокового смещения С1
Для механизма бокового смещения С1 (рис. 37):
,
перемещение равно:
61
отсюда:
мкН50
пр1пр
РМ
,03
прпр2пр1
МPP
,4
мкН3,93)2050(
3
4
)(
3
4
пр2пр1пр
РРМ
03
пр
М; .0прМ
.05
пр2пр21пр1
МPP
Для механизма бокового смещения С2 (рис. 38):
перемещение равно:
отсюда:
.
.
Рис. 38. Механизм бокового смещения С2
Для механизма У (рис. 39):
Для комбинированного механизма разрушения С1 + С2 + У (рис. 40)
уравнение работ будет иметь следующее выражение:
62
Перемещения равны:
,71
,42
мкН86208,0504,18,04,1
пр2пр1пр
РРМ
отсюда:
.
Рис. 39. Механизм У
Рис. 40. Комбинированный механизм разрушения С1 + С2 + У
63
Наибольший предельный изгибающий момент
мкН3,93
пр
М
03)(
пр1654
РMMМ
150
654
MMМ
0
234
MMМ
0)3,93(
34
MМ
со-
ответствует механизму бокового смещения С2. Следовательно, моменты
в сечениях 1, 2, 7 достигают своего предельного значения 93,3 кН·м.
Уравнения статического равновесия для стоек второго этажа из механизма бокового смещения С1 (моменты положительны, если растянуты левые волокна стоек) будет иметь следующий вид:
или
.
Условие равновесия моментов в узле (положительный момент на
ригеле растягивает нижние волокна):
или
.
Рис. 41. Эпюра предельных моментов
64
В результате получим систему двух уравнений с четырьмя неиз-
;150
654
MMМ
3,9334 MМ
3,933,93
3
M
3,933,93
4
M
3,933,93
5
M
3,933,93
6
M
вестными:
.
К этой системе добавляем четыре условия прочности:
;
;
;
.
Допустим, что М4 = 0, тогда М3 = 93,3 кН·м и М5 + М6 = –150 кН·м.
Предположив, что М5 = М6, получим М5 = М6 = –75 кН·м < 93,3 кН·м.
Эпюра предельных моментов показана на рис. 41.
65
9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Определения предельного состояния сложной конструкции с различными внешними нагрузками требует очень большого объема вычислений, которые вручную реализовать невозможно. Для решения таких задач используют ЭВМ с предварительной разработкой математических методов, позволяющих путем соответствующих расчетов находить наилучший вариант из большого множества возможных решений.
Раздел прикладной математики, занимающийся изучением и решением
этого вида задач, называется математическим программированием.
Для решения конкретной задачи необходимо, прежде всего, сформулировать ее математически (иными словами, конкретную задачу заменить математической). Такая формулировка раскладывается на два этапа.
1. Преследуемая цель представляется в виде зависимости от исход-
ных величин (вес, несущая способность и т.д.). Полученное выражение
называется целевой функцией, функцией цели или функционалом данной задачи.
2. Затем формулируются условия, которые должны быть наложены
на искомые величины. Они вытекают из конкретных условий задачи:
равновесия, неразрывности деформаций, включения в работу тех или
иных связей и т.д. Обычно эти условия представляют собой некоторые
неравенства или уравнения.
Совокупность математически сформулированных условий, налагаемых на неизвестные, образует так называемую систему ограничений
данной задачи.
Если целевая функция выражает положительный фактор, то ее надо
максимизировать, в противном случае — минимизировать. Поэтому
задача математически формулируется так: найти такие значения неизвестных, которые удовлетворяли бы условиям системы ограничений и
доставляли функционалу максимум или минимум.
Совокупность численных значений неизвестных именуется планом.
Любой план, удовлетворяющий условиям системы ограничений, является допустимым.
Допустимый план, максимизирующий (или минимизирующий) целевую функцию, называется оптимальным, и его отыскание среди множества допустимых планов является решением поставленной задачи.
66
Если целевая функция и система ограничений линейна относитель-
nn
xfxfxfZ
2211
11212111
bxaxaxa
nn
22222121
bxaxaxa
nn
mnmnmm
bxaxaxa
2211
0ix
Т
n
xxxХ ),...,(
21
но входящих в задачу неизвестных, то программирование считается
линейным. Есле же целевая функция или система ограничений содержит нелинейные выражения для неизвестных, то программирование
называется нелинейным.
Основная задача линейного программирования формулируется так:
Задана линейная форма (целевая функция):
,
где fi — известные коэффициенты.
Задана система m > n линейных неравенств (ограничений):
;
;
.
На неизвестные также наложены ограничения неотрицательности:
.
Требуется найти вектор (набор неизвестных)
, ко-
торый доставляет максимум или минимум Z при одновременном выполнении всех ограничений. Система ограничений в евклидовом n-
мерном пространстве определяет выпуклый многогранник Ω.
Если этот многогранник пустой, то есть не содержит ни одной точки, то задача не имеет решений (плохо сформулирована). Если это
множество не пустое и не сводится к одной точке, тогда существует
бесчисленное множество точек, каждая из которых удовлетворяет системе ограничений и доставляет функционалу Z какое-то конкретное
значение.
Надо найти такую точку, в которой функция Z достигает максимального (минимального) значения.
Максимум (минимум) функционала Z достигается в крайней точке
многогранника Ω, определяемого системой ограничений.
67
Если функционал Z достигает максимального (минимального) зна-
0
2211
ininiii
bxaxaxay
),...,(
21 n
xxxx
0
2211
ininiii
bxaxaxay
nn
xfxfxfZ
2211
),...,(
21 n
xxxx
),...,(
21 n
xxxx
0
2211
nn
xfxfxf
0
2211
nn
xfxfxf
чения в нескольких крайних точках, тогда Z достигает этого значения в
каждой точке выпуклой оболочки указанных точек.
Основную задачу линейного программирования можно легко интерпретировать геометрически. Каждое неравенство:
системы ограничений определяет в евклидовом n-мерном пространстве
полупространство, состоящее из точек
, расположенных
«по одну сторону» от плоскости:
и на самой этой плоскости. Точки же, принадлежащие всем полупространствам (то есть множество всех решений системы ограничений)
как пересечение выпуклых множеств, образуют некоторый выпуклый
многогранник Ω.
Значение функции:
в точке
можно рассматривать как уклонение точки
от плоскости:
.
Таким образом, геометрический смысл задачи линейного программирования заключается в отыскании в многограннике точки, которая
наиболее (наименее) уклонена от плоскости:
.
В случае двухмерного пространства имеем картину, изображенную
на рис. 42.
68
Здесь многогранником Ω является многоугольник, плоскостями
0
2211
iiii
bxaxay
0iy
― прямые, полупространствами
―
полуплоскости (на рисунках они отмечены штриховкой).
Ясно, что решением задачи линейного программирования будет
какая-то вершина многогранника Ω. На рис. 42 решение задачи максимизации целевой функции дает вершина В, а задачи минимизации этой
формы ― вершина С, причем эти решения единственны.
Графическим способом можно решать задачу линейного программирования только с двумя неизвестными. При большом числе неизвестных задачу линейного программирования решают аналитическим
сиплекс-методом.
Рис. 42. Решение задачи максимизации целевой функции
В основу симплекс-метода решения задачи линейного программирования положена следующая последовательность операций.
Вначале находят какую-нибудь вершину многогранника Ω (опорное решение), а затем, переходя от одной вершины к другой, приходят,
наконец, к нужной вершине, в которой функционал Z достигает максимального (минимального) значения. Умножим все неравенства в системе ограничений на (–1) и полученные неравенства обозначим:
69
0
112121111
bxaxaxay
nn
;
0
222221212
bxaxaxay
nn
0
2211
mnmnmmm
bxaxaxay
–х1
–х2
–хs
–xj
–xn
1
y1 =
a11
a12
a1s
a1j
a1n
b1
yr =
ar1
ar2
ars
arj
arn
br
ym =
аm1
аm2
ams
amj
amn
bm
Z =
–f1
–f2
–fs
–fj
–fn
;
………………………………………….
.
Из этих неравенств и целевой функции составим исходную симплекс табл. 1.
Таблица 1
Исходная симплекс-таблица
Нахождение опорного плана
Если среди свободных членов в исходной симплекс-таблице есть
отрицательные, то данный план является недопустимым. Следовательно, нужно перейти к другой симплекс-таблице. Переход осуществляется при помощи одного шага модифицированного жорданова исключения (МЖИ),
Один шаг жорданова исключения с разрешающим элементом ars
переводит заданную таблицу в новую таблицу по схеме, состоящей из
следующих пяти правил:
1) разрешающий элемент заменяется единицей;
2) остальные элементы разрешающего столбца (s-гo) меняют лишь
свои знаки;
3) остальные элементы разрешающей строки (r-й) остаются без из-
менения;
4) «обыкновенные» элементы bij (i ≠ r, j ≠ s) (то есть элементы, не
принадлежащие разрешающей строке или столбцу) вычисляются по
формуле:
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]