Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные задачи строительной механики. Учебное пособие
.pdf
Окно «Поиск решения» имеет элементы, перечисленные в табл. 8.
Поле
Вводимые параметры
Оптимизировать целевую функцию
$E$2
Максимум
Установите флажок
Изменяя ячейки переменных
$A$2:$E$2
В соответствии с ограничениями
Уравнения равновесия:
$A$5=0 (
02
432
Pxxx
);
$A$6=0(
01
421
Pxxx
)
Неравенства:
$A$2<=2 (
21x
);
$B$2<=2 (
22x
);
$C$2<=2 (
23x
);
$D$2<=2 (
24x
).
Сделать переменные без ограничений неотрицательными
Установите флажок
Выберите метод решения
Поиск решения линейных задач
симплекс методом
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Cимплекс метод.xls]Лист2
Отчет создан: 24.09.2015 8:38:07
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$E$2
P
2,5
2,5
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$A$2
x1
1
0
$B$2
x2
1
1,5
Элементы окна «Поиск решения»
После нажатия кнопки «Найти решение» результат будет получен в
новом листе «Отчет по результатам»:
Таблица 8
81
Окончание «Отчет по результатам»
$C$2
x3
1
2
$D$2
x4
1
0
$E$2
P
1
2,5
Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
Формула
Статус
Разница
$A$5
x1 0 $A$5=0
не связан.
0
$A$6
x1 0 $A$6=0
не связан.
0
$A$2
x1 0 $A$2<=2
не связан.
2
$B$2
x2
1,5
$B$2<=2
не связан.
0,5
$C$2
x3 2 $C$2<=2
связанное
0
$D$2
x4 0 $D$2<=2
не связан.
2
$A$2
x1 0 $A$2>=0
связанное
0
$B$2
x2
1,5
$B$2>=0
не связан.
1,5
$C$2
x3 2 $C$2>=0
не связан.
2
$D$2
x4 0 $D$2>=0
связанное
0
82
10. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ
Рассмотрим прямоугольные железобетонные плиты, нагруженные
вертикальной распределенной нагрузкой q или сосредоточенными силами Р. Предельное равновесие пластинок при их изгибе подчиняется
теоремам предельного равновесия и может рассматриватся со статических или кинематических позиций. Использование кинематического
метода основывается на анализе различных схем излома пластинки,
превращаюших систему в пространственный кинематический механизм
из дисков, соединенных линейными пластическими шарнирами.
Как показали эксперименты в железобетонных изгибаемых плитах
в предельной стадии возникают почти прямые линии сосредоточенного
пластического излома — линии шарниров. Линейные пластические
шарниры в плитах — это аналог пластического шарнира в стержневых
системах. Они могут образовываться как на прямых, так и на кривых
линиях. Вдоль этих линий действуют пластические моменты.
Рис. 49. Условия равенства усилия в арматуре и равнодействующей
сжимающих усилий в бетоне
Определим эти пластические моменты. Деформирование и характер разрушения при изгибе железобетонной плиты существенно отличаются от поведения под нагрузкой плит из других материалов. Бетон
83
имеет небольшой предел прочности при растяжении. При превышении
1)(
x
sx
zh
A
1)(
y
sy
zh
A
этого предела образуется трещина, и растягивающие усилия воспринимаются арматурой. В шарнирно-опертой плите нижние волокна растянуты. Рассмотрим ортотропное армирование, когда арматура расположена параллельно сторонам прямоугольной плиты. Погонные площади
арматуры вдоль осей X и Y обозначим Asx и Asy. Отношение площади
сечения растянутой арматуры к площади растянутой зоны бетона называется коэффициентом армирования:
μx =
; μx =
, (78)
где zx, zy — высота сжатой зоны бетона по оси x и y;
h — толщина плиты. Высота сжатой зоны определяется из условия ра-
венства усилия в арматуре и равнодействующей сжимающих усилий в
бетоне (рис. 49). В предельном состоянии в сжатой зоне напряжения
будут равны расчетному сопротивлению одноосно сжатого бетона Rb.
Тогда погонное сжимающее усилие будет равно:
Nb = Rbz.
Растягивающее предельное усилие в арматуре равняется:
Ns = RsAs.
Здесь Rs расчетное сопротивление растянутой арматуры. Из равенства Nb = Ns получим высоту сжатой зоны:
zx = AsxRs/Rb; zx = AsxRs/Rb. (79)
Пара сил Nb и Ns создают погонный предельный момент М0 равный:
Mox = Nsx(h – zx); Mox = Nsx(h – zx). (80)
Если коэффициенты армирования равны друг другу, то такое армирование называется изотропным. В этом случае предельные моменты по оси x и y равны.
84
Рис. 50. Определение предельного момента
Определим предельный момент для любой площадки под углом α к
оси х (рис. 50). В каждом стержне арматуры по направлению x и y дей-
0
ствуют соответственно усилия N
sx
0
и N
. Равнодействующие этих уси-
sy
лий равны NxLy, NyLx. Погонное нормальное усилие, действующее по
нормали к площадке под углом α будет равно (рис. 50):
Nsα = Nsycos2α + Nsxsin2α. (81)
Сдвигающее погонное усилие равно:
Tsα = (Nsy – Nsx)sinαcosα. (82)
Переходя от предельных усилий в растянутой арматуре к предельным моментам, получим изгибающий и крутящий предельные моменты
на площадке под углом α:
Moα = Moycos2α + Moxsin2α; M
85
крут
= (Moy – Mox)sinαcosα. (83)
oα
При изотропном армировании Mox = Moy = Mo, поэтому предельный
6
1
изгибающий момент на любой площадке будет постоянным и равным
М
, а крутящий момент будет равен нулю.
о
Рис. 51. Механизм Гвоздева-Ржаницына типа «конверт»
Рассмотрим прямоугольную плиту, шарнирно опертую по контуру
и загруженную равномерно распределенной нагрузкой. Армирование
примем изотропным. Механизмом разрушения плиты является механизм Гвоздева-Ржаницына типа «конверт» (рис. 51). Этот механизм
достаточно точно описывает механизм разрушения железобетонных
плит и только в окрестности углов отличается от истинного.
Этот механизм имеет четыре наклонных линии пластических шарниров АС, ВС, DC’, EC’, которые наклонены под углом α к горизонтали. Кроме того, имеется линейный пластический шарнир СС’, параллельный длинной стороне плиты. Работа внешней нагрузки V будет
равна произведению интенсивности внешней нагрузки q на объем
призмы со скошенными гранями, получающуюся при опускании точек
С и С’ на перемещение u:
V = q
ab(2 + ξ)u. (84)
86
Работа внутренних усилий W совершается на пяти пластических
a
b4
L
u
a
b4
линиях.
Подсчитаем сначала работу на линии СС’ (рис. 51):
W
= –М0θξ = –М
CC’
u.
0
Здесь М0 — погонный предельный момент, действующий в изотропной плите по любой линии излома.
Работа внутренних сил на четырех пластических шарнирах АС, ВС, DC’,
EC’ совершается на угле γ, который зависит от углов α и β и определяется по
формуле (рис. 52):
γ =
(сtgα + ctgβ).
Рис. 52. Работа внутренних сил на четырех пластических шарнирах
Тогда работа внутренних сил будет равна:
WAC = –M0(сtgα + ctgβ)u.
Суммарная работа внутренних сил для всей плиты определяется по
формуле:
W = –M0(4сtgα + 4ctgβ +
)u. (85)
87
Котангенсы углов α и β определим из условий:
a
b)1(
ba)1(
k)1(1
k)1(1
2
)1(
1
24
0
k
k
ab
M
k
kk
ab
M
)2)(1(
1
24
22
0
d
dq )(
2
2
1kk
2
2
1kk
2
1
k
2
31 k
ctgα =
;
ctgβ =
.
Введем отношение k = b/a, тогда работа внутренних сил будет равна:
W = –4M0 [(1 – ξ)k +
+ kξ] = –4M0[k +
]. (86)
Работа всех внешних и внутренних сил на возможном перемещении равна нулю V + W = 0. Из этого уравнения определяем интенсив-
ность равномерно распределенной нагрузки:
q(ξ) =
=
. (87)
Согласно кинематической теореме необходимо определить минимальное значение q(ξ). Для этого приравняем к нулю производную:
= 0.
После преобразований получим квадратное уравнение:
ξ2 – 2
ξ –
= 0.
Из этого уравнения получаем два корня, из которых один не подходит, так как ξ меняется в пределах 0 ≤ ξ ≥ 1, а второй равен:
ξ =
[1 + k2 –
]. (88)
Для квадратной плиты a = b и k = 1. В этом случае ξ = 0 и предельная нагрузка равна:
q = 24M0/a2.
88
Рис. 53. Кинематический механизм
Рис. 54. Механизм типа «конверт»
В этом случае кинематический механизм показан на рис. 53.
Рис. 55. Определение углов поворота
Рассмотрим плиту, защемленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой. В изотропно-армированных плитах возникает механизм типа «конверт» (рис. 54). В этом случае возникают дополнительные линейные пластические шарниры параллельно
защемленному контуру плиты. Работа внешних сил в этом случае не
изменяется и будет определяться по формуле (84). Работа внутренних
сил увеличится за счет работы контурных пластических шарниров и
будет равна:
W
кон
= – 2аМ0’ α1 – 2bМ0’ α2,
89
где М0’ — погонный предельный момент на контуре, α1 и α2 углы пово-
bbu
2
k)1(1
2
)1(
1
)(M24
'
00
k
k
ab
М
k
k
ab
MM
)2)(1(
k1
)(24
22
'
00
k
kk
ab
М
)2)(1(
1
48
22
0
рота соответственно вокруг стороны a и b. Эти углы определяются по
формулам (рис. 55):
α
1
=
; α2 = 2u/a.
Суммарная работа внутренних сил, учитывая найденные углы поворота, будет равна:
W = –4(M0 + М
’
)[k +
0
]. (89)
Уравнение для определения интенсивности предельной распределенной нагрузки:
q(ξ) =
=
=
. (90)
Если погонные предельные моменты на контуре плиты равны предельным моментам внутри пластинки (М0 = М0), то предельная нагрузка будет равна:
q(ξ) =
. (91)
Это уравнение отличается от уравнения (87) для шарнирно опертой
плиты только множителем 2. Из этого следует, что положение точек
(рис. 51) С и С’ не зависит от способа опирания плиты и, следовательно, ξ можно определить по формуле (88).
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]