Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование социально-экономических процессов. Учебное пособие.pdf
Используйте данные в табл. 26, чтобы создать прогнозирующую модель
Среднее число
ката фильма
Расходы на
Среднее число зрителей за первые
Расходы на
282
2750
305
4565
263
2430
328
5987
295
3700
335
6100
276
2860
251
2375
285
3180
292
3480
342
4270
290
3295
276
2875
387
7500
328
5295
326
5430
326
4870
234
2100
1.
10500
17075
7670
3200
2.
12128
18014
7993
3460
3.
12160
18642
8281
3500
4.
13890
19253
8746
3750
5.
13445
19809
9040
4260
6.
12123
20394
9310
4870
7.
13675
20891
9555
4880
8.
13823
21398
9800
5680
9.
14464
21891
10045
5720
10.
15123
22386
10290
5830
11.
14780
22876
10536
5940
12.
14865
23312
10781
6890
13.
15092
23897
11026
7550
14.
25764
34144
19263
8340
15.
40623
51890
29709
10120
16.
46798
59644
34270
12230
17.
45846
61645
34571
12470
18.
48124
63734
35278
14890
19.
49383
68521
36079
16240
20.
50920
69123
37542
16710
21.
51220
70165
38906
17560
22.
52087
71233
39244
18430
множественной регрессии. Прогнозные оценки факторов, влияющих на прибыль компании, должны использоваться в моделях растяжения.
Таблица 25
зрителей за пер-
вые три дня про-
Квар-
тал
Прибыль
компании,
тыс. руб.
рекламу
фильма, руб.
Общее число
абонентов
компании
три дня проката фильма
Выручка на
мобильный
трафик, тыс.
руб.
Затраты на поддержание и обновле-
ние программного обеспечения, руб.
рекламу филь-
ма, руб.
Таблица 26
51
5. МОДЕЛЬ РЕГРЕССИИ С АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫМИ
∑
∑
=
=
−
−
=
n
t
t
n
t
tt
e
ee
d
1
2
2
1
2
)(
∑
∑
−
−
=
2
1
1
ˆ
ˆˆ
ˆ
t
tt
e
ee
p
XPXyPy
ˆ
*,
ˆ
* ==
P
ˆ
∑
−=1
0
ˆˆ
TP
P
ˆ
∑
−1
0
−
−
−
−
=
1
ˆ
...000
...
00...1
ˆ
0
00...01
ˆ
00...00
ˆ
1
ˆ
1
p
p
p
p
P
t
ytx1tx2t t ytx1tx2t
1
252
4,0
97,9
10
734
14,6
109,2
2
274
5,8
98,4
11
642
10,2
110,1
3
296
4,6
101,2
12
614
8,5
110,7
4
382
6,7
103,5
13
662
6,2
110,3
5
548
8,7
104,1
14
690
8,4
111,8
ОСТАТКАМИ
1. Критерий Дарбина – Уотсона
. (5.1)
2. Коэффициент автокорреляции .
(5.2)
3. Преобразование исходных данных
.
где
такое, что
. Матрица
представляет собой корень квадратный
из матрицы, обратной к ковариационной матрице остатков
и имеет вид
(5.3)
(5.4)
Задание
1. Г-жа Арнольд, президент Incom, собирала информацию о
ежемесячных продажах компании (тысячи рублей) вместе с рядом других показателей, которые, по ее мнению, могут повлиять на продажи. В качестве этих
показателей он выбрал затраты на рекламу (h1t, тыс. руб.) и индекс потребительских расходов (h2t,%). Данные, собранные г-жой Арнольд, приведены в
табл. 27. Необходимо оценить степень корреляции между этими показателями,
установив соответствующее линейное уравнение регрессии. Гипотеза о наличии автокорреляции в остатках для построенного уравнения должна быть проверена. Если это предположение подтвердится, необходимо оценить параметры регрессии обобщенными МНК и получить прогнозную оценку продаж на
следующий месяц при условии, что расходы на рекламу вырастут на 7.9 тыс.
руб., а индекс потребительских расходов-на 114.9%.
Табли
52
ца 27
Окончание табл. 27
t
yt
x1t
x2t t yt
x1t
x2t
6
740
8,2
107
15
728
8,1
112,3
7
764
9,7
107,4
16
768
6,9
112,9
8
790
12,7
108,5
17
791
7,5
113,1
9
734
13,5
108,3
18
832
7,7
113,4
b
ˆ
0
-2813.50
b
ˆ
1
20.30
b
ˆ
2
30.31
bXye
ˆ
ˆ
−=
yye
ˆ
−=
)(1−−ttee
2
t
e
t
yt
x0t
x1t
x2t
Yt
et 1 252
1
4
97.9
234.74
17.26
2
274
1
5.8
98.4
286.43
-12.43
3
296
1
4.6
101.2
346.93
-50.93
4
382
1
6.7
103.5
459.27
-77.27
5
548
1
8.7
104.1
518.06
29.94
6
740
1
8.2
107
595.80
144.20
7
764
1
9.7
107.4
638.37
125.63
8
790
1
12.7
108.5
732.62
57.38
9
734
1
13.5
108.3
742.80
-8.80
10
734
1
14.6
109.2
792.40
-58.40
11
642
1
10.2
110.1
730.35
-88.35
12
614
1
8.5
110.7
714.02
-100.02
13
662
1
6.2
110.3
655.21
6.79
Решение с помощью
Excel
1. Ввод исходных данных с включением в модель дополнительной пере-
менной Х, принимающей единственное значение, равное 1.
2. Нахождение вектора оценок коэффициентов регрессии с использовани-
ем матричных функций Excel (МУМНОЖ, ТРАНСП, МОБР).
3. Расчет остатков
4. Вычисление разностей
.
и оформление промежуточных ре-
зультатов в виде табл. 28.
5. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках
5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках и использо-
ванием критерия Дарбина – Уотсона.
5.1.1. Вычисление
и
Оформление результатов расчетов в виде
табл. 29.
Табли
ца 28
53
Окончание табл. 28
t
yt
x0t
x1t
x2t
Yt
et
14
690
1
8.4
11108
745.33
-55.33
15
728
1
8.1
112.3
754.39
-26.39
16
768
1
6.9
112.9
748.21
19.79
17
791
1
7.5
113.1
766.46
24.54
18
832
1
7.7
113.4
779.61
52.39
t
2
t
e
(et –e
)²
t
2
t
e
(et –e
)²
1
298.00
10
3411,10
2460,98
2
154.61
881.91
11
7806,06
896,84
3
2593.94
1481.98
12
10004,50
136,20
4
5970.72
693.78
13
46,17
11409,94
5
896.49
11494.40
14
3061,38
9859,45
6
20794.50
13055.69
15
696,56
837,36
7
15782.21
345.06
16
391,48
2132,44
8
3292.91
4567.16
17
602,38
22,63
9
77.38
4379.83
18
2744,81
775,49
Сумма
78625,21
59521,14
757,021.78625/14,59521 ==d
tet
ept
δ
+=
−1
Таблица 29
t-1
t-1
5.1.2. Расчет статистики Дарбина – Уотсона
. (5.5)
Так как d<d
, т.е. 0,757<1.05<1.53, то существует положительная ав-
L<dU
токорреляция остатков.
5.2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использо-
ванием метода рядов.
Последовательное определение знаков отклонений позволяет получить
следующие ряды:
(+) (- - - ) (+ + + +) (- - - - ) (+) (- -) ( + + +)
и сделать вывод о присутствии автокорреляции в остатках.
5.3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использо-
ванием графического представления зависимости остатков от времени.
Анализ построенного графика, представленного на рис. 8 показывает, что
изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно сделать
вывод, о том, что они автокоррелированы.
Наличие автокорреляции означает, что
, т.е. не выполняются
предположения классического регрессионного анализа, и, следовательно, можно найти более эффективную оценку, чем b .
54
Рис. 8. График зависимости остатков от времени
6021,021,78625/24,47343 ==p
t
et
2
t
e
et e
t
et
2
t
e
et e
1
17,26
298,00
10
-58,40
3411,10
513,75
2
-12,43
154,61
-214,65
11
-88,35
7806,06
5160,16
3
-50,93
2593,94
633,29
12
-100,02
10004,50
8837,18
4
-77,27
5970,72
3935,44
13
6,79
46,17
-679,63
5
29,94
896,49
-2313,59
14
-55,33
3061,38
-375,95
6
144,20
20794,50
4317,65
15
-26,39
696,56
1460,29
7
125,63
15782,21
18115,83
16
19,79
391,48
-522,20
8
57,38
3292,91
7208,98
17
24,54
602,38
485,61
9
-8,80
77,38
-504,77
18
52,39
2744,81
1285,85
Сумма
78625,21
47343,24
t
*
y
*
0
x
*
1
x
*
2
x
t
*
y
*
0
x
*
1
x
*
2
x
1
201.19
0.80
3.19
78.16
10
292.03
0.40
6.47
43.99
2
122.26
0.40
3.39
39.45
11
200.03
0.40
1.41
44.35
3
131.01
0.40
1.11
41.95
12
227.43
0.40
2.36
44.40
4
203.77
0.40
3.93
42.56
13
292.29
0.40
1.08
43.64
6. Преобразование исходных данных.
6.1. Оценка параметра ρ.
6.1.1. Вычисление e
и оформление результатов расчетов в виде табл. 30.
t et-1
6.1.2. Вычисление коэффициента автокорреляции
. (5.6)
6.2. Преобразование исходных данных и оформление результатов расче-
тов в виде табл. 31.
t-1
Табли
ца 30
t-1
Таблица 31
55
Окончание табл. 31
t
*
y
*
0
x
*
1
x
*
2
x
t
*
y
*
0
x
*
1
x
*
2
x
5
317.98
0.40
4.67
41.78
14
291.38
0.40
4.67
45.38
6
410.03
0.40
2.96
44.32
15
312.52
0.40
3.04
44.98
7
318.42
0.40
4.76
42.97
16
329.64
0.40
2.02
45.28
8
329.97
0.40
6.86
43.83
17
328.56
0.40
3.35
45.12
9
258.31
0.40
5.85
42.97
18
355.71
0.40
3.18
45.30
yXXXb
*'1**'
)(
ˆ
ˆ
−
=
*
0
ˆ
b
*
1
ˆ
b
*
2
ˆ
b
)9,114;9,7;1(
'
1
=
+T
X
39,836)96,796832(60,079,815)
ˆ
(
ˆ
ˆ
''
1
=−+=−+
+
bXypbX
TTT
7. Оце
нка с помощью обычного МНК вектора коэффициентов регрессии
с использованием матричных функций Excel.
-2941.
41
14.15
32.00
8. На
При
хождение прогнозной оценки объема продаж на следующий период
и с учетом того, что e
дущим значением в выборочном периоде
коррелированно с преды-
T+1
. (5.7)
ние для самостоятельной работы
Зада
Задание
1. Аналитику из Воронежского филиала энергетической компа-
нии РАО ЕС РАО поручили разработать новые тарифы на электроэнергию, для
чего домохозяйствам необходимо было подготовить очередной прогноз по расходам на электроэнергию. С этой целью он решил исследовать две потенциальные независимые переменные: стоимость электроэнергии для физических
лиц (кВт / ч, H1) и потребление электроэнергии населением (кВт/ч, H2). За 20
временных интервалов удалось собрать информацию об этих показателях (табл.
32). Когда аналитик отчитался перед тарифной комиссией, ему задали вопрос:
"Будут ли искажены ваши расчеты автокорреляцией остатков, так как данные
представляют собой временную последовательность?" Ответьте на этот вопрос
и рассчитайте прогноз расходов населения на электроэнергию на следующий
период при условии, что стоимость электроэнергии составит 4,34 копейки. кВт
/ час, потребляемая мощность - 14905 кВт.
56
Таблица 32
t y x1
x2 t y
x1
x2 1 28.95
1.33
7803
11
113.60
2.74
10863
2
41.70
1.58
8109
12
127.80
2.65
11649
3
51.30
1.92
8874
13
136.95
3.15
11679
4
70.05
1.96
9333
14
142.20
3.25
12087
5
66.75
1.98
9139
15
152.25
3.25
12648
6
81.45
2.05
10047
16
154.05
3.85
13005
7
77.40
2.16
9730
17
153.23
3.97
13056
8
97.80
2.34
10302
18
181.60
3.97
14433
9
107.70
2.56
10557
19
186.30
4.13
14535
10
111.90
2.62
10812
20
195.40
4.35
14851
год 1 2 3 4 5 6 7 8
yt 7 8 8 10
11
12
14
16
xt
10
12
11
12
14
15
17
20
ttt
yaay
ε
++=
−110
ttt
bby
εε
++=
−110
ˆ
ttt
yy
ˆ
−=
ε
tttt
ubyaay +++=
−− 11110
ε
t
u
Задание 2. По данным таблицы 33 проверьте гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов (y
вокупного дохода (x
, млн. руб.), построенное по первым разностям исходных
t
, млн. руб.) от со-
t
показателей, представленным в табл. 33. Получите прогнозную оценку расходов на следующий год при условии того, что величина совокупного дохода составит 22 млн.руб.
где
6. АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ В
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
Расчетные формулы
1. Модель авторегрессии первого порядка AR(1)
2. Модел
ь скользящей средней ARMA(1,1)
.
.
.
Таблиц
(6.1)
(6.2)
а 33
где
3. Авторегрессионная модель скользящей средней ARIMA (1,1)
.
– ненаблюдаемая ошибка в данном уравнении.
57
(6.3)
4. Коэффициент автокорреляции
∑
∑
=
−
=
+
−
−−
=
n
t
t
kn
t
ktt
k
yy
yyyy
r
1
2
1
)(
))((
Период, год
Потребление
яблок, т.
Период,
год
Потребление
яблок, т.
1
4980
14
5760
2
5010
15
5950
3
4870
16
6120
4
4910
17
6230
5
5860
18
6670
6
5760
19
6810
7
5950
20
6740
8
6120
21
6930
9
5050
22
6870
10
5140
23
7350
11
5830
24
7680
12
5970
25
7820
13
5860
26
7730
θ
θ
1,0=
θ
*
t
y
42;1,,
*
1
*
1
*
1
'
=+==
−
tyyyyy
ttt
θ
Решение
Задание
типовой задачи
1. Руководство Лебедянского фруктово-овощного концерна с
. (6.4)
большими яблоневыми садами теперь хочет взглянуть в будущее, чтобы ответить на вопрос о целесообразности дальнейшего расширения этих садов. С
этой целью было решено создать модель VMA, которая сможет получить прогнозные оценки потребления яблок в течение следующих двух лет. Данные,
отражающие динамику среднегодового потребления яблок населением Воронежа, приведены в табл. 34.
Таблица 34
расчетов виде.
Решение табличного процессора Excel
.
1. Ввод исходных данных и оформление их в удобном для проведения
2. Настройки параметра
2.1. Присвоение первоначального значения параметру
.
.
. (6.5)
2.2. Расчет преобразованных значений
по следующим формулам:
. (6.6)
58
(Два последних значения будут использоваться в качестве контрольной
θ
42;1,
*
1
=
−tyt
t
t
y
*
t
y
*
1−t
y
t
t
y
*
t
y
*
1−t
y
1
4980
4980
13
5860
6521,01
6610,13
2
5010
5508
4980
14
5760
6412,10
6521,01
3
4870
5420,80
5508
15
5950
6591,21
6412,10
4
4910
5452,08
5420,80
16
6120
6779,12
6591,21
5
5860
6405,21
5452,08
17
6230
6907,91
6779,12
6
5760
6400,52
6405,21
18
6670
7360,79
6907,91
7
5950
6590,05
6400,52
19
6810
7546,08
7360,79
8
6120
6779,01
6590,05
20
6740
7494,61
7546,08
9
5050
5727,90
6779,01
21
6930
7679,46
7494,61
10
5140
5712,79
5727,90
22
6870
7637,95
7679,46
11
5830
6401,28
5712,79
23
7350
8113,79
7637,95
12
5970
6610,13
6401,28
24
7680
8491,38
8113,79
42;1,
*1***
=++=
−
tyy
ttt
εϕδ
Регрессионная статистика
Множественный
Наблюдения
23
Значимость
df SS
MS
F
F
Регрессия
1
1281
9202
12819202
89,56557
5,04E-09
Остаток
21
3005
655
143126,4
Итого
22
1582
4857
выборки для настройки параметра
).
2.3. Формирование ряда значений
.
2.4. Оформление полученных результатов в виде табл. 35.
Таблиц
а 35
2.5. Нахождение текущих значений параметров регрессии
табл. 36).
R
R-квадрат
ированный
Норм
R-квадрат
Стандартная
ошибка
Дисперсионный анализ
0,900037
0,810067
0,801023
373,3206
c помощью «Пакета анализа» Excel (см. вывод итогов
Таблиц
а 36
59
Коэфф-
Стан-
ошибка
t-
стика
Р- значе-
Нижние
Верхние
683,5531
0,919154
642,6216
0,097122
1,063695
9,463909
0,299546
5,04Е-09
-652,852
0,717178
2019,958
1,12113
92,0
ˆ
,55,683
ˆ
*
==
ϕδ
ttt
yy
ε
++=
−*1
*
92,055,683
20,615)1,01(55,683)1(
*
=−×=−=
θδδ
92,0
*
==
ϕϕ
tttt
yy
εθε
+−+=
−− 11
92,020,615
ˆ
t
y
ˆ
26;25=t
t
tyt
y
ˆ
2
)
ˆ
(
tt
yy −
25
7820
7674,30
21228,71
26
7730
7802,98
5326,19
∑
−2)
ˆ
(
tt
yy
26554,91
θ
θ
∑
−2)
ˆ
(
tt
yy
0,10
26554,91
0,20
43026,29
0,30
78931,58
0,40
117823,11
0,50
138403,82
0,60
551718,93
0,70
1261970,88
0,80
53245,14
0,90
25672,84
Окончание табл. 36
ициенты
дартная
Таким обра
зом,
2.6. Расчет параметров регрессии для исходного ряда
Cследовательно, модель для исходных данных записывается в виде
2.7. Вычисление по построенной модели прогнозных значений
моментов времени
2.9. Оформление полученных результатов в виде табл. 37.
стати-
ние
95%
95%
, а сама модель записывается в виде
.
, (6.7)
. (6.8)
(6.9)
для
.
Таблица
37
2.10. Последовательное изменение параметра
в интервале (0;1) с шагом
0,1 и проведение всех расчетов п. 2.1-2.9. Оформление промежуточных результатов в виде табл. 38.
Таблица 38
60