Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование социально-экономических процессов. Учебное пособие.pdf
где
1
ˆ
2
−−
=
mn
ee
t
σ
bXYe −=
∑
∑
−
−
−=
2
2
...
)(
)
ˆ
(
1
21
ii
ii
xxxy
yy
yy
R
m
y
x
ii
i
b
σ
σ
β
=
)1(
)()(
−
−−
=
−
==
∑
n
yyxx
yxyx
br
yx
ii
yxy
x
ixy
i
σσσσσ
σ
∑
=
im
yxixxyx
rR
β
...
21
100
)1(
)1(
)1(1100
ˆ
22
×
−−
−
−−=×=
mn
n
RRD
1
1
1
...
2
,......
2
...
2
21
11121
1
−−
×
−
−
=
+−
mn
R
RR
F
m
miim
xxyx
xxxyxxxyx
x
1
2
11
1
1
2
ˆ
'')'(
ˆ
+++
−
+
==
nbnnny
xSxxXXxS
σ
2
,11
y
cnn
p
S
yy
t
++
−
=
рассчитывается по остаткам
13. Множественный индекс корреляции
14. Бетта-коэффициенты
.
. (4.20)
. (4.21)
15. Парные коэффициенты корреляции
. Множ
16
ественный коэффициент корреляции
17. Скорректированный коэффициент множественной детерминации
. Част
18
ный F-критерий
19. Стандартная ошибка прогноза среднего
20. Для проверки гипотезы о равенстве прогноза среднего значения
заданной величине рассчитывается - статистика
.
.
.
.
.
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
.
(4.27)
Задание 1. Российские железные дороги периодически вынуждены повышать цены на свои услуги. Рост цен явно отрицательно сказывается на количестве пассажиров, пользующихся услугами железной дороги, что можно понять, проанализировав данные в табл. 18. Тем не менее, руководство РЖД планирует в очередной раз повысить цены на билеты для пассажиров поезда марки
Воронеж-Москва. В связи с этим, если билет на этот поезд будет стоить 690
рублей, было принято решение дать инструкцию студенту экономического факультета, получившему практическое образование в отделе экономического
анализа юго-восточного железнодорожного управления с использованием известного ему метода прогнозирования среднемесячного количества пассажиров
поезда. Студент решил применить регрессионный анализ существующих данных и получить необходимую прогнозную оценку, используя результаты.
41
Таблица 18
Стоимость
Москва, руб.
180
12390
460
11460
180
12600
460
11010
230
11910
460
10620
230
11940
575
9690
230
11580
575
9510
345
11730
685
9870
345
11490
685
8910
345
11400
685
8580
41,6
88,41675,205268
13,10918
88,41600,4349625
ˆ
2
1
−=
−
×−
=b
04,1359188,416)41,6(13,10918
ˆ
0
=×−−=b
xy 41,604,13591 −=
1
b
916769041,604,13591
ˆ
=×−−y
=
−
+
+
⋅⋅−
75.503743
)88.416690(
16
116
35.4181448.29167
2
.10154
75,503743
)88.416690(
16
116
35.4181448.29167
2
=
−
+
+
⋅+
Стоимо
сть
Среднемесячное
проезда 1 чел. в
число пассажиров
фирменном
фирменного поезда
поезде Воронеж
Воронеж - Москва
– Москва, руб.
Решение с помощью Excel
.
1. Ввод исходных данных.
2. Подготовка данных для расчета оценок коэффициентов линейной рег-
рессии и оформление их в виде табл. 19.
3. Расчет оценок коэффициентов регрессии
проезда 1
чел. в
фирменном
поезде
Воронеж –
Среднемесячное
число пассажи-
ров фирменного
поезда Воронеж
- Москва
стоимости проезда на 1 руб. приводит к уменьшению числа пассажиров на 6
человек.
ристик c помощью «Пакета анализа» Excel (см. вывод итогов табл. 19).
; (4.28)
. (4.29)
Таким образом, построенная модель может быть записана в виде
. (4.30)
Коэффициент
этой модели показывает, что в среднем увеличение
4. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характе-
5. Получение прогнозной оценки числа пассажиров
(4.31)
6. Ра
счет доверительных границ прогнозной оценки
8180 ; (4.32)
42
______________________ Таблица 19
Регре
ссионная статистика
______________________________
Множественный R 0,945622
R-квадрат 0,894201
Нормированный Rквадрат 0,886643
Стандартная ошибка 418,3537
Наблюдения 16
Дисперсионный анализ
Значимость
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 20709366 20709366 118.3258 3.26E-08
Остаток 14 2450278 175019,8
Итого 15 23159644
Коэффициенты Стандартная t- P- Нижние Верхние
ошибка статистика значение 95 % 95 %
Y-пересечение 13591,04 267,0547 50,89233 2,73Е-17 13018,26 14163,81
Переменная X 1 - 6,41178 0,589439 -10,8778 3,26E-08 -7.676 -5.14756
Задани
е 2. Предприниматель хочет арендовать отель Ренессанс (80 номе-
ров) со своим пляжем, расположенным в престижном курортном районе, общей
площадью 3,42 кв.м. Чтобы определить сумму пошлины, которую можно арендовать отель, предприниматель решил проанализировать ситуацию на соответствующем рынке. Изучение рекламы, размещенной в газетах трехзвездочных
отелей, позволило ему создать небольшую базу данных, представленную в виде
табл. 20. Согласно информации из этой базы, предприниматель решил создать
модель множественной регрессии, отражающую зависимость годовой арендной
платы от количества номеров, престижности территории размещения отеля (1
престижная зона, 0-нет), собственного пляжа отеля (1 собственный пляж), 0нет), а также с использованием модели, созданной для определения общей
площади территории, принадлежащей отелю, и приблизительной суммы платы,
которую можно получить за аренду отеля. На данный момент выбор предпринимателя колеблется от 162 тысяч рублей до 165 тысяч рублей. Определите
наиболее приемлемую арендную плату.
43
Таблица 20
№
Величина
Число
Престиж-
жен отель
Наличие у
Общая площадь
1.
123
25 1 1
1,00
2.
115
25 0 0
0,80
3.
126
30 1 1
1,20
4.
130
30 0 1
1,50
5.
125
30 1 0
1,40
6.
134
45 0 0
2,00
7.
142
45 1 0
2,50
8.
140
45 0 1
2,20
9.
143
45 0 0
2,70
10.
150
60 0 1
2,80
11.
153
60 0 1
3,00
12.
158
60 1 0
3,60
13.
160
75 1 1
3,50
14.
163
75 0 0
3,80
15.
164
75 1 1
3,60
16.
168
75 0 0
3,75
17.
172
100 0 1
4,10
18.
180
100 1 1
4,70
19.
177
120
10 1 4,25
20.
182
120 0 1
4,65
102,5677
0,1033
-0,0194
п/п
годовой
платы за
аренду отеля, тыс.руб.
ком-
нат в
отеле
ность рай-
она, в
котором
располо-
отеля
собственно-
го пляжа
территории,
принадлежащей
отелю, кв.км.
Решение с помощью
принимающей единственное значение, равное 1.
ций Excel: ТРАНСП, МУМНОЖ, МОМБР.
уравнений.
Excel
1. Ввод исходных данных с включением дополнительной переменной х0,
2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функ-
2.1. Нахождение обратной матрицы к матрице системы нормальных
2.2. Получение вектора оценок коэффициентов регрессии
44
2,6003
13,9271
Таким образом, построенная модель имеет следующий вид:
y
у
ˆ
(y-
у
ˆ
)2
123
121,6579
1,8012
115
116,2916
1,6681
126
124,9597
1,0821
130
129,1573
0,7101
125
125,1448
0,0210
134
135,0698
1,1445
142
142,0139
0,0002
140
140,4556
0,2075
143
144,8188
3,3080
150
150,3611
0,1304
153
153,1466
0,0215
158
158,8831
0,7798
1,1299
0,0433
0,7927
0,9195
1,0137
у = 102,5677 + 0,1033x1 - 0,0194x2 + 2,6003x
3. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии.
3.1. Проведение промежуточных расчетов, требуемых для расчета оста-
точной дисперсии, и оформление их в виде табл. 21.
+13,927x
3
.
4
Таблица 21
3.2. Получение стандартных ошибок
4. Вычисление множественного коэффициента корреляции.
4.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление их в виде табл. 22.
45
Таблица 22
(y-y)
2
(х1-
x
1
)
2
(х2-
x
2
)
2
(х3-
x
3
)
2
(х4-
x
4
)
2
742,56
1369
0,30
0,16
3,43
1242,56
1369
0,20
0,36
0,64
588,06
1024
0,30
0,16
1,44
410,06
1024
0,20
0,16
2,25
637,56
1024
0,30
0,36
1,96
264,06
289
0,20
0,36
4,00
68,06
289
0,30
0,36
6,25
105,06
289
0,20
0,16
4,84
52,56
289
0,20
0,36
7,29
0,06
4
0,20
0,16
7,84
7,56
4
0,20
0,16
9,00
60,06
4
0,30
0,36
12,96
95,06
169
0,30
0,16
12,25
162,56
169
0,20
0,36
14,44
189,06
169
0,30
0,16
12,96
315,06
169
0,20
0,36
14,06
473,06
1444
0,20
0,16
16,81
885,06
1444
0,30
0,16
22,09
715,56
3364
0,30
0,16
18,06
1008,06
3364
0,20
0,16
21,62
Сумма квадратов отклонений
8021,75
17270
4,95
4,80
194,20
Дисперсия
534,78
1151,
0,33
0,32
12,95
Среднее квадратическое отклонение
23,13
33,93
0,574
0,566
3,60
9971,0
75,8021
05,3
1 =−=R
9964,0
15
19
)9971,01(1
2
=−−=
скор
R
1515,013,23/93,3310,0
1
=×=
β
0005,013,23/574,002,0
2
−=×−=
β
0636,013,23/5666,2
3
=×=
β
1669,213,23/60,393,13
1
=×=
β
4.2. Расчет множественного коэффициента корреляции
. (4.34)
Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что
свидетельствует о существенной зависимости величины арендной платы от
включенных в модель факторов.
5. Расчет скорректированного множественного индекса корреляции
. (4.35)
6. Расчет бетта-коэффициентов
;
; (4.37)
;
.
(4.36)
(4.38)
(4.39)
Полученные значения бета-коэффициентов позволяют отсортировать
46
факторы по степени влияния на имитированный показатель следующим об-
8,0
)120(93,3313,23
00,11290
1
=
−××
=
yx
r
01,0
)120(574,3013,23
75,2
2
=
−××
=
yx
r
22,0
)120(566,013,23
00,54
3
=
−××
=
yx
r
30,0
)120(60,313,23
89,478
4
=
−××
=
yx
r
55,653
4
1420
9971,01
9971,0
2
2
=
−−
×
−
=
расч
F
(y-y)(x1-
x
)
(y-y)(x2-
x
)
(y-y)(x
x
-3)
(y-y)(x4-
x
)
1008,2500
-14,9875
-10,9000
50,4806
1304,2500
15,8625
21,1500
72,3506
776,0000
-13,3375
-9,7000
40,0731
648,0000
9,1125
-8,1000
27,3881
808,0000
-13,8875
15,1500
36,6756
276,2500
7,3125
9,7500
13,8531
140,2500
-4,5375
4,9500
2,9081
174,2500
4,6125
-4,1000
6,6881
123,2500
3,2625
4,3600
1,1056
0,5000
0,1125
-0,1000
0,0131
разом:
1) общая площадь территории, относящейся к отелю (более влияющий
фактор);
2) количество комнат в отеле;
3) наличие собственного пляжа;
4) репутация территории, на которой расположен отель (фактор, который
в меньшей степени влияет).
7. Расчет коэффициентов двойной корреляции.
7.1. Проведение промежуточных расчетов и регистрация результатов
расчетов в виде табл. 23.
7.2. Расчет коэффициентов парной корреляции
; (4.40)
;
;
.
(4.41)
(4.42)
(4.43)
8. Расчет дисперсионного отношения Фишера
. (4.44)
Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным F
= 5,86 для
4;15
95%-ного уровня значимости позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.
Таблица 23
1
2
3
4
47
(y-y)(x1-
x
1
)
(y-y)(x2-
x
2
)
(y-y)(x
3
x
-3)
(y-y)(x4-
x
4
)
-5,5000
-1,2375
1,1000
0,4056
-15,5000
4,2625
-4,6500
5,7931
126,7500
5,3625
3,9000
6,3131
165,7500
-5,7375
-7,6500
12,0806
178,7500
7,5625
5,5000
10,2781
230,7500
-7,9875
-10,6500
15,9306
826,5000
-9,7875
9,7000
27,1331
1130,5000
16,3625
11,9000
54,9631
1551,5000
14,7125
10,7000
37,3831
1841,5000
-14,2875
12,7000
57,0706
Сумма произведений
11290,00
2,75
54,00
478,89
9. Расчет t-статистик
78,90
1299,1
57,102
0
==
b
t
73,2
0433,0
10,0
1
==
b
t
02,0
7927,0
02,0
2
−==
b
t
83,2
9195,0
60,2
3==b
t
74,13
0137,1
93,13
4
==
b
t
Окончание табл. 23
; (4.45)
;
;
;
.
Сравнение полученных t-статистик с табличным значением t
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(15) =
0.95
2,131 подтверждает значимость таких коэффициентов регрессии, как b0, b1, b3,
b4, и незначимость коэффициента b2.
Скорее всего, это связано с тем, что престижность района, в котором
расположен отель, в некоторой степени определяется наличием пляжа.
10. Построение с помощью «Пакета анализа» линейного регрессионного
уравнения, исключив х2 (см. вывод итогов табл. 24).
48
Таблица 24
Регрессионная статистика
Множественный R
0,997143234
R-квадрат
0,994294628
Нормированный
R-квадрат
0,993224871
Стандартная ошибка
1,69128398
Наблюдения
20
df
SS
MS F Значимость F
Регрессия
3
7975,983
2658,661
929,4583
3,739Е-18
Остаток
16
45,76706
2,860442
Итого
19
8021,75
Коэффи-
Стан-
ошибка
t- ста-
Нижние
Верхние 95%
Yпересечение
102,5605062
1,056324
97,09187
1,34Е-23
100,3212
104,7998
Переменная
Х 1
0,103350894
0,041834
2,470506
0,025119
0,014667
0,192035
Переменная
Х 2
2,597229942
0,881817
2,945315
0,00953
0,7278613
4,466599
Переменная
Х 3
13,92581958
0,980218
14,20685
1,72Е-10
11,84785
16,00379
321
92,1359,210,056,102 xxxy +++=
16142,392,13159,28010,056,102
ˆ
=×+×+×+=y
0,3900
0,004218
-0,1217
-0,1853
0,0042
0,000612
-0,0058
-0,0135
-0,1217
-0,00583
0,2718
0,1121
-0,1853
-0,01355
0,1121
0,3359
Диспер
сионный анализ
циенты
Таким образом, пригодная для целей прогнозирования модель записыва-
ется в следующем виде:
дартная
тистикаP-Значение
95%
. (4.50)
11. Расчет прогнозной оценки величины платы, которую он может полу-
чать за предоставление в аренду своего отеля.
12. Расчет стандартной ошибки прогноза среднего.
12.1. Нахождение обратной матрицы к матрице системы нормальных
уравнений
. (4.51)
49
Нахождение остаточной дисперсии по аналогии с п. 3.1 настоящей задачи
86,2
ˆ
2
=
σ
51,0
ˆ
=yS
96,1
51,0
161162
1
=
−
=
p
t
84,7
51,0
161165
2
=
−
=
p
t
12.2. Вычисление стандартной ошибки прогноза по формуле:
13. Проверки обоснованности величины арендной платы, которую пред-
приниматель желает назначить за свой отель
13.1. Расчет t-статистик по формуле:
. (4.52)
. (4.53)
;
.
13.2. Сравнение полученных t-статистик с табличным значением t
(4.54)
(4.55)
(16)
0.975
= 2,120 свидетельствует о том, что первая величина арендной платы незначимо
отличается от средней прогнозируемой величины, а вторая - значимо.
Следовательно, предприниматель, назначая арендную плату 165 тыс. руб. в
год, рискует в большей степени не найти арендаторов своего отеля, чем при
установлении размера платы в 162 тыс. руб. или в 161 тыс. руб., поскольку 165
тыс. руб. существенно превышает средний сложившийся уровень арендной
платы трехзвездных отелей в данной курортной зоне.
Зада
ния для самостоятельной работы
Задание
1. Заведующий отделом маркетинга кинотеатра "Московский
проспект" поручил своим сотрудникам провести исследование, в результате которого необходимо: 1) определить наиболее влияющий на количество зрителей
фактор в первые три дня проката фильма; 2) построить прогнозную модель в
виде функции, которая наилучшим образом отражает зависимость выбранного
фактора от участия в фильме; 3) получить средний прогнозный расчет зрителей
за первые три дня проката следующих двух фильмов с использованием встроенной модели. Специалисты отдела маркетинга с помощью эксперта определили затраты на рекламу фильма как фактор, наиболее влияющий на показы
фильмов (см. ниже, табл. 25). Завершите 2-е и 3-е задания заведующего отделом маркетинга.
Задание 2. ЗАО крупной компании, предоставляющей услуги мобильной
и городской телефонной связи, продающей телефонные комплекты, планирует
в следующем квартале расширить свою работу за счет надежной связи, освоения нового рыночного пространства за счет прибыли компании и предоставления интернет-услуг в своем сервисе. Интернет-магазин. Получите прогнозные
оценки прибыли компании в следующем квартале, чтобы руководство получило представление о возможной финансовой поддержке для этого бизнес-плана.
50