Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование социально-экономических процессов. Учебное пособие.pdf
Рис. 1. Схема построения адаптивных моделей
ty
τ
ˆ
tt
ay
ε
+=
1
1−
+=
ttt
SayS
β
∞→n
∑
=
−
+
n
t
tt
yS
0
1
4
βα
социально-экономических процессов
Обозначения:
y(t) — фактические уровни временного ряда;
— прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед;
— ошибка прогноза, полученная как разница между фактическим и
e
t+1
прогнозным значением показателя в точке (t + 1).
2.2.
Экспоненциальное сглаживание
Предп
где: a
=const;
1
ε
– случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математиче-
1
ским ожиданием и дисперсией σ
оложим, что модель временного ряда имеет вид:
2
.
Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная
формула
где S
— значение экспоненциальной средней в момент t;
t
ạ — параметр сглаживания, α = сonst, 0 < ạ < 1;
β= 1 – α.
Если последовательно использовать соотношение (2.2), то экспоненциальную среднюю S
временного ряда. При
можно выразить через предшествующие значения уровней
t
, (2.1)
, (2.2)
. (2.3)
21
Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов
21,07,03,0 =×=×
βα
147,02=×
βα
1029/03=×
βα
[ ]
t
SD
2
σ
2
2
σ
α
α
−
=
t
SD
ttt
ay
ε
+=
,1
ряда.
Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в
прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина S
названа экспоненциальной
t
средней.
Например, пусть ạ = 0,3. Тогда вес текущего наблюдения y
= 0,3, вес предыдущего уровня y
для уровня y
–2 вес составит
t
–1 будет соответствовать
t
; для y
t–3
–
будет равен α
t
3 и т.д.
Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания
временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней
меньше дисперсии временного ряда (
):
;
.
(2.4)
Из (2.4) видно, что при высоком значении α дисперсия экспоненциальной
средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, вес конечных наблюдений, с одной стороны, должен
быть увеличен еще раз, это может быть достигнуто путем увеличения ạ (со-
гласно 2.4), с другой стороны, ạ должен быть уменьшен, чтобы исправить слу-
чайные отклонения. Эти два требования противоречат друг другу. Значения
параметра выравнивания ạ составляют проблему оптимизации модели α.
Иногда поиск значения этого параметра проводится путем подсчета. В
этом случае значение ạ, при котором достигается наименьшая волатильность
ошибки, выбирается оптимальное. Например, при сборке этих моделей с помощью пакета "Мезозавр" предусмотрена ветвь "оптимизация", которая выполняет поиск значений по данной схеме.
При расчете экспоненциального среднего по времени T всегда требуется
значение экспоненциального среднего по времени, поэтому на первом этапе необходимо определить S
го значения S
используется среднее арифметическое значение всех сущест-
0
до значения S1. Часто на практике в качестве исходно-
1
вующих уровней временных рядов или их частей. Вес, относящийся к этому
значению, уменьшается экспоненциально с расстояния от первого уровня. Поэтому эффект неудачного выбора S
для длительных серий отменяется.
0
При использовании экспоненциальной среды для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель серии имеет следующую форму:
, (2.5)
где: a
тическим ожиданием и дисперсией σ
– варьирующий во времени средний уровень ряда;
1,t
– случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым матема-
ε
1
2
.
22
Прогнозная модель определяется равенством:
tt
aty
,1
ˆ
)(
ˆ
=
)(ˆty
τ
t
a
,1
ˆ
tt
Sa =
,1
ˆ
00,1
ˆ
Sa =
)(
1111 −−
−+=
tt
SySS
α
)(
1
)1(
1
)( p
t
pp
t
SSS
−
−
+=
βα
n
n
F
n
FFFtF
τττ
τ
1
2
321
1
...
2
1
)(
+
++++=
, (2.6)
где:
— прогноз, сделанный в момент t на ṭ единиц времени (шагов) вперед;
— оценка a1,t .
Единственный параметр модели a
,t определяется экспоненциальной
1
средней:
,
.
Выражение (2.2) можно представить по-другому, перегруппировав члены:
Величину (y
– S
t
гда новый прогноз S
.
) можно рассматривать как погрешность прогноза. То-
t–1
получается в результате корректировки предыдущего про-
t
(2.7)
гноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.
Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения S
t–1
.
2.3. Адап
тивные полиномиальные модели
Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков.
Выравнивание p-го порядка:
, (2.8)
является простым экспоненциальным сглаживание, примененным к результатам сглаживания (p-1)-го порядка.
Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан
полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут
быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.
В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной
и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на τ
шагов вперед осуществляется по формуле:
.
(2.9)
Фундаментальная теорема доказывает метод экспоненциального колебания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Браун и Р. Maйер, показывает, что
(n + 1) неизвестные коэффициенты полинома N правила F
, F2,..FN можно оце-
1
нить с помощью линейной комбинации экспоненциальных N+1 в среднем.
Поэтому задача состоит в том, чтобы вычислить экспоненциальных средних порядков, которые изменяются на 1, N + 1, а затем через них линейное со-
23
четание — определенные коэффициенты полиномы.
На практике обычно используют полиномы не выше второго порядка.
В табл. 2 даны формулы, необходимые для расчета этих моделей.
Основ
Табли
ца 2
ные формулы для прогнозирования по адаптивным полиномиальным
моделям
Проце
дура, когда серия прогнозирования на основе адаптивных полино-
миальных моделей состоит из следующих этапов.
1. Выбранная модель внешнего вида экспоненциального вибрации, которая имеет значение активного значения ạ. При выборе примерно адаптивной
полиномиальной модели можно использовать различные подходы, например,
метод графического анализа последовательных различий и т. д.
2. Определенные предварительные условия. Например, в полиномиальной модели нужно определить первое правило F
1,0
; F
. Чаще эти оценки про-
2,0
водят коэффициенты, соответствующие полиномам, полученным методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нуля обычно берут усреднением нескольких первых уравнений для ряда. Зная эту оценку, приведенную
в таблице формул, находят начальное значение экспонен-циальных средних.
3. Значения расчета производства соответствующих экспоненциальных
средних.
4. Выполняются оценки коэффициентов модели.
5. Прогноз выполняется с точки зрения отклонения фактической стоимости от прогнозируемой временной шкалы. Шаги от 3 до 5 повторить эту процедуру для всех ṭ ≤ n, где n - длина строки.
24
6. Конечная целевая модель формируется на последнем шаге t = n. Про-
tt
ay
,1
=
t
ε
+
1
tttt
gay
ε
++=
,1
гноз получается в базе выражения (2.9) путем подстановки его конечных значений коэффициентов и времени упреждения τ.
К положительным характеристикам не нужно повторять новые, свежие
расчеты данных, когда они включены, что необходимо отнести к обсуждаемым
образцам. Из начальных условий, как достаточно важных, чтобы продолжать
принимать конечные функции и сделать окончательный расчет.
2.4. Адаптивные модели сезонных явлений
Пери
одические сезонные колебания происходят во многих экономиических временных рядах. Как упоминалось ранее, в зависимости от характеристик этих колебаний они часто делятся на два класса: мультипликативный и
другие.
При сезонных флуктуациях умножения предполагается, что амплитуда
колебаний пропорциональна изменению амплитуды колебаний от времени к
уровню тренда (текущему среднему уровню ряда).
Одной из особенностей сезона является гипотеза о ранних изменениях,
приблизительной устойчивости амплитуды периодических колебаний и независимости на уровне тренда. Кроме того, сезонные характеристики возрастающих
колебаний обязательно будут измеряться выражениями и проецироваться в статистическую модель в терминах условий и представляться в моделях для мультипликативных колебаний в относительных значениях и в виде факторов.
Таким образом, экономические временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны как сезонные (2.10), так и модели с дополнительной функцией умножения (2.11):
ƒ
,
,
(2.10)
(2.11)
где а
– характеристика тенденции развития;
1,t
gt ,g
ft ,f
t−1
t−1
,...,f
,...,g
t− ḷ +1
t − ḷ +1
– аддитивный сезонный фактор;
– мультипликативный сезонный фактор;
l — число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений l
= 12, для квартальных — l = 4);
ε
– неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.
t
Очевидно, что многие адаптационные сезонные модели можно составить,
отсортировав различные виды тренда в сочетании с сезонным эффектом дополнительной трендовой и мультипликативной формы. Выбор конкретной модели
будет диктоваться характером динамики исследуемого процесса.
В качестве примера рассмотрим модель с линейной природой тренда и
мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель представляет собой сочетание двухпараметровой модели роста Холта и модели Season Winters, поэтому
ее в большинстве случаев называют моделью Holt-Winters.
25
По модели Holt-Winters шаг вперед определяется выражением прогноза:
)
ˆˆ
()(
ˆ
,2,1 tt
aaty
τ
τ
+=
τ
+−1t
1,,,0
ˆ
)1()
ˆˆ
(
ˆ
ˆ
)1(
ˆ
)
ˆˆ
)(1(
ˆ
321
1,231,1,13,2
12
,1
1
2
1,21,11
1
1
1,
<<
−+−=
−+=
+−+=
−−
−
−−
−
aaa
aaaaaa
fa
a
y
af
aaa
f
y
aa
tttt
t
t
t
tt
t
rt
τ
τ
τ
+−
+×+=
l
ttt
gaaty
ˆˆˆ
)(
,2,1
1,,,0
1,2ˆ)1()
ˆˆ
(,2
ˆ
ˆ
)1()
ˆ
(
ˆ
)
ˆˆ
)(1()
ˆ
(
ˆ
321
31,1,13
12,12
1,21,1111,1
<<
−−+−=
−+−=
+−+−=
−
−
−−−
aaa
taaaaata
gaayag
aaagyaa
tt
tttt
ttttt
ƒ
. (2.12)
Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:
(2.13)
Практ
ическое значение этой модели объясняется тем, что вы можете
найти динамику развития этого типа в экономических временных рядах.
Практика расчетов показывает, что динамику многих экономических показателей можно описать с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальный тренд с мультипликативным сезонным эффектом. Логарифмируя начальные временные серии, на практике они часто превращают экспоненциальный тренд в дополнение к линейному и в то же время мультипликативному сезонному эффекту (авторы Г.Тейл и С.Вейдж).
Рассмотрим более подробно адаптивную тренд-сезонную модель, сочетающую линейный рост с сезонностью. Прогноз этой модели определяется выражением:
.
(2.14)
Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:
(2.15)
Помните, что подобная схема используется для построения моделей с
экспоненциальным и демпинговым трендом в сочетании с сезонным эффектом
обоих видов.
Адаптивные сезонные модели являются важным компонентом современных статистических программных пакетов, ориентированных на решение проблем прогнозирования.
Пример 1
Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временной серии цену акций "Газпрома". Возьмите среднюю цену первых 5 уровней серии в качестве
первоначальной стоимости в среднем по эпохе. Рассчитать для двух разных
значений параметров выравнивания ạ.
а) ạ = 0,1;
б) ạ = 0,5.
Сравните графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных
26
средних, полученные при ạ = 0,1 и ạ = 0,5. Укажите, какой ряд носит более
t
t
y
t
t
y
t
t
y
1
510
11
494
21
523
2
497
12
499
22
527
3
504
13
502
23
523
4
510
14
509
24
528
5
509
15
525
25
529
6
503
16
512
26
538
7
500
17
510
27
539
8
500
18
506
28
541
9
500
19
515
29
543
10
495
20
522
30
541
506)509510497510(
5
1
5
1
1
0
=+++==
∑
=st
t
ySt
..31,50546,5059,05041,0;)1(S
46,5054,5069,04971,0;)1(S
4,5065069,05101,0;)1(S
;1,0;)1(
3233
2122
1011
1
дтиSSaay
SSaay
SSaay
условиюпоaSaayS
ttt
=×+×=−+=
=×+×=−+=
=×+×=−+=
−=−+=
−
т.д.и,55024,5065,04975,0;)1(S
5085065,05105,0;)1(S
2122
1011
=×+×=−+=
=×+×=−+=
SSaay
SSaay
t
Экспоненциальная
средняя
t
Экспоненциальная средняя
ạ = 0,1
ạ = 0,5
ạ = 0,1
ạ = 0,5
1
506,4
508
16
505,7
513,3
2
505,5
502,5
17
506,1
511,7
3
505,3
503,2
18
506,1
508,8
4
505,8
506,6
19
507
511,9
гладкий характер.
ица 3
Табл
акций фирмы ОАО «Газпром», долл. США
Курс
Решение: определим
Найдем значения экспоненциальной средней при ạ =0,1
Результаты расчетов представлены в табл. 4.
Проведем аналогичные расчеты для ạ =0,5
Резу
льтаты расчетов представлены в табл. 4.
Экспо
ненциальные средние
.
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Табл
ица 4
27
Окончание табл. 4
t
Экспоненциальная
средняя
t
Экспоненциальная средняя
ạ = 0,1
ạ = 0,5
ạ = 0,1
ạ = 0,5
5
506,1
507,8
20
508,5
517
6
505,8
505,4
21
509,9
520
7
505,2
502,7
22
511,6
523,5
8
504,7
501,4
23
512,8
523,2
9
504,2
500,7
24
514,3
525,6
10
503,4
497,8
25
515,8
527,3
11
502,4
495,9
26
518
532,7
12
502
497,5
27
520,1
525,8
13
502
499,7
28
522,2
538,4
14
502,7
504,4
29
524,3
540,7
15
505
514,7
30
525,9
540,9
ис. 2 наглядно представлено влияние значения параметра адаптации
На р
α на характер сглаженного ряда.
При ạ = 0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к.
в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
Рис. 2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций:
А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при ạ =0,1;
С – экспоненциальная средняя при ạ =0,5
28
3. ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
tbby
t 10
+=
2
210
tbtbby
t
++=
t
t
bby
10
=
tbby
t
ln
10
+=
1
0
b
t
tby =
1
b
t
b
by
t
2
0
−=
110−
−= ebby
t
2
210
)(lnln tbtbby
t
++=
02<b
3
3
2
210
tbtbtbby
t
+++=
0
3
<b
t
b
t
kay =
at
e
t
b
k
y
−
+=1
∑
∑
=
=
−
−
=
n
i
t
n
i
tt
e
ee
d
1
2
2
2
1
)(
( )
( )
,
ˆ
1t
2
t-t
2
t
1
t
у
S
1
1t
l
∑
=
−
++⋅±
+
п
п
п
у
α
t
ПРОЦЕССОВ
1. Моде
ли.
– постоянный рост:
– линейная;
– увеличивающийся рост:
– парабола,
– показательная;
– уменьшающийся рост:
– линейная логарифмическая;
при
< 1 – степенная;
– модифицированная гипербола;
– модифицированная экспонента;
– комбинированный рост:
с
с
– логарифмическая парабола;
– полином третьей степени.
– рост с качественным изменением динамических характеристик:
– кривая Гомпертца;
– логистическая кривая Перла – Рида.
2. Кр
где S
– среднеквадратическая ошибка модели;
y
t
– время упреждения, для которого делается экстраполяция, t1 = n + l;
1
итерий Дарбина-Уотсона
, (3.1)
t – порядковый номер уровней ряда, t= 1,2,…, n;
– порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда;
t
– α %-ный квантиль t– распределения Стьюдента.
α
(3.2)
29
Задание 1. Ежемесячно фирма «Солнце» на основе информации об объе-
Бумага
для коп
ровальной
техники,
Альбомы,
Блокноты
и запи
книжки,
руб.
Ватман,
Калькуля
торы,
Цветные
каранд
упаковок
Календ
Маркеры,
1
12228,10
1268
1988,95
1315,50
2562,34
801
2987,01
1565
2
12277,75
1316
2475,05
1635,75
5042,50
859
2986,95
1681
3
12335,21
1355
2996,21
1858,95
7510,28
938
2985,57
1819
4
12390,65
1370
3659,34
2023,57
9942,23
1015
2984,95
1964
5
12450,12
1385
4717,23
2163,58
12362,01
1106
2983,88
2119
6
12507,79
1396
5729,17
2248,90
14785,35
1211
2982,69
2243
7
12565,45
1402
7458,35
2344,02
17183,03
1326
2981,16
2352
8
12625,76
1406
9375,78
2422,18
19588,33
1445
2980,23
2419
9
12677,44
1408
11486,75
2485,76
21978,19
1582
2979,12
2441
10
12740,34
1411
14825,89
2534,75
24362,34
1722
2970,18
2413
11
12800,57
1412
18235,78
2600,56
26751,38
1880
2938,79
2309
12
12860,14
1416
23436,73
2647,21
29122,78
2045
2860,75
2115
13
12905,05
1417
28272,65
2690,45
31499,93
2219
2647,73
1842
14
12949,15
1418
36050,78
2735,46
33869,17
2404
2065,86
1460
15
13003,12
1421
46692,12
2775,85
36234,77
2589
491,24
970
y
∆
мах продаж составляет планы закупок отдельных групп товаров для своих магазинов. В текущем месяце на ее складе заканчиваются цветные карандаши, в
связи с чем отделу закупок фирмы было поручено определить количество упаковок, которое необходимо заказать на оптовой базе канцтоваров.
ица 5
Табл
и-
Месяц
руб.
штук
с-
ные
руб.
-
руб.
а-
ши,
а-
ри,
руб.
штук
Специалисты отдела закупок обычно принимают решение на основе предоставляемой аналитическим отделом информации о прогнозных оценках объемов продаж на последующие три месяца. Следовательно, аналитическому отделу фирмы предстоит решить три задачи: 1) подобрать кривую роста (трендовую модель) к временному ряду табл. 5, отражающему динамику объема продаж цветных карандашей за последние 15 месяцев; 2) с помощью критерия
Дарбина-Уотсона проверить адекватность выбранной для целей прогнозирования модели; 3) получить точечные и интервальные объема продаж на 3 месяца.
Решите поставленные перед аналитическим отделом фирмы задачи.
Реше
ние с помощью Excel
.
1. Ввод исходных данных по объему продаж цветных карандашей.
2. Расчет абсолютных приростов
по исходным данным у и оформле-
ние результатов расчетов в виде табл. 6.
30