Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
С.В. Ткаченко
А.С. Сысоев
МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЯ. ГРАФЫ
Учебное пособие
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
2
УДК 517(07)
Т484
Рецензенты: кафедра прикладной математики и информационных технологий
ФГОБУ ВПО «Липецкий государственный педагогический университет»;
Скуратов А.П. – канд. техн. наук, доцент Липецкого филиала НОУ
ВПО «Международный институт компьютерных технологий».
Ткаченко, С.В.
Т 484 Множества. Отношения. Графы. [Текст]: учеб. пособие /
С.В. Ткаченко, А.С. Сысоев – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. – 112 с.
ISBN 978-5-88247-543-6
Пособие является одной из частей системы учебных пособий по дис-
кретной математике. Рассматриваются основные разделы дисциплины «Теория
графов и математическая логика», в частности теория множеств, комплектов и
нечетких множеств, теория функций и отношений, и теория графов.
Все темы содержат достаточное количество примеров и задач с решени-
ями. Приведены варианты индивидуальных домашних заданий, контрольных
работ, тесты для текущего контроля знаний.
Данное пособие может быть рекомендовано студентам направлений
231300.62 «Прикладная математика», 221400.62 «Управление качеством»,
221700.62 «Стандартизация и метрология», а также преподавателям, которые
преподают теорию множеств, отношений и графов студентам всех направлений.
ISBN 978-5-88247-543-6
© Липецкий государственный
технический университет, 2012
© Ткаченко С.В., Сысоев А.С., 2012
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5
ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА И ИХ СПЕЦИФИКАЦИИ ............................................... 7
1.1. Множества ......................................................................................................... 7
1.1.1. Понятие множества ................................................................................... 7
1.1.2. Операции над множествами ................................................................... 11
1.1.3. Законы теории множеств ........................................................................ 14
1.2. Комплекты ....................................................................................................... 15
1.2.1. Понятие комплекта .................................................................................. 15
1.2.2. Операции над комплектами ................................................................... 16
1.3. Нечеткие множества ....................................................................................... 18
1.3.1. Понятие нечеткого множества ............................................................... 18
1.3.2. Операции над нечеткими множествами ............................................... 20
ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ ................................................................. 22
2.1. Отношения ...................................................................................................... 22
2.2. Функции и отображения ................................................................................ 25
2.3. Специальные бинарные отношения ............................................................. 29
ТЕМА 3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ .................................................................................... 32
3.1. Определение графа ......................................................................................... 32
3.2. Основные характеристики графа и его элементов ...................................... 36
3.3. Матричное представление графов. Степени вершин ................................. 37
3.4. Элементы графов: подграфы, маршруты, цепи, циклы .............................. 41
3.5. Связные графы. Компоненты связности ...................................................... 45
3.5.1. Понятие связности .................................................................................. 45
3.5.2. Вершинная и реберная связность .......................................................... 49
3.5.3. Двусвязные графы ................................................................................... 51
3.5.4. Связность в орграфах .............................................................................. 53
3.5.5. Метрические характеристики графа ..................................................... 55
4
3.6. Виды графов и операции над графами ......................................................... 56
3.6.1. Виды графов ............................................................................................. 56
3.6.2. Операции над графами ........................................................................... 60
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЕ (ВАРИАНТЫ) ....................... 64
ИДЗ 1. Проверка законов теории множеств, комплектов, нечетких множеств ... 64
ИДЗ 2. Отношения и функции ............................................................................. 65
ИДЗ 3. Основные понятия теории графов .......................................................... 67
ИДЗ 4. Связность в орграфах ............................................................................... 75
ИДЗ 5. Связность в неориентированных графах................................................ 75
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ) .... 76
Пример выполнения ИДЗ 1 .................................................................................. 76
Пример выполнения ИДЗ 2 .................................................................................. 84
Пример выполнения ИДЗ 3 .................................................................................. 91
Пример выполнения ИДЗ 4 .................................................................................. 95
Пример выполнения ИДЗ 5 .................................................................................. 97
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ...................................................... 101
Тестовые задания для защиты ИДЗ ................................................................... 101
Тест 1 ................................................................................................................ 101
Тест 2 ................................................................................................................ 101
Тест 3 ................................................................................................................ 102
Тест 4 ................................................................................................................ 103
Тест 5 ................................................................................................................ 104
Примеры контрольных работ ............................................................................. 106
Контрольная работа № 1 ................................................................................. 106
Контрольная работа № 2 ................................................................................. 107
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................ 109
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................... 110
5
ВВЕДЕНИЕ
Пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования специально для студентов направлений 231300.62 «Прикладная математика», 221400.62 «Управление качеством», 221700.62 «Стандартизация и метрология», а также студентов
других направлений, изучающих теорию графов.
Дискретная математика – это цикл математических наук, изучающих
свойства конечных множеств. В настоящее время эти науки бурно развиваются,
что определяется тремя очень важными факторами:
1) развитием компьютерной техники и компьютерных наук, которые по
существу являются продолжением дискретной математики;
2) запросами различных прикладных наук – теории управления, эконо-
мики, оптимизации и многих, многих других;
3) логикой внутреннего развития этих наук. Появлением новых разде-
лов, глубоких интересных проблем, развитием мощных методов их решения.
Все это и предопределило тот факт, что различные разделы дискретной
математики все настойчивее внедряются не только в университеты, но также и
в технические вузы.
Пособие предназначено для ознакомления студентов с основными понятиями разделов дискретной математики, объединенных в рамках дисциплины
«Теория графов и математическая логика»: теория множеств, комплектов и нечетких множеств, отношений и функций, теория графов. С учетом специфики
основных разделов дисциплины и направлений, для которых она предназначена, повышенное внимание уделяется формированию у студентов практических
навыков решения задач, а также проблемам решения прикладных задач.
Согласно ФГОС ВПО в результате освоения дисциплины студент должен
знать: основные принципы перечисления объектов; основные характе-
ристики графов; специальные цепи и циклы в графе; понятие остовного дерева
6
в графе; основные понятия теории множеств (операции над множествами, законы теории множеств);
уметь: строить граф по его матрицам смежности и инциденций и решать
обратную задачу; строить циклы специального вида в графе; применять математический аппарат при решении типовых задач, а также обнаруживать применимость аппарата теории графов для решения задач из родственных областей
науки и ее приложений;
владеть: аппаратом и методами теории графов для грамотной математической постановки и анализа конкретных задач, возникающих в профессиональной деятельности; способностью и готовностью к изучению дальнейших
понятий и теорий, разработанных в современной математике, а также к оценке
степени адекватности предлагаемого аппарата к решению прикладных задач.
Первая тема пособия раскрывает студентам элементы теории множеств,
комплектов и нечетких множеств.
Вторая тема содержит основные теоретические сведения теории функций и отображений.
Третья тема освещает элементы теории графов.
Далее приводятся индивидуальные домашние задания по всем теоретическим сведениям и даются примеры их выполнения.
Пособие также содержит тестовые материалы для текущего контроля
знаний студентов, а также итоговые работы и список контрольных вопросов.
Учебное пособие позволит студентам овладеть навыками самостоятельной работы, самоорганизации и выполнения поручений.
7
ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА И ИХ СПЕЦИФИКАЦИИ
1.1. Множества
1.1.1. Понятие множества
Основателем теории множеств является немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918 гг.). Его понятие множества звучало примерно так: «Множество – это объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью».
Однако недостаточность этого определения стала понятной, когда в 1879
году итальянский логик Чезаре Бурали-Форти (1861 – 1931 гг.), а позже философ и логик Бертран Рассел (1872 – 1970 гг., Уэльс) открыли парадоксы, указывающие на внутреннюю противоречивость канторовской теории множеств.
Приведем формулировку парадокса Рассела. Пусть К – множество всех
множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли
K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно
быть элементом К – противоречие. Если нет – то, по определению K, оно должно быть элементом K – вновь противоречие.
Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из
них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так: «Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не
брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?»
Для устранения таких противоречий и парадоксов для теории множеств
были предложены аксиоматические системы. Наиболее известны системы Цермело-Френкеля-фон Неймана, Гильберта-Бернайса-Гёделя и Рассела-Уайтхеда.
Парадокс Расселла может иметь решение при допущении самопринадлежности множеств, введённой русским математиком Дмитрием Миримановым
в 1918 году. Множество, содержащее все несамопринадлежащие множества,
выделяет из множества всех множеств (самопринадлежащего) не только все несамопринадлежащие объекты, но и ещё само себя (самопринадлежащее), а так-
8
же все свои внутренние множества (также самопринадлежащие), так что убывающий ряд внутренностей не обрывается.
Для примера с брадобреем решение: брадобрей, руководствуясь здравым
смыслом, будет брить самого себя.
Последующее развитие теории множеств в западной математической
школе с 20-х гг. XX в. было направлено на то, чтобы исключить из рассмотрения кажущиеся неудобными самопринадлежащие множества, посредством
множества ограничений и дополнительных аксиом (аксиома фундирования),
однако ограниченность такого подхода была показана в 30-е гг. в теоремах Гёделя (теорема о неполноте). В конце XX в. в работах российского математика
Виктора Чечулинa были описаны гносеологические основания непредикативных (самоссылочных) конструкций, каковыми являются и самопринадлежащие
множества, что позволило показать корректность введённых Миримановым самопринадлежащих множеств.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующим подходом к определению одного из фундаментальных понятий математики:
Множество – совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:
1) все элементы различны;
2) относительно каждого элемента можно однозначно сказать, принад-
лежит или не принадлежит он этому множеству.
Множества обозначаются прописными латинскими буквами: А, В, С,…
Элементы множества – строчными латинскими буквами: а, b, с,…
Запись хS означает, что элемент х принадлежит множеству S, а запись
х
S означает, что элемент х не принадлежит множеству S.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются ко-
нечными, а множества, состоящие из бесконечного числа переменных, называются бесконечными. Число элементов в конечном множестве А называется
мощностью множества А и обозначается |А|.
9
А2
А3
В27
В30
10, nNn
Znnx ,
2
3
,
2
7
,
2
5
,
2
3
,
2
,
2
,
BA
Ax
Bx
Множества могут быть заданы перечислением своих элементов. Список
обычно заключается в фигурные скобки.
П р и м е р ы .
1. Конечное множество А = {2, 4, 6, 8} в качестве элементов содержит
натуральные четные числа 2, 4, 6, 8. В этом случае можно записать, что
но
натуральных чисел. При этом
свойства его элементов: А = {x | x обладает свойством P}. Способ задания множества должен быть адекватен, т.е. полностью определять множество.
Если различным студентам группы предложить определить это множество, то
они сделают это неоднозначно, выбирая в качестве элементов не одних и тех же
учащихся. Поэтому характеристическое свойство необходимо определить более
. Кроме того, мощность множества |А| = 4.
2. Бесконечное множество В = {1, 8, 27, …, т3, …} содержит кубы всех
, но
Также множества могут быть заданы с помощью характеристического
П р и м е р .
Рассмотрим множество А = {х | х – высокий студент данной группы}.
.
,
конкретно. Например, так: А = {х | х – студент данной группы, рост которого не
ниже 185 см}.
Характеристическое свойство может представлять собой формулу.
П р и м е р ы .
1. Множество А = {х | х=2п+1,
элементов: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
2. Множество В = {х |
элементов:
Множество А есть подмножество множества В (обозначается
если каждый элемент множества А есть элемент множества В; т.е. если
то
. В частности, каждое множество есть подмножество самого себя. Если
} содержит конечное число
} содержит бесконечное число
),
,
10
BA
Ax
Bx
},,,,{},,{ edcbadca
},,,,{},,{ edcbakca
ВА
ВС
BxAx
BABA и AB
BA
BA
BA
А не является подмножеством множества В, это записывается как
если существует элемент
, такой, что
.
; т.е.
П р и м е р ы .
1. Очевидно, что
, но
.
2. Пусть А = {х | х – победитель олимпиады по математике среди студен-
тов 1 и 2 курсов данного университета}, В = {y | y – участник олимпиад, проводимых среди студентов 1 и 2 курсов данного университета}, С = {t | t – участник ежегодной студенческой конференции данного университета}. Тогда
, но
.
Множества равны, если они содержат одни и те же элементы.
П р и м е р .
Если множество А = {1, 3, 5}, а множество В = {x | х – все положительные натуральные нечетные числа не больше 5}, то множества А и В являются
равными.
Пусть А и В – некоторые множества. Говорят, что множество А равно
множеству В (А = В), если для любого элемента х имеем:
говоря,
. Если
и
, то записывают
. Иначе
и
говорят, что множество А есть собственное подмножество множества В.
В теории множеств введены два противоположных друг другу понятия.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множе-
ством и обозначается или {}. При этом мощность || = 0.
Пустое множество есть подмножество любого данного множества А, поскольку каждый элемент пустого множества содержится в А. Можно сказать,
что не существует элементов пустого множества, которые не принадлежали бы
множеству А.
Если все рассматриваемые в данной задаче множества являются подмножествами некоторого множества U, то такое множество U называется уни-
версальным множеством.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]