Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
41
6 3
5 4
1 2
G
4)6(
422)5(
0)4(
2)3(
1)2(
3)1(
D
6 3
5 4
1 2
1)6(
3)5(
0)4(
0)3(
413)2(
1)1(
2)6(
0)5(
2)4(
0)3(
211)2(
3)1(
GH
VV
GH
EE
П р и м е р. Рассмотрим неориентированный граф G (рис. 3.8). Укажем его
степени вершин.
Рис. 3.8. Граф G
П р и м е р . Рассмотрим ориентированный граф D (рис. 3.9.). Укажем его
полустепени исхода и полустепени захода вершин.
Рис. 3.9. Граф D
3.4. Элементы графов: подграфы, маршруты, цепи, циклы
Граф H называется подграфом графа G, если
,
(при
этом говорят, что H содержится в G).
П р и м е р. Рассмотрим граф G (рис. 3.10).
42
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
G
1
2
3
4
5
6
7
}7,6,5,4,3,2,1{
G
V
},,,,,,,,{
987654321
eeeeeeeeeEG
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
3
5
6
7
H
1
e
3
e
4
1 3
4
H
2
Рис. 3.11 (а). Подграф H1
},,,,{
}7,6,5,3{
98765
1
1
eeeeeE
V
H
H
Рис.3.11 (б). Подграф H2
},{
}4,3,1{
43
2
2
eeE
V
H
H
GH
VV
G
H
H
Рис. 3.10. Граф G
,
Его подграфы H1 (рис. 3.11 (а)) и H2.(рис 3.11 (б)).
Подграф Hназывается остовным подграфом, если
. Остов H
покрывает вершины неориентированного графа G, если любая вершина графа
инцидентна хотя бы одному ребру из H.
П р и м е р. Для рассмотренного в предыдущем примере графа остовами
являются графы
(рис. 3.12 (а)) и
(рис. 3.12 (б)).
43
e
1
e
3
e
4
e
5
e
7
e
9
1
2
3
4
5
6
7
H
e
1
e
2
e
4
e
5
e
6
e
9
1
2
3
4
5
6
7
H
vGG
v
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
1 2
3
4
5
G
e
1
e
2
1 2
3
5
G4=G-4
Рис. 3.12 (а). Остов графа H
Рис. 3.12 (б). Остов графа H
Важный класс подграфов составляют подграфы, полученные в результате
удаления вершин. Пусть v – вершина графа G. Граф
получается из
графа G в результате удаления вершины v и всех инцидентных ей ребер (рис. 3.13).
П р и м е р.
Рис. 3.13. Удаление вершины
44
eGG
e
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
1 2
3
4
5
G
e
1
e
3
e
4
e
5
1 2
3
4
5
2
2
eGG
e
XG
X
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
1 2
3
4
5
G
e
4
e
5
3
4
5
G-X
111
,,,...,,
lll
vevev
livve
iii
,...,1},,{
1
1
v
1l
v
11
,,...,
ll
vvv
l
ee ,...,
1
11 l
vv
Аналогично из графа можно удалять ребро (рис. 3.14.). Граф
получается из графа G удалением ребра e, при этом концы ребра не
удаляются.
П р и м е р .
Рис. 3.14. Удаление ребра
Пусть X – множество каких-либо элементов (вершин и ребер) графа G.
Подграф
получается удалением из G всех вершин и ребер, входящих в
, а также всех ребер, хотя бы один конец которых принадлежит X(рис. 3.15).
П р и м е р .
Рис. 3.15. Удаление вершин и ребер
Последовательность вершин и ребер
, называется маршрутом, соединяющим вершины
, такая что
и
Маршрут может быть задан: либо только последовательностью вершин
; либо только последовательностью ребер
.
.
Маршрут называется цепью, если все его ребра различны. Маршрут
называется простой цепью, если все его ребра различны и все его вершины, кроме,
возможно, крайних, различны.
Маршрут называется циклическим, если
называется циклом; циклическая простая цепь – простым циклом.
. Циклическая цепь
45
2
1 4
5
3 7
8
6
G
Длина маршрута l – число ребер в нем.
П р и м е р. Рассмотрим граф G (рис. 3.16).
Рис. 3.16. Граф G
В этом графе:
1) (3, 7) – простая цепь l = 1
2) (2, 3, 4, 6, 5) – простая цепь, l = 4
3) (4, 6, 5, 4, 6, 5, 4) – циклический маршрут, l = 6
4) (4, 3, 2, 4, 5, 6, 4) – цикл, не являющийся простым, l = 6
5) (1, 2, 3, 4, 2) – цепь, не являющаяся простой, l = 4
6) (5, 2, 4, 6, 5) – простой цикл, l = 4
7) (7, 3, 4, 8, 4, 6, 5, 6, 4, 2, 1) – маршрут, l = 10
8) (4, 8, 3, 2, 4, 6, 5, 4) – цикл, не являющийся простым, l = 7
9) (8, 3, 4, 8) – простой цикл, l = 3
10) (2, 4, 7, 5, 1) – произвольная последовательность вершин.
3.5. Связные графы. Компоненты связности
3.5.1. Понятие связности
Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины
соединены цепью.
3.17 (б)).
Графы G1 и G2 –связные (рис. 3.17 (а)), графы G3 и G4 – несвязные (рис.
46
1
2
4
3
G
1
1
4
5
G
2
2
3
1
2
4
3
G
3
1
2
4
5
G
4
3
Прим е р.
Рис. 3.17 (а).Связные графы
Всякий максимально связный подграф графа G называется компонентой
связности графа G.
«МАКСИМАЛЬНО» означает, что он не содержится в связном подграфе
с большим числом элементов.
Множество вершин компоненты связности называется областью связно-
сти графа (рис. 3.18).
Рис. 3.17 (б). Несвязные графы
47
1
2
4
3
G
1
1
2
6
3
G
2
5
4
Рис. 3.18 (а)
Компонента связности {1,2,3,4}
Рис. 3.18 (б)
Компоненты связности {1,2,3}, {4}, {5,6}
AVB
G
\
Aa
Bb
ab
B
G
Ee
eG
eG
},{ vue
),( yx
),,( veu
),( vu
eC
),( yx
П р и м е р .
Т е о р е м а 3.1. Для любого графа либо он сам, либо его дополнение
является связным.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Пусть G – несвязный граф, A – одна из его областей связности,
ребро
. Тогда для любых
. Следовательно, произвольная вершина из
и
в дополнительном графе G есть
соединена с a
маршрутом длины 1, а каждая вершина из A (отличная от a) соединена с a
маршрутом длины не более чем 2. Из определения вытекает, что G связен.
Доказательство завершено.
Т е о р е м а 3.2. Пусть G – связный граф,
. Тогда
1) Если ребро e принадлежит какому-нибудь циклу графа G, то граф
связен;
2) Если ребро e не входит ни в один цикл, то граф
компоненты.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
1. Пусть ребро
каждой
получим
-цепи, содержащей e, подцепь
-маршрут, не содержащий ребра e. Следовательно, в графе G
имеет ровно две
принадлежит циклу C графа G. Заменив в
-цепью
,
48
eG
},{ vue
eG
u
G
v
G
ux
G
),( ux
u
Gx
v
Gx
2
)1)((
knkn
mkn
p
K
q
K
1 qp
1
1)1( knkn
2
)1)((
knkn
m
mkn
0m
nk
0m
m
eG
G
Ee
1k
1m
11 mkn
mkn
любые две несовпадающие вершины соединены маршрутом, не проходящим
через e. Но тогда и граф
2. Пусть ребро
связен.
не входит ни в какой цикл графа G. Тогда,
очевидно, вершины u и v принадлежат разным компонентам связности графа
, например,
существует
. В противном случае
и
соответственно. Для произвольной вершины
в
-маршрут. Если ребро e в этот маршрут не входит, то
.
Доказательство завершено.
Т е о р е м а 3.3. (О числе ребер в графе). Если число компонент
связности графа G равно k, то
,
где m – число ребер, n – порядок графа G.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Вначале рассмотрим верхнюю оценку. Пусть G – граф порядка n с k
компонентами и максимальным для таких графов числом ребер. Тогда каждая
его компонента является полным графом. Пусть далее
компоненты,
, v – вершина из второй компоненты. Удалив из графа
и
– две
все ребра, инцидентные вершине v, и соединив v ребром с каждой вершиной
из первой компоненты, получим новый граф порядка n с тем же числом
компонент и большим числом ребер. Последнее невозможно, стало быть,
только одна из компонент может иметь порядок
Докажем нижнюю оценку:
. Воспользуемся индукцией по m. Пусть
меньшим, чем
, и поэтому
, числом ребер соответствующее неравенство верно.
.
. Оно очевидно при
и пусть для графов с
. Он равен
, т.к.
Рассмотрим граф
этого графа равно k или
предположению, в обоих случаях
, где
. Согласно Теореме 3.2, число компонент
. Число ребер в нем
. По индуктивному
. Следовательно,
.
Доказательство завершено.
49
1
3
2
4
5
6
1
2
4
5
6
G
1
G1-3
(а) (б)
1)(
1
G
1
3
2
4
5
6
1
2
4
5
6
G
2
G2-3
2
4
5
6
G2-3-1
(а) (б)
(в)
2)(
2
G
3.5.2. Вершинная и реберная связность
Числом вершинной связности (или просто числом связности) графа G
называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к
несвязному или одновершинному графу (рис. 3.19, 3.20). Если граф несвязный,
то = 0.
П р и м е р ы .
Рис. 3.19. Удаление вершины 3
Рис. 3.20. Удаление вершин 3,1
50
1n
)(G
G
0)( G
1
3
2
4
5
6
G
G2 - {4, 5} - {5, 6}
1
3
2
4
5
6
λ(G) = 2
vG
eG
2
3
G
4 5 6
7
9
8
e
1
e
2
e
5
e
4
e
3
e
6
e
7
e
10
e
11
e
8
e
9
e
13
e
12
10
1
76
, ee
Пусть G – граф порядка
. Числом реберной связности
графа
называется наименьшее число ребер, удаление которых приводит к
несвязному графу (рис. 3.21). Для несвязного или одновершинного графа
.
П р и м е р .
Рис. 3.21. Реберная связность
Вершина v графа G называется точкой сочленения (или разделяющей
вершиной), если граф
имеет компонент связности больше, чем G (рис. 3.22).
Аналогично, ребро е графа G называется мостом, если граф
компонент связности больше, чем G (рис. 3.22).
П р и м е р .
имеет
Точки сочленения: 4, 5, 6. Мосты:
Рис. 3.22. Точки сочленения
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]