Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

и при подготовке к ЕГЭ, а также на занятиях с учащимися физико-математических классов.

Хотя в необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место, но это первое впечатление обманчиво. Известный математик-вычислитель Р.В. Хемминг пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами».

4

§ 1. Предварительные замечания

Пусть М – произвольное непустое множество. Всякое отображение f : M M M называется бинарной алгебра-

ической операцией, определенной на множестве М. Вместо f часто пишут +, –, , или другой символ. Пусть на М задана операция . Операция называется коммутативной, если a b = b a a, b M. Операция называется ассоциатив-

ной, если (a b) c = a (b c) a, b, с M. Множество М с заданной на нем операцией называется группоидом.

Группоид G; называется группой, если

1)– ассоциативная операция;

2)в G существует нейтральный элемент, т.е. такой эле-

мент е, что g e = e g = g g G;

3) g G в G существует симметричный элемент, т.е та-

кой элемент g G , что g g g g e .

Если групповая операция обозначена ◦ (умножение), т.е. мы пользуемся мультипликативной записью, то нейтральный элемент называется единичным, а элемент, симметричный к g, называется обратным элементуg и обозначается g–1.

Пусть G; – группа. Если групповая операция коммутативна, то G называется абелевой или коммутативной группой. Для абелевой группы часто используется аддитивная запись (т.е. групповая операция обозначается через +, нейтральный элемент – 0, а элемент симметричный g обозначается –g и называется противоположным элементу g).

Пусть K – непустое множество с двумя бинарными опера-

циями «+» (сложением) и « » (умножением). K; +, называется кольцом, если:

1)K; + – абелева группа;

2)операция « » ассоциативна;

3) a, b, с K (a + b) c = a c + b c и c (a + b) = c a + c b (т.е.

вторая операция дистрибутивна относительно первой).

5

Если операция умножения в кольце K коммутативна, то K

называется коммутативным кольцом.

Кольцо K называют кольцом с единицей, если в K суще-

ствует элемент 1, такой, что 1 а= а 1 = а.

Пусть K K . K называют подкольцом кольца K, если оно само образует кольцо относительно операций, определенных на K. Непустое подмножество K является подкольцом кольца K, тогда и только тогда, когда K содержит разность и произведение двух своих элементов.

Коммутативное кольцо P {0} называется полем, еслиP \{0}; является группой. Таким образом, Р – это непустое

множество с двумя бинарными операциями «+» и « », в котором Р; + и P \{0}; – абелевы группы и вторая операция дистрибутивна относительно первой.

Пусть P \{0}; ; – поле и P P . Подмножество P

называется подполем поля Р, если P само является полем относительно операций, определенных на Р. P является подполем поля Р тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) a, b P a b P ;

2) a, b P , где b 0 , ab 1 P .

Непустое подмножество I кольца K называют правым (ле-

Непустое подмножество I кольца K называют идеалом (двусторонним идеалом), если оно является одновременно и правым и левым идеалом кольца K. Для коммутативного кольца все три понятия совпадают, поэтому говорят просто об идеалах.

6

Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Множество {ka | k K}, состоящее из всех элементов кольца, кратных а,

является идеалом. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом а. Главный идеал является пересечением всех идеалов кольца K, содержащих элемент а.

Любой идеал I кольца K определяет некоторое разбиение кольца на смежные классы или классы вычетов по идеалу I. Два элемента a и b называются сравнимыми по идеалу I (сравнимыми по модулю I), если они принадлежат одному классу вычетов, т.е. если a b I . Обозначают a b(mod I)

или просто a b(I ) . Во множестве смежных классов вводятся операции сложения и умножения. Если a I, b I – два смежных класса по идеалу I, то (a I ) (b I ) (a b) I , (a I )(b I ) ab I . Относительно введенных таким обра-

зом операций множество смежных классов образует кольцо,

которое называют факторкольцом (кольцом вычетов)

кольца K по идеалуI.

Если – кольцо целых чисел, то кольцо вычетов по модулю m конечно, содержит m классов, и каждый класс состоит из чисел, имеющиходинаковые остатки при делении на m,

т.е. m {0, 1, 2,..., m 1} , где через r обозначено множество

чисел, дающих при делении на m остаток r. Сложение и умножение классов вычетов по модулю m выполняется по

правилам: a b a b, a b a b для любых a, b . За-

метим, что сложение и умножение классов вычетов не зависит от выбора представителей этих классов. Если m – про-

стое число, то m является полем.

Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Ненулевой элемент a K называют обратимым, если существует эле-

мент a 1 K такой, что a 1a aa 1 1. В противном случае

7

элемент а называют необратимым. Множество обратимых элементов кольца K обозначают K*.

Ненулевые элементы a и b коммутативного кольца K называют делителями нуля, если их произведение равно нулю, т. е. ab 0 , но a 0, b 0 (если кольцо некоммута-

тивное, то говорят о левом или правом делителях нуля). Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля

называют областью целостности.

Пусть K – область целостности. Говорят, что элемент a K делится на элемент b K (b делитель a или a кратен b), если существует такой элемент c K , что a bc 1, обозначают a b . Элементы a и b коммутативного кольца K

называют ассоциированными в K, если a b и b a . Если a и b ассоциированные элементы, то b = ua, где u – обратимый элемент кольца K. Делители элемента а называют собственными, если они отличны от ассоциированных с а элементами кольца.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Коммутативное кольцо с единицей является областью целостности тогда и только тогда, когда в нем выполнен закон сокращения ( ab ac, a 0 b c ).

Элемент p K называют приводимым или составным,

если его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца, т. е. p ab , где a, b – необрати-

мые элементы. Если элемент p K нельзя представить в виде p ab , где a, b – необратимые элементы, то его называют

простым или неразложимым.

В поле Р каждый ненулевой элемент обратим и в Р нет простых элементов.

1 Если кольцо K некоммутативно, то говорят о левых и правых делителях элемента.

8

Область целостности K называют кольцом с однозначным разложением на простые множители (факториальным кольцом), если любой элемент a K (a 0) можно предста-

вить в виде a cp1 p2... pk , где c – обратимый элемент кольца, p1, p2 , ..., pk – простые элементы (не обязательно различные), причем если a dq1q2...qm – другое такое разложение элемента а на простые множители, то k m и qi si p i (i 1,2,..., k) , все si – обратимые элементы (при соответ-

ствующей нумерации элементов).

Заметим, что если р – простой элемент, то ассоциированный с р элемент up тоже простой.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.2. Пусть K – произвольная область целостности с разложением на простые множители. Разложение на множители в K однозначно (K – факториальное кольцо) тогда и только тогда, когда любой простой элемент p K ,

делящий произведение ab, делит хотя бы один из множителей a или b.

Теорема 1.3. Кольцо главных идеалов факториально.

Область целостности K называется евклидовым кольцом, если существует отображение h : K , удовлетворяющее условиям

(1) для любых a, b K (b 0) существуют q, r K такие, что a bq r и h(r) h(b) ;

(2) h(a) 0 тогда и только тогда, когда a 0 .

Можно показать, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Пусть А – область целостности. Разобьем декартово произведение множеств А А*, на классы, полагая, что пары (a, b) и (c, d) (b 0, d 0) принадлежат одному классу, если ad = bc.

9

Введенное таким образом бинарное отношение есть отношение эквивалентности и оно определяет разбиение множества

А А* на непересекающиеся классы эквивалентности. Пусть Q(A) – множество классов эквивалентности. На множестве Q(A) введем операции сложения и умножения:

пару (a, b)). Заметим, что введенные таким образом операции не зависят от выбора представителя класса.

Множество Q(A) с введенными по правилам (1.1) операциями образует поле. Это поле называют полем отношений или полем частных области целостности А. Элементы поля отношений часто называют дробями.

Пусть (K, , ) и (K , , ) – два кольца. Взаимно однозначное отображение кольца K на кольцо K , сохраняющее

(a b) (a) (b) , (a b) (a) (b) .

Поля Р и P называют изоморфными, если они изоморфны как кольца.

Поле P называют расширением поля Р, полученным присоединением элемента а, если P наименьшее поле, содержащее множество {P, a}. Обозначают такое расширение

обычно через Р(а).

В различных разделах математики широко используется кольцо функций.

Пусть Х – произвольное множество, K – произвольное

10