Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

лыми коэффициентами. Например, для n = 5 таким является

уравнение x5 4x 2 0 .

По формуле Кардано любое уравнение третьей степени разрешимо в радикалах второй и третьей степени. Поставим вопрос, для каких кубических уравнений существует решение, содержащее только квадратные корни? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 12.1. Уравнение третьей степени

x3 ax2 bx c 0 с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы один рациональный корень.

В геометрии доказывается, что корни уравнения

x3 ax2 bx c 0 с рациональными коэффициентами могут быть построены с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо в квадратных радикалах, т.е. решение этого уравнения сводится к решению цепочки квадратных уравнений.

Приведем примеры нескольких известных задач на построение, при решении которых применяются кубические уравнения.

Задача об удвоении куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

По условию задачи дан отрезок а= 1 – ребро данного куба. Тогда длина ребра искомого куба х удовлетворяет уравнению х3 = 2. Но это уравнение не имеет рациональных корней. Следовательно, ребро искомого куба нельзя построить с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла. Разделить данный угол на три равные части.

Пусть из точки О проведены два луча, образующие угол φ. Проведем дугу окружности радиуса 1 и отложим на луче

121

отрезок ОА, такой, что его длина а равна cos . Обратно, зная отрезок ОА

длины cos , легко построить угол φ.

шимо в квадратных радикалах. Например, при 3 уравне-

ние принимает вид x3 34 x 18 0 . Оно не имеет рациональ-

ных корней. Следовательно, корни этого уравнения невозможно построить циркулем и линейкой.

Задача о построении правильного семиугольника. По-

строить правильный семиугольник, вписанный в единичную окружность.

122

Корни уравнения z7 1 0 расположены в вершинах правильного семиугольника, вписанного в окружность радиуса 1. Один из корней этого уравнения равен 1, а остальные

удовлетворяют уравнению шестой степени z6 z5 z4

z3 z2 z 1 0 (*) (упражнение 5а). Докажем, что уравнение (*) неразрешимо в квадратных радикалах. Данное уравнение является возвратным. Разделив обе части уравнения на

z2 и сгруппировав слагаемые, получим уравнение

ет рациональных корней, и, значит, уравнение (*) не разрешимо в квадратных радикалах. Следовательно, корни этого уравнения нельзя построить циркулем и линейкой. Поэтому правильный семиугольник невозможно построить циркулем и линейкой.

Ответ на вопрос, при каких n можно с помощью циркуля и линейки построить правильный n-угольник дал в 1796 г. Гаусс. Он показал, что построение правильного n-угольника

возможно только тогда, когда n 2k p1 p2...pm , где k , p1, p2 ,..., pm – различные простые числа вида 2m 1 (m ) .

§ 13. Интерполяционные формулы

Пусть многочлен f (x), степень которого не больше n, задан таблично, причем известны его значения f (i ) (i 0,1, ..., n )

в (n + 1) точке ( f (x) [x], i ). Согласно следствию 4.5

два многочлена, степени которых не превосходят n, и значения которых совпадают в (n + 1) точке, равны. Следовательно, если существует многочлен, принимающий в данных

123

точках заданные значения, то он единственный. Таким является многочлен

Итак, существует многочлен степени меньше или равной n, который при заданных (n + 1) значениях переменной принимает заданные значения. Этот многочлен задается формулой (13.1). Формула (13.1) называется интерполяционной формулой Лагранжа1.

Многочлен, удовлетворяющий заданным условиям, можно получить также с помощью интерполяционной формулы Ньютона2.

где коэффициенты 0 , 1,..., n 1 определяются последова-

тельно при подстановке значений аргумента в формулу

(13.2).

Положим x 0 , получим 0 f (0 ) .

Вычтем полученное значение коэффициента из (13.2) и разделим на x 0 :

1 Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Петербургской АН (1776). Лагранж внес существенный вклад во многие области математики: вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение экстремумов, теорию чисел, алгебруи теорию вероятностей.

2 Исаак Ньютон (1643–1727) – английский физик, математик и астроном, член Лондонского королевского общества, один из основоположников современного естествознания. Ньютон сформулировал основные законы механики, разработал (независимо от Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления, вывел формулу для вычисления степеней двучлена (бином Ньютона). В 1687 г. вышел в свет его основной труд «Математические начала натуральной философии» – основа механики всех физических явлений.

124

f(0 ,..., k 1, x) f (0 ,..., k 2 , x) f (0 ,..., k 2 , k 1 ) .

xk 1

Тогда при x k из f ( 0 ,..., k 1, x) k k 1 (x k ) ...

шением функции f(x) в точках 0 , 1,..., k .

Итак, имеем последовательность разностныхотношений

125

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Упражнения

131. Найдите многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений

132. Докажите, что если многочлен, степень которого меньше n, принимает целые значения при n последовательных значениях переменной, то он принимает целые значения при всех целых значениях переменной. Верно ли, что такой многочлен имеет целые коэффициенты?

§ 14. Разложение многочлена по степеням двучлена

любого числа a можно записать разложение по степеням х– a

f (x) b0 (x a)n b1(x a)n 1 ... bn 1(x a) bn . (14.1)

Определим коэффициенты разложения. Для этого вычислим производные многочлена и подсчитаем их значения в точке а.

126

127

Коэффициенты разложения многочлена по степеням двучлена х– a можно также получить с помощью деления многочлена на двучлен с остатком.

Разделим f(x) на x a . Остаток будет равен bn , а неполное частное q1(x) . Разделим q1(x) на х– a. Остаток будет равен bn 1 , а неполное частное q2 (x) . Разделим q2 (x) на х– a. Остаток будет равен bn 2 , а неполное частное q3 (x) и т.д.

Подставляя последовательно значения частных в формулу деления с остатком, получим

f (x) (...((b0 (x a) b1)(x a) b2 )(x a)... bn 1) bn .

Раскрыв в этом выражении скобки, получим равенство

(9.1).

Решим пример 61, вычислив коэффициенты разложения по схеме Горнера.

Разделим многочлен f(x) на двучлен х– 2 с остатком. Составим таблицу.

128

Решение. 1способ. Если подставлять c = 2,1 в исходное выражение, то вычисления будут громоздкими. Поэтому воспользуемся разложением, полученным в предыдущем примере. Имеем

f(2,1) 2 0,15 15 0,14 47 0,13 82 0,12 79 0,1 16

0,00002 0,001 0,047 0,82 7,9 16 24,76852 .

2 способ. Выполним деление f(х) на х– 2,1 по схеме Горнера.

По теореме Безу остаток r = 24,76852 равен значению многочлена f(x) точке х= 2,1.

В математическом анализе формулу представления функции в виде многочлена называют формулой Тейлора. Отметим, что если функция y = f (x) (n + 1) раз дифференцируема, то ее можно представить приближенно с помощью формулы Тейлора

где через rn (x) обозначен остаточный член формулы.

Формулу Тейлора применяют для приближенного вычисления значений функции в окрестности точки а.

129

§15. Представление рациональной дроби

ввиде суммы простых дробей

Теория многочленов имеет многочисленные приложения в математическом анализе. Одним из важных приложений теории многочленов в анализе является представление рациональной дроби в виде суммы простых дробей.

Поле отношений (частных) (x) кольца [x] называют

полем рациональных дробей от переменной х. Элементы

этого поля записывают в виде f (x) ( g(x) 0 ). Напомним, g(x)

числитель и знаменатель умножить на один и тот же ненулевой многочлен или разделить на общий множитель. Рацио-

нальная дробь gf ((xx)) называется несократимой, если ее чис-

литель и знаменатель взаимно простые многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе дроби. Если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе дроби, то дробь называется неправильной. Заметим, что сумма, разность и произведение правильных дробей – правильная дробь.

Теорема 15.1. Любую неправильную несократимую рациональную дробь можно представить и притом единственным образом в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

130