Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

суммой и поточечным произведением ( , – операции сложения и умножения в кольце K)6

( f g)(x) f (x) g(x), ( f g)(x) f (x) g(x).

Непосредственная проверка показывает, что K X является кольцом.

§ 2. Основные понятия теории многочленов

Рассмотрим множество М последовательностей элементов

таких, что лишь конечное число элементов последовательности отлично от нуля.

Определим на множестве М операции сложения и умно-

i j k

Множество М с введенными выше операциями сложения

иумноженияобразует коммутативное кольцо с единицей. Последовательности вида (a,0,0,...) образуют подкольцо

кольца М, изоморфное области целостности K, поэтому полагаем (a,0,0,...) a . Таким образом, K M .

ля элемент последовательности f (a0 , a1, a2 ,..., an ,...) . Так

11

Представление последовательности f в виде (2.4) однозначно.

Введенное таким образом кольцо, называется кольцом многочленов над областью целостности K и обозначается K[x], а его элементы называются многочленами1. Числа

a0, a1,...,an K называются коэффициентами многочлена. Заметим, что кольцо многочленов является подкольцом в кольце функций K X .

b2 x2 ... bm xm – два многочлена и пусть для определенно-

сти m n . Считаем, что все коэффициенты многочлена g(x) с номерами большими m, если они существуют, равны 0. Для такой формы записи многочленов операции над многочленами записываются в виде

В силу коммутативности операции сложения в K многочлен часто удобно записывать по убывающим степеням х, т.е. в виде

1 В дальнейшем, если это специально не оговорено, будем считать K областью целостности, в частности – полем.

12

где n – целое неотрицательное число, a0, a1,..., an 1, an – элементы кольца K, причем a0 0 . Выражение (2.7) может со-

стоять и из одного слагаемого – такой многочлен называется

одночленом.

многочлен и a0 0 . Число n называется степенью много-

члена f (x). Чтобы подчеркнуть, что степень многочлена f (x) равна n вместо f (x) иногда пишут fn(x). Степень многочлена f (x) обозначают deg(f (x)) или просто deg f (x) (от английского

слова «degree»). Например, если f (x) x9 4x6 5x , то

deg f (x) = 9.

Отметим, что многочлены нулевой степени – это элементы кольца K, отличные от нуля. Будем также считать многочленом и нуль кольца K. Такой многочлен называется нулевым многочленом или просто нулем. Нулевому многочлену не приписывается никакой степени (иногда удобно считать, что степень нулевого многочлена равна ).

Коэффициент a0 – называют старшим коэффициентом

многочлена f (x), а сам одночлен a0xn – его старшим членом. Коэффициент an называется свободным членом. Мно-

гочлен, старший коэффициент которого равен 1, называется

нормированным (нормализованным, унитарным, приведенным).

Если кольцо K является подкольцом кольца L, или что то же самое, кольцо L является расширением кольца K, то всякий многочлен с коэффициентами из K можно рассматривать как многочлен с коэффициентами из L. При этом действия с многочленами с коэффициентами из K в кольце L[x] приводят к тем же результатам, что и действия в кольце K[x]. Это означает, что кольцо K[x] является подкольцом кольца L[x].

13

Поэтому утверждения, доказанные для кольца L[x], применимы и для кольца K[x]. Для приложений теории многочленов наиболее важен случай, когда K[x] [x] (кольцо мно-

гочленов над полем действительных чисел), L[x] [x]

(кольцо многочленов над полем комплексных чисел). Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Теорема 2.2. Кольцо многочленов Р[х] над полем Р является кольцом главных идеалов.

Теорема 2.3. Если Р – поле, то кольцо многочленов Р[х] факториально.

Теорема 2.4. В кольце многочленов K[x] над областью целостности K множество обратимых элементов совпадает с множеством обратимых элементов кольца K.

Отметим два свойства операций над многочленами. Если f (x) и g(x) – два многочлена с коэффициентами из области целостности, то:

1.Степень произведения многочленов f (x) и g(x) равна сумме степеней сомножителей:

deg( f (x) g(x)) deg f (x) deg g(x) .

2.Степень суммы многочленов f (x) и g(x) не превосходит большей из степеней слагаемых:

deg( f (x) g(x)) max{deg f (x),deg g(x)}.

Рассмотрим понятие равенства многочленов.

Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если их степени совпадают и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны. Пусть

14

и многочлены f (x) и g(x) равны, тогда m n и a0 b0 , a1 b1, a2 b2 ,..., an bn . Такое равенство многочленов назы-

вается равенством в алгебраическом смысле.

Однако многочлен можно рассматривать как функцию,

где выражение в правой части понимается как результат операций в области целостности K. Полученный при этом эле-

мент f (x0 ) K называется значением многочлена f(x) в

точке x0 . Таким образом, каждому элементу x0 K ставится в соответствие элемент f (x0 ) K и тем самым определя-

ется функция, заданная на K и принимающая значения в K. Сложение и умножение многочленов согласуются с операциями над функциями.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным1.

Так как операции в K[х] удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, то многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных.

Можно говорить о равенстве двух многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции называются равными, если они имеют одну и ту же область определе-

1 В кольце вычетов Z p по простомумодулю р, которое является полем, а значит, областью целостности, согласно малой теореме Ферма многочлены xp и х определяют однуи туже функцию.

15

ния и каждому элементу из области определения обе функции ставят в соответствие один и тот же элемент. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем называть

равенством в функциональном смысле. Если многочлены f(x) и g(x) равны, то для любого элемента c K имеем f (c) g(c) .

Понятно, что если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они равны в функциональном смысле. Однако в общем случае из равенства многочленов в функциональном смысле не следует их равенство в алгебраическом смысле. Справедлива теорема.

Теорема 2.5. Если кольцо K бесконечно, то равенство функций, определяемых двумя многочленами из K[x], влечет равенство самих многочленов.

Эта теорема означает, что если кольцо K бесконечно, то понятия равенства многочленов над этим кольцом в алгебраическом и функциональном смысле эквивалентны.

Для конечных колец теорема 2.5 неверна. Однако при дополнительных предположениях о кольце K можно сформулировать утверждение, аналогичное этой теореме.

Пусть K p – кольцо вычетов по простому модулю р. Два многочлена f(x) и g(x) над кольцом p называются эквивалентными, если в кольце p[x] они определяют одну и

ту же функцию.

Теорема 2.6. Если многочлены f(x) и g(x) над кольцом p ,

степени которых на превосходят р– 1, эквивалентны, то они равны (в алгебраическом смысле).

Отметим два простых равенства, связанных со значениями многочлена и полезных для решения задач: свободный член многочлена равен его значению в точке 0, а сумма коэффициентов многочлена равна его значению в точке 1, т.е.

16

f (0) an ; f (1) a0 a1 ... an 1 an .

Пример 1. Найдите свободный член и сумму коэффициентов многочлена f (x) (4x2 5x 1)1000 (7x2 5x 1)1003 .

Решение. После раскрытия скобок и приведения подобных чле-

Пример 2. Каждый из многочленов f(x) и g(x) является суммой квадратов двух многочленов. Докажите, что произведение f (x)g(x) также обладает этим свойством.

Решение. Пусть f (x) p2 (x) q2 (x), g(x) u2 (x) v2 (x) . Тогда

f(x)g(x) p2 (x)u2 (x) p2 (x)v2 (x) q2 (x)u2 (x) q2 (x)v2 (x)

p2 (x)u2 (x) p2 (x)v2 (x) q2 (x)u2 (x) q2 (x)v2 (x) 2 p(x)q(x)u(x)v(x)

–2 p(x)q(x)u(x)v(x) ( p(x)u(x) q(x)v(x))2 ( p(x)v(x) q(x)u(x))2 .

Элемент x0 кольца K называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена в точке x0 равно нулю, т.е.

f (x0 ) 0 .

Понятие корня является центральным в теории многочленов. С этим понятием тесно связаны теория делимости многочленов, разложение многочленов на множители, решение различных алгебраических уравнений.

Пример 3. В многочлене f (x) x4 5x3 ax2 3x 14 один из

17

Так как a и b – целые числа, то равенство выполняется только тогда, когда и правая и левая его части равны нулю. Получаем систему уравнений

7a 2b 53 0, 4a b 30 0.

Пример 5. При каких значениях неизвестных коэффициентов справедливо равенство

(x2 2x a)(x2 bx 2) x4 cx3 9x2 dx 10 .

Решение. Раскроем скобки x4 (2 b)x3 (a 2b 2)x2

(ab 4)x 2a x4 cx3 9x2 dx 10 , приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и запишем систему

Пример 6. Дан многочлен f (x) x4 6x3 5x2 12x 4 . До-

кажите, что он является квадратом некоторого многочлена. Решение. Покажем, что существует многочлен g(x) такой, что

g2 (x) f (x) . Многочлен g(x) будем искать в виде многочлена

18

Пример 7. Найдите нормированный многочлен третьей степени, удовлетворяющий условиям: f(–3) = 26, f(1) = 2, f(2) = 11.

Решение. Будем искать f(x) в виде f (x) x3 ax2 bx c . Для определения неизвестных коэффициентов подсчитаем значения

19

Упражнения

1. Коэффициенты многочлена f (x) – натуральные числа, меньшие 10. Значение многочлена в точке 10 равно

7328495607. Найдите f (x).

2.Найдите многочлен, принимающий в точках 1, 3, 4, 7, 9 значения, равные нулю.

3.Найдите такой многочлен f (x), что

xf (x 1) (x 29) f (x) .

4.Найдите степень многочлена

(x5 2x4 3x3 x2 4)( x2 2x 7) (x3 21)( x4 1) .

5.Докажите тождества:

a)(x 1)(xn 1 xn 2 ... x 1) xn 1 ;

б) (x 1)(x2n x2n 1 x2n 2 ... x 1) x2n 1 1.

6. Докажите, что если все коэффициенты многочлена – целые числа, то при всяком целом значении аргумента значение многочлена есть целое число. Верно ли обратное утверждение?

7.Приведите примеры многочленов, таких что:

a)степень суммы многочленов f (x) + g(x) равна большей

из степеней слагаемых;

б) степень суммы многочленов f (x) + g(x) меньше степени каждого из слагаемых.

8. а) Докажите, что если многочлен f(x) над полем является четной функцией, то он не содержит одночленов нечетной степени.

б) Докажите, что если многочлен f (x) над полем является нечетной функцией, то он не содержит одночленов четной степени.

9. Найдите свободные члены и суммы коэффициентов многочленов:

а) (x3 4x2 5x 1)17 (2x4 6x3 7x2 x 1)21 ;

20