Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

Предположим, что многочлен f(x) имеет целый корень m. Тогда f(m) – 1 = – 1 = (m – a)(m – b)(m – c) q(m) и множители m – a, m – b, m – c различны. Если число (–1) записано в виде произведения четырех целых чисел, то это могут быть только числа 1, 1, 1, –1 или – 1, –1, –1, 1. Получаем, что среди множителей m – a, m – b, m – c есть, по крайней мере, два равных, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и f(x) не имеет це-

лых корней. Пример 70. Докажите, что не существует многочлена f(x) с це-

венства делится на 17 – 8 = 9, а правая часть на 9 не делится. Полу-

при трех последовательных целых значениях х три последовательных целых значения (в том же порядке). Найдите эти значения.

Решение. Обозначим три последовательных целых значения х через k – 1, k, k + 1, а соответствующие значения многочлена f(x) – через n – 1, n, n + 1. Получим систему уравнений

(k 1)3 18(k 1)2 a(k 1) 321 n 1,

k3 18k2 ak 321 n,

(k 1)3 18(k 1)2 a(k 1) 321 n 1.

Чтобы исключить из системы a и n, сложим первое и третье уравнения и вычтем удвоенное второе. После упрощения получим

6k – 36 = 0 или k = 6.

Подставим найденное значение k в систему. Она примет вид

141

125 18 25 5a 321 n 1,216 18 36 6a 321 n,

343 18 49 7a 321 n 1.

Вычитая из второго уравнения первое, получим, что а= 108. Подставив а вовторое уравнение, найдем n = 360. Легко убедиться, что найденное значение удовлетворяет первому и третьему урав-

нению. Итак, искомые значения многочлена 536, 537, 538. Пример 72. Найдите все положительные корни уравнения

nxn 1 (n 1)xn 1 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде nxn 1 (n 1)xn 1

nxn (x 1) (xn 1) (x 1)(nxn xn 1 xn 2 ... 1) 0 . Очевидно,

что х= 1 – корень уравнения. Других положительных корней уравнение не имеет. Действительно, если х> 1, то xm xk при m > k и поэтому nxn xn 1 xn 2 ... 1 nxn nxn 1 0 . Если же 0 < х< 1,

то xm xk при m > k и nxn xn 1 xn 2 ... 1 nxn nxn 1 0 .

Пример 73. Студент записал в тетради многочлен, все корни которого положительные числа. Однако из-за своей невнимательности он пропустил часть членов многочлена, и поэтому было

написано f (x) x11 11x10 ... 1. Помогите студенту, исхо-

пропущено

дя из этих условий, найти корни многочлена.

Решение. Пусть x1, x2 , ..., x11 – корни многочлена (каждый ко-

рень записываем столько раз, какова его кратность). Тогда по теореме Виета

Так как по условию x1, x2 , ..., x11 – положительные числа, то к

ним можно применить неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом, согласно которому

x1 x2 ... x11 11 11 x1 x2 ... x11 , причем равенство достигается только в том случае, когда x1 x2 ... x11 .

142

дим над полем , если он не имеет целых корней и не делится ни

на один из многочленов вида x2 cm am2 x m , где m – делитель d m2

числа d.

Решение. Если многочлен четвертой степени с целыми коэффициентами, не имеющий рациональных корней приводим, то его можно разложить только в произведение двух квадратных трех-

членов с целыми коэффициентами x4 ax3 bx2 cx d

(x2 x m)(x2 x n) .

Очевидно, что число m является делителем d: mn d . Если m n , то для нахождения и приравняв коэффициенты при x3

Упражнения

137. а) Докажите, что если f(x) – многочлен с целыми коэффициентами, то для любых двух различных целых чисел a и b разность f(a) – f(b) делится на a – b.

143

б) Существует ли многочлен f(x) с целыми коэффициен-

тами, такой, что f(0) = 11, f(1) = 145, f(2) = 2016?

138. Можно ли многочлен f (x) 7x126 5x92 2x34 пред-

ставить в виде суммы квадратов двух многочленов с целыми коэффициентами?

139. Докажите, что хотя бы одно из уравнений ax2 2bx c 0, bx2 2cx a 0 или cx2 2ax b 0 имеет действительные корни ( a,b, c ).

140. Докажите, что два противоположных числа являются корнями многочлена x3 ax2 bx c [x] тогда и только

тогда, когда b < 0 и ab = c.

141. Даны многочлены f1 (x) и f2 (x) с целыми коэффициентами. Их произведение есть многочлен, у которого все коэффициенты делятся на 7. Докажите, что хотя бы у одного многочлена все коэффициенты делятся на 7.

143.

а) Найдите все целые значения а такие, что квадратный трехчлен (x a)(x 6) 1 (x b)(x c) , где b и c – целые

числа.

б) Найдите все целые значения а и b такие, что квадрат-

ный трехчлен (x a)(x b) 2 (x c)(x d ) , где c и d – це-

лые числа.

144. Докажите, что если многочлен f(x) с целыми коэф-

фициентами принимает значения 1 при двух различных целых значениях х1 и х2, то он неприводим над полем рацио-

нальных чисел , если | x2 x1 | 2 . Если же | x2 x1 | 2 , то многочлен имеет единственный рациональный корень и он

равен 0,5(x1 x2 ) .

144

145. Докажите, что если многочлен f (x) [x] неприводим над полем , то он не имеет кратных комплексных кор-

неприводим над полем , если у него нет целых корней и он не делится ни на один из многочленов с целыми коэффици-

ентами вида x2 am3 cm2 dn be x m , где m – делитель m3 n2 ae dm

числа e, n me .

147. Разложите на множители многочлены или докажите их неприводимость над полем (использовать пример 74 и

упражнение 145):

а) x4 3x3 2x2 3x 9 ; б) x4 3x3 2x2 2x 6 ;

в) x 5 x4 4x3 9x2 6x 6 ;

145

Ответы

3. f (x) x(x 1)(x 2)...(x 27)(x 28) ;

11в. a 4, b 3 , c 7, d 18 ;

16б. 3x3 6 x2 5x 2 ; 17б. 4x5 4x4 x3 6x2 5x 4 ;

18а. x5 x4 ; б. 2x6 x4 4x3 6x2 2 x 5 ;

22б. x3 5x 3 ;

23в. q 3x 4, r 9x2 8x 5 ;

25а. a1 1, b1 1 и a2 4, b2 2 ; 27. 3;

32г. 86;

33б. 349;

34г. 1;

39. 2x 5 ;

46. a 2, b 1 ;

54а. q x3 9x2 12x 39, r 3 ;

55а. q x3 2ix2 5ix 8 i, r 3 17i ;

60. 2;

63в. m = –36, m 40027 ; 64а. m 32 16i ;

n f (x) f (x)(x x0 ) , где n = deg f (x). Продифференцировав это равен-

ство(n – 1) раз, получим, что f (x) a0 (x x0 )n . Обратноеочевидно.

72. Если f1 (x) f2 (x0) – f2 (x) f1 (x0) не равно тождественно нулю, то можно считать, что f1 (x0) 0. х0 – корень дробно-линейной функции

f2 (x) f2 (x0 ) и ее производной. f1(x) f1(x0 )

146

73г. x2 x 2 ; д. x2 x 1 ; е. x2 3 ; 74. x2 1;

77б. d x3 1, u x 1, v x2 2x ;

78а. 0; б. 243; в. 252; г. –7; д. –2704; 79а. 1; –2; б. –2; в. 0; –2; г. –1; д. –1;

80а. 3y6 12y4 9y2 36y 36 0 ; б. 41y4 y2 9 = 0; в. 5y5 7 y4 6y3 2y2 y 1 0 ;

81а. x1 1, y1 i; x2 1, y2 i; x3 1,5, y3 2 ; б. x 1, y 1; в. x1 1, y1 1; x2 3,

y2 0; x3 2, y3 2; x4 2, y4 1; г. x1 1, y1 1; x2 1;

е. x3,4 0,5( 3 i 11), y3,4 0,5( 3 i 11); x1 2, y1 0; x2 0, y2 2 ;

83а. x 1, x6 x5 4x4 5x3 2x2 2x 1 ;

б. (x 1)2 , x6 x5 x4 4x3 x2 5x 3 ; в. x2 1, x6 2x5 8x4 x2 2x 8 ;

×(3x 2)(x2 2x 2) ;

94.2;

102а. x2 pq 1x q 1 0 ;

в. x2 ( p3 p2 3 pq 2q)x ( p2 2q)( p3 3 pq) 0 ;

102. а = 2; а= 2,2; 108в. 1619 ; г. 47827 ;

147

110а. 10;

111а. – 4 – 4i; б. 0,52 + 0,36i; в. –7 + i; г. 0,24 – 0,68i;

122. а = 15, b = –19;

124.m = 21;

125.m = 216;

ж. (x2 4x 5)(x 1)(x 3) ;

128е. x2 x 6 ; ж. x + 3; x 2

129.Числа m, n, p имеют одинаковую четность;

130.Числа m, n, p имеют одинаковую четность (Указание: пред-

148

Литература

1.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М. : Наука, 1977.

2.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М. : Наука, 1984. 416 с.

3.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М. : Высшая школа, 1979. 512 с.

4.Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. М. : Наука. 1980.

5.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб. : Лань, Физматкнига,

2007. 431 с.

6.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М. : Наука, Главная редакция фи- зико-математической литературы, 1979. 648 с.

7.ВинбергЭ.Б. Алгебра многочленов. М. : Просвещение, 1980. 176 с.

8.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М. : Просвещение, 1966.

9.Ларин С.В. Алгебра: многочлены : учеб. пособие. Красноярск : Красноярский гос. пед. ун-т, 2007. 127 с.

10.Прасолов В.В. Многочлены. 3-е изд., испр. М. : МЦНМО, 2003. 336 с.

11.Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга

для учащихся 10–11-х классов общеобразовательных учреждений. М. : Просвещение, 1996.

12.Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А., Винберг Э.Б. Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. М. : Наука, 1987. 351 с.

13.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М. : Просвещение. 1993. 288 с.

14.Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. Избранные вопро-

сы математики. Факультативный курс. М. : Просвещение. 1980.

15.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. СПб. : Лань, Физматкнига, 2007. 288 с.

16.Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV : учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М. : Просвещение, 1985. 127с.

17.Cahen P.J., Chabert J.L. Integer-valued polynomials. AMS, 1997.

149