Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

ление единственно с точностью до порядка сомножителей и элементов поля Р.

Представление многочлена в виде (9.1) называется раз-

ложением многочлена на неприводимые множители.

Если f (x) q1(x) q2 (x) ... qs (x) – другое разложение многочлена f(x) на неприводимые множители, то s = m и при соответствующей нумерации сомножителей справедливы ра-

Разложение многочлена на нормированные неприводимые множители в виде (9.2) единственно с точностью до порядка сомножителей.

Число k называется кратностью неприводимого мно-

жителя (делителя) p(x), если f(x) делится на pk (x) , но не

делится на pk 1 (x) .

Используя понятие кратности неприводимого делителя, многочлен f(x) можно представить виде

приводимые многочлены.

При нахождении кратности неприводимого делителя можно использовать следующие утверждения.

Теорема 9.2. Если p(x) – неприводимый делитель кратно-

сти k 1 многочлена f(x), то p(x) – неприводимый делитель кратности k – 1 производной многочлена fʹ(x).

71

Следствие 9.3. Неприводимый делитель p(x) кратности k ≥1 многочлена f(x) является делителем всех его производных до k – 1 порядка включительно, и не является делителем производной порядка k.

Естественно поставить вопрос: какие многочлены являются неприводимыми? Ответ на этот вопрос зависит от поля Р.

Прежде всего, любой многочлен первой степени неприводим над любым полем.

По теореме Безу многочлен, имеющий корень x0 P , делится на x x0 . Поэтому всякий многочлен степени больше 1,

имеющий корень в Р, приводим над полем Р. В § 11 будет показано, что любой многочлен, степень которого больше 1, приводим над полем комплексных чисел. Однако существуют многочлены второй степени, неприводимые над полем дей-

ствительных чисел. Например, многочлен x2 4 неприводим в кольце [x] . Можно доказать, что все многочлены третьей

степени приводимы в кольце [x] . В кольце [x] (многочлены над полем рациональных чисел) неприводим многочлен x2 7 , так как его корни не являются рациональными числами. Заметим, что многочлен x4 2x2 1 (x2 1)2 , не имеющий действительных корней, приводим в кольце [x] .

Если f (x) a p1k1 (x) p2k2 (x) ... pmkm (x) , то любой его де-

Зная разложение многочленов на неприводимые множители, можно легко найти их наибольший общий делитель и наименьшееобщее кратное. Пусть

f (x) a p1k1 (x) p2k2 (x) ... pmkm (x) , g(x) b p1l1 (x) p2l2 (x) ... pmlm (x)

( a,b P, ab 0 ). Тогда имеем наибольший общий делитель

72

c, d P . Если многочлен pi (x) не является делителем f(x)

или g(x), то считаем, что его кратность в разложении этого многочлена на неприводимые множители равна 0.

Пример 36. Найдите наибольший общий делитель и наимень-

Поставим вопросы: как определить имеет ли многочлен f(x) кратные неприводимые множители и как найти все неприводимые множители многочлена?

Если многочлен имеет кратные неприводимые множители, то он не является взаимно простым со своей производной и по теореме 8.1 результант R( f , f ) 0 .

Используя результант, можно ввести понятие дискриминанта.

Справедливо следующее утверждение.

73

Теорема 9.4. Многочлен f(x) имеет кратный неприводимый множитель тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Для многочлена второй степени a0 x2 a1x a2 дискриминант имеет вид

Это выражение совпадает с выражением, которое в школьном курсе алгебры называют дискриминантом квадратного уравнения. Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то многочлен представим в виде

Подробней дискриминант кубического уравнения будет рассмотрен в §12.

Пусть задано разложение многочлена f(x) над полем Р на неприводимые множители

По теореме 9.2 кратный множитель piki (x) является мно-

жителем кратности ki – 1 производной многочлена. Из этого вытекает, что наибольший общий делитель многочлена f(x) и его производной

74

d(x) – это все кратные неприводимые множители многочлена f(x). Нахождение наибольшего общего делителя многочленов

f(x) и f (x) называется выделением кратных неприводимых множителей многочлена f(x).

держит все неприводимые множители f(x). Таким способом можно найти все неприводимые множители многочлена f(x).

Пример 37. Найдите неприводимые множители многочлена

клида, найдем наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x)

члена f(x) и он представим в виде f (x) (x2 x 1)2 (x 1)3 q(x) . Для нахождения некратных неприводимых множителей разделим

Упражнения

82. В кольце [x] найдите наибольший общий делитель и наименьшееобщее кратное многочленов, если

75

83. В кольце [x] найдите наибольший общий делитель и наименьшееобщее кратное многочленов

а) f (x) x4 x3 3x2 4x 1 и g(x) x3 x2 x 1;

б) f (x) x5 2x4 3x3 7x2 8x 3 и g(x) x3 x2 x 1; в) f (x) x5 x4 9x3 9x2 10x 8 и g(x) x3 x2 x 1; г) f (x) x5 2x4 5x3 5x2 4x 3 и g(x) x3 x2 x 1. 84. В кольце [x] найдите наибольший общий делитель и

наименьшееобщее кратное многочленов

общий делитель и наименьшее общее кратное в кольце [x] .

§ 10. Многочлены с целыми коэффициентами

Наиболее важными для практических приложений являются кольца многочленов над числовыми полями, а именно над полями комплексных, действительных и рациональных чисел. Изучению таких колец многочленов посвящены этот и последующие параграфы.

В этом параграфе будем рассматривать многочлены над полем рациональных чисел, т.е. многочлены, все коэффициенты которых рациональные числа. Особую роль при изучении таких многочленов играют многочлены с целыми коэффициентами.

Заметим, что если у многочлена f (x) [x] не все коэф-

фициенты целые, то приводя все его коэффициенты к общему знаменателю и умножая f(x) на этот знаменатель, получим многочлен k f(x) с целыми коэффициентами.

76

Поставим вопрос о приводимости многочлена f(x) с целыми коэффициентами.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.1. Многочлен с целыми коэффициентами неприводимый над кольцом целых чисел, является неприводимым над полем рациональных чисел.

При доказательстве теоремы используется понятие примитивного многочлена.

коэффициентами называется примитивным, если его коэффициенты в совокупности являются взаимно простыми числами, т.е. наибольший общий делитель всех коэффициентов равен 1.

Если (x) [x] – произвольный многочлен с рациональ-

ными коэффициентами, то φ(х) представим в виде произведения несократимой дроби и примитивного многочлена, т.е.

(x) ba f (x) , где f(x) – примитивный многочлен, причем это

представление единственно (с точностью до знака).

Для примитивных многочленов с целыми коэффициентами справедлива следующая лемма.

Лемма 10.2 (Гаусса1). Произведение двух примитивных многочленов с целыми коэффициентами – примитивный многочлен.

1 Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) немецкий математик, астроном, геодезист, член Геттингенской академии наук, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Отличительной чертой исследований Гаусса является связь между теоретической и прикладной математикой. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории электричества и магнетизма, геодезии, теоретической астрономии. Работа Гаусса «Ариф-

77

Предположим, что произведение f(x)g(x) не примитивно. Значит, существует простое число р такое, что все коэффи-

Многочлены f(x) и g(x) примитивные, поэтому все коэффициенты этих многочленов не могут делиться на р. Пусть ai – первый коэффициент многочлена f(x), который не делится на р, bj – первый коэффициент многочлена g(x), который

не делится на р. Рассмотрим коэффициент при x(k l ) (i j) ci j aibj ai 1bj 1 ai 2bj 2 ... ai 1bj 1 ai 2bj 2 ... .

Левая часть этого выражения делится на р, в правой части все слагаемые, кроме первого, также делятся на р. Следовательно, произведение aibj делится на р. В силу простоты числа р один из сомножителей делится на р. Это противоречит выбору коэффициентов ai и bj. Получили противоречие. Сле-

степени n с целыми коэффициентами приводимый над полем

рациональных чисел, т.е. f (x) 1(x) 2 (x) , где i (x) – многочлены с рациональными коэффициентами и их степени

метические исследования» (1801) по высшей алгебре и теории чисел во многом предопределила развитие этих дисциплин.

78

В левой части стоит многочлен с целыми коэффициентами, поэтому a1a2 должно делиться на b1b2 (в силу примитив-

ности f1 (x) и f2 (x)). Но так как a1 и a2 – несократимые дро- b1 b2

одному из многочленов, получим, что многочлен f(x) приводим над кольцом целых чисел. Получили противоречие. Сле-

Из этой теоремы следует, что вопрос о приводимости многочленов над полем рациональных чисел можно свести к исследованию разложимости многочленов с целыми коэффициентами на множители, все коэффициенты которых целые.

Наиболее простым достаточным признаком неприводимости многочлена над полем является признак Эйзенштейна.

Теорема 10.3 (признак Эйзенштейна)1. Пусть

f (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an – многочлен с целыми коэффициентами и существует такое простое число р, что:

1)старший коэффициент a0 не делится на р;

2)все остальные коэффициенты делятся на р;

3)свободный член делится на р, но не делится на p2 .

Тогда многочлен f(x) неприводим над полем рациональных чисел.

1 Фердинанд Макс Эйзенштейн (1823–1852) – немецкий математик. Основные работы в области алгебры (в частности критерий неприводимости), теории чисел (кубический и биквадратический законы взаимности) и эллиптических функций.

79

Доказательство. Если многочлен f(x) с целыми коэффициентами приводим над полем , то он разлагается в произ-

ведение двух многочленов меньших степеней с целыми ко-

эффициентами f (x) (b0 xk b1xk 1 ... bk )(c0 xs c1xs 1 ...

cs ) , где 1 < k < n, 1 < l < n, k + s = n. Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

Так как an делится на р и число р простое, то из первого равенства системы следует, что один из коэффициентов bk или cl делится на р. Оба они не могут делиться на р, так как по условию an не делится на p2 .

Пусть, например bk делится на р, тогда cl взаимно просто

с р. Во втором равенстве левая часть и первое слагаемое в правой части делятся на р, поэтому на р делится произведе-

ние bk l cl . Так как cl взаимно просто с р, то на р делится bk 1 . Рассматривая следующие уравнения системы, получим, что на р делятся все коэффициенты bk 2 ,...,b0 . Тогда из последнего равенства вытекает, что на р делится a0 . Это про-

тиворечит условию теоремы. Наше предположение неверно и многочлен f(x) неприводим. ♦

Признак Эйзенштейна является достаточным условием неприводимости многочлена над полем , но не является

необходимым. Например, многочлены f1(x) x2 4x 3 и f2 (x) x2 4x 5 не удовлетворяют условиям признака Эй-

80