Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

Доказательство. Пусть дробь gf ((xx)) неправильная. Раз-

делив числитель дроби на ее знаменатель с остатком, полу-

виде суммы многочлена и правильной дроби единственно. Предположим противное. Пусть имеет место равенство

В левой части этого равенства стоит многочлен, а в правой –

правильная дробь. Значит, q(x) q(x) 0 и r (x) r(x) 0 . g(x) g(x)

Рациональная дробь gf ((xx)) называется простой, если ее

знаменатель – неприводимый многочлен или его степень. Справедлива следующая теорема.

Теорема 15.2. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена, причем единственным образом, в виде суммы конечного числа простых дробей.

Так как в кольце многочленов над полем неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй

131

степени с отрицательными дискриминантами, то в поле (x)

существует четыре типа простых дробей с действительными коэффициентами:

Разложение дроби в сумму дробей, знаменатели которых содержат только линейные выражения или квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней, называется раз-

эффициент при старшей степени отличен от 1, то разделив на этот коэффициент числитель и знаменатель, получим, что в знаменателе стоит нормированный многочлен).

Согласно следствию 11.11 любой многочлен с действительными коэффициентами степени n 1 единственным образом разлагается в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов с действительными коэффициентами, не имеющих действительных корней, т.е.

Если x a – простой корень многочлена g(x), то в разложении правильной дроби gf ((xx)) на простые ему соответству-

ет одна простая дробь первого типа x Aa .

132

Если x a – корень кратности k ( k 2 ) многочлена g(x), то ему в разложении правильной рациональной дроби на простые соответствует сумма k простых дробей первого и

Если множитель x2 px q в разложении g(x) на множители имеет первую степень, то ему в разложении соответ-

ствует одна дробь третьего типа 2Mx N . x px q

Если множитель x2 px q имеет кратность l ( l 2 ), то ему в разложении дроби на простые соответствует сумма l

Чтобы разложить правильную рациональную дробь на простые, нужно представить ее в виде суммы простых дробей с неизвестными коэффициентами, привести дроби к общему знаменателю и, применив свойства многочленов найти неизвестные коэффициенты.

x2 18x 5

Пример 63. Представьте дробь (x 1)(x 2)(x 3) в виде сум-

мы простых дробей.

Решение. Данная дробь является правильной. Ее знаменатель разложен на линейные множители, причем все они имеют первую степень. Следовательно, заданная дробь представима в виде суммы трех простых дробей первого типа

где А, В, С – неизвестные коэффициенты.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Приравняв полученное выражение левой части, получим

133

Из равенства дробей с равными знаменателями следует равенство их числителей. Используя это условие, получаем

A(x2 x 6) B(x2 4x 3) C(x2 x 2) x2 18x 5 .

Вычисление коэффициентов можно осуществить двумя способами. Один из них основан на понятии равенства многочленов в алгебраическом смысле, другой – на понятии равенства многочленов в функциональном смысле.

1. Применим понятие равенства многочленов в алгебраическом смысле. Раскроем скобки, соберем и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

2. Найдем коэффициенты другим способом, используя понятие равенства многочленов в функциональном смысле. Переменной х будем придавать значения, при которых часть слагаемых в левой части равенства обращается в ноль, и приравнивать значения многочленов, стоящих в правой и левой частях равенства.

Пусть x = 1. Тогда 6A 0B 0C 12 , откуда A = 2. Пусть x = –2. Тогда 0A 15B 0C 45 , откуда B = 3. Пусть x = 3. Тогда 0A 0B 10C 40 , откуда C = –4. Итак, искомое разложение имеет вид

суммы многочлена и простых дробей.

Решение. Данная дробь не является правильной. Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.

134

нии дроби на простые ему будет соответствовать два слагаемых, x 2 – простой корень знаменателя, поэтому разложении пра-

вильной дроби на простые ему будет соответствовать одно слагаемое. Запишем разложение правильной дроби на простые с неопределенными коэффициентами

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю, полу-

мы простых дробей.

Решение. Данная дробь является правильной, х= 3 – простой корень знаменателя, и в разложении данной дроби на простые ему будет соответствовать одна дробь первого типа. Квадратный трех-

135

член x2 2x 5 действительных корней не имеет, поэтому ему будет соответствовать дробь третьего типа. Запишем разложение дроби на простые с неопределенными коэффициентами

Отсюда следует A(x2 2x 5) (Mx N )(x 3) 11x 7 .

Раскроем скобки, соберем и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

(A M )x2 (2A 3M N )x (5A 3N ) 11x 7 .

простых дробей.

Решение. Данная дробь является правильной. Знаменатель дроби не имеет действительных корней, поэтому его представим как

разложение дроби на простые с неопределенными коэффициента-

136

часть равенства к общему знаменателю и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

Решив ее методом Гаусса, получим A 3, B 1, C 2, D 5 . Итак, искомое разложение имеет вид

Рассмотрим еще раз правильную рациональную дробь, знаменатель которой раскладывается в произведение линей-

различны. Для вычисления коэффициентов разложения такой дроби в сумму простых дробей существует интересная формула. Пусть разложение имеет вид

Умножим это равенство на знаменатель:

f (x) A1(x a2 )...(x an ) A2 (x a1)(x a3 )...(x an )

... An (x a1)...(x an 1) .

Применим определение равенства многочленов в функциональном смысле. Полагая последовательно x a1 ,

x a2 , ..., x an , получим

f (an ) An (an a1)...(an an 1).

137

Множители в правой части равенств отличны от нуля и

Действительно,

g (x) (x a2 )(x a3 )...(x an ) (x a1)(x a3 )...(x an )

(x a1)(x a2 )...(x an 1) .

Из этой формулы следует, что

g (an ) (an a1 )(an a2 )...(an an 1).

Подставляя (**) в (*), находим значения коэффициентов

стых дробей, применив формулу Лагранжа.

Решение. Обозначим числитель дроби через f(x), а знаменатель через g(x) и вычислим производную знаменателя g (x)

(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)(x 3) . Запишем формулу Ла-

138

Упражнения

133. Представьте в виде суммы простых дробей следующие

134. Представьте в виде суммы простых дробей следующие дроби:

135. Представьте в виде суммы простых дробей следующие дроби:

136. Представьте в виде суммы многочлена и простых дробей

следующие дроби:

139

§ 16. Разные задачи

Пример 68. Докажите, что многочлен f(x) с целыми коэффициентами неприводим в кольце [x], если f(0) и f(1) нечетные числа.

a0 a1 ... an 1 – число четное.

Рассмотрим многочлен s(x) f (x) an . При любом нечетном значении аргумента многочлен s(x) принимает четное значение.

значениях x принимает нечетные значения и, значит, не может равняться 0. Поэтому многочлен не имеет нечетных, а значит, и

целых корней.

Пример 69. Докажите, что если многочлен f(x) с целыми коэффициентами при трех различных целых значениях х принимает значение, равное 1, то он не имеет целых корней.

Решение. По условию задачи многочлен f(x) – 1 имеет три различных целых корня. Обозначим их a, b и c. Тогда по следствию теоремы Безу имеем f(x) – 1 = (х– a)(х– b)(х– c) q(x), где q(x) – многочлен с целыми коэффициентами.

140