Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

ж) f (x) x5 x3 2x2 12x 8 ;

з) f (x) x5 2x4 2x3 4x2 5x 2 ; и) f (x) x5 2x4 2x3 x2 4x 4 ; к) f (x) x5 x4 7x3 7x 6 ;

л) f (x) x5 x4 2x3 x2 3x 2 .

89.Разложите многочлен f(x) на неприводимые над полем

множители:

Найдите кратный корень этого многочлена и укажите его кратность. Разложите f(x) на неприводимые над полем множители.

91. Применив признак Эйзенштейна докажите неприводимость многочлена:

а) f (x) x4 8x3 12x2 6x 2 ;

б) f (x) x5 12x3 36x 12 .

92. Докажите, что многочлен неприводим над кольцом целых чисел :

а) f (x) x3 7x 2 ;

б) f (x) x4 13x3 x 2 ; в) f (x) x3 3x2 x 3;

91

г) f (x) x5 2x4 2x3 x 2 ; д) f (x) x9 16x6 13x2 1.

93. При каких m и n многочлен mx3 n приводим над полем .

§11. Основная теорема алгебры многочленов

иее следствия

Вэтом параграфе будем рассматривать многочлены над полем комплексных чисел, так как теория многочленов над

полем оказывается более стройной и простой, чем теория многочленов над полем и объясняется это именно основной теоремой.

Теорема 11.1 (основная теорема алгебры многочленов).

Всякий многочлен степени n 1 над полем имеет, по крайней мере, один комплексный корень.

Доказательство этой теоремы не является чисто алгебраическим и использует различные факты теории функций комплексного переменного1.

1 Впервые эту теорему сформулировал Альбер де Жирар в 1629 г. Доказательства теоремы предложили Д’Аламбер (1746), Эйлер (1749), Фонсене (1759) и Лагранж (1771), но эти доказательства были небезупречны.

92

Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 11.2. Пусть свободный член многочлена

f (z) a0 zn ... an 1z равен нулю. Тогда для любого > 0 существует > 0 такое, что | f (z) | для всех |z| < .

Доказательство. Обозначим A max{| a0 |, | a1 |,..., | an 1 |}.

всей комплексной плоскости функция.

Доказательство. Пусть z0 – произвольная точка. По-

Первым удовлетворительное доказательство основной теоремы алгебры получил Гаусс, который привел три разных доказательства (1799, 1815 и 1816), поэтомуее часто называют теоремой Гаусса.

для всех | z z0 | следует | f (z) f (z0 ) | .

93

гочлен f (z) непрерывен в точке z0 . Так как справедливо не-

f (z) const , то для любого М > 0 существует R > 0, такое что |f (z)| > M для всех |z| > R.

an z n – многочлен, свободный член которого равен нулю. a0

Из леммы 11.2 следует, что для = 0,5 найдется такое > 0,

| f (z) | | a0 zn | |1 g(z 1) | | a0 zn | 1 | g(z 1) | 2M (1 0,5) M .

Лемма 11.5. Модуль многочлена f (z) принимает в некоторой точке z0 наименьшее значение.

Доказательство. Множество модулей значений многочлена f (z) ограничено снизу (|f (z)| ≥0). Следовательно, оно

94

имеет точную нижнюю грань1. Обозначим ее через m. Докажем, что существует точка z0 такая, что | f (z0 ) | m . Рас-

являются нижней границей для |f (z)|, поэтому для каждого

M = m + 1. По лемме о возрастании модуля найдется R такое, что при всех |z| > R справедливо неравенство

| f (z) | M m 1k . Следовательно, | zk | R , последовательность { zk } ограничена и из нее можно извлечь сходящуюся

Приведем два вспомогательных утверждения также необ-

1 Применяем теоремы, доказанные в анализе: Теорема 1. Всякое ограниченное снизу (сверху) множество имеет точную нижнюю (точную верхнюю) грань. Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

2 ЖанЛеронД’Аламбер (1717–1783) – французский математик, философ и механик. Д’Аламбер ввел термин «предел». В теории рядов его имя носит достаточный признак сходимости. Основные математические ис-

95

Лемма 11.7. Если действительная функция f (z) комплексного переменного z непрерывна во всех точках замкнутой

области D, то существует точка z0 D такая, что функ-

ция f (z) принимает в этой точке наименьшее значение.

Лемма 11.7 является обобщением теоремы Вейерштрасса1 об ограниченности функции непрерывной на отрезке.

Перейдем теперь к доказательствутеоремы 11.1. Доказательство. Пусть дан многочлен f (z) a0 zn

a1zn 1 ... an 1z an степени n (n ≥1). Применим к этому многочлену лемму 11.4 о возрастании модуля многочлена.

Для M | f (0) | | an | существует R > 0 такое, что для всех |z| > R будет | f (z) | | f (0) | . Если в лемме 11.7 в качестве области D взять замкнутый круг с центром в точке 0 радиуса R,

следования Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения в частных производных, описывающего колебания струны. Ему принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Д’Аламбер дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры. Во Франции она называется теоремой Д’Аламбера–Гаусса.

1 Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897) – немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Вейерштрасс разработал систему логического обоснования математического анализа, дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, и ввел понятие равномерной сходимости функционального ряда. Большой вклад Вейерштрасс внес в развитие теории аналитических функций, теории алгебраических функций и абелевых интегралов. В линейной алгебре Вейерштрассу принадлежит построение теории элементарных делителей. Приведенные Вейерштрассом определения предела, непрерывности, сходимости ряда и равномерной сходимости функций воспроизводятся без всяких изменений в современных учебниках.

96

то в этом круге существует точка z0 , в которой | f (z) | принимает наименьшее значение. В частности, | f (z) | | f (0) | . Легко показать, что точка z0 будет точкой минимума для | f (z) | на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что z0 является корнем многочлена f(z), т.е. f (z0 ) 0 . Если предположить, что f (z0 ) 0 , то по лемме д’Аламбера существует точка z1 такая, что | f (z1) | | f (z0 ) | , что противоречит выбору точки z0 .

Большой интерес представляют следствия, которые вытекают из основной теоремы алгебры многочленов.

Следствие 11.8. Всякий многочлен степени n 1 над полем раскладывается в произведение n линейных множителей.

Доказательство. Будем доказывать это утверждение методом математической индукции. При n = 1 сам многочлен является линейным. Предположим, что утверждение уже доказано для многочленов степени k, и пусть f(x) – многочлен степени k + 1. Тогда по основной теореме алгебры многочле-

нов f(x) имеет корень 1 , и по теореме Безу f(x) предста-

вим в виде f (x) (x 1) f1(x) . Но многочлен f1(x) имеет степень k и по индуктивному предположению раскладывается в произведение k линейных множителей. Но тогда многочлен f(x) является произведением k + 1 линейного множителя. Согласно принципу математической индукции утвержде-

Из следствия к основной теореме алгебры многочленов вытекает, что всякий многочлен степени n > 1 над полем комплексных чисел приводим.

97

Следствие 11.9. Всякий многочлен степени n 1 над полем имеет n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Доказательство. Пусть f (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an –

многочлен степени n 1. По предыдущему следствию f(x) разлагается в произведение n линейных множителей. Учиты-

вая, что старший коэффициент многочлена f(x) равен a0 по-

лучаем f (x) a0 (x 1)(x 2 )...(x n ) , где 1, 2 ,..., n –

корни многочлена f(x) (среди них могут быть и одинаковые). Заменяя в последнем равенстве одинаковые сомножители их степенями, получим, что многочлен f(x) можно представить в виде

это кратности соответствующих корней. Так как степени многочленов в левой и правой частях равенства (11.1) одина-

ковы, то n k1 k2 ... ks .

Основная теорема алгебры многочленов позволяет для многочленов любой степени сформулировать утверждение, которое при n = 2 доказывается в школьном курсе под названием теорема Виета. Это утверждение и в общем случае называется теоремой Виета1.

1 Франсуа Виет (1540–1603) – французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии – юрист. Виет разработал новый язык – язык обобщённой арифметики, которая даёт возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью. Он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин коэффициенты. Символика Виета была высоко оценена учёными разных стран. К заслугам Виета нужно отнести полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней.

98

чем a0 0 , и пусть 1, 2 ,..., n – его корни, каждый из которых взят столько раз какова его кратность. Тогда коэф-

Формулы (11.2) называют формулами Виета.

Для вывода формул Виета воспользуемся следствием 11.8. Согласно этому следствию многочлен f(x) представим в виде

Так как многочлен f(x) может иметь кратные корни, то в разложении (*) множитель x – i встречается столько раз, ка-

кова кратность корня i.

Выполним умножение в правой части равенства (*), воспользовавшись свойством дистрибутивности. Члены, содер-

жащие xn k , будут получаться при перемножении первых слагаемых из каких-либо n – k скобок и вторых слагаемых из остальных k скобок. Коэффициент каждого такого члена будет равен произведению каких-либо k элементов из

1, 2 ,..., n , умноженному на (1)k a0 . После приведения подобных членов в правой части равенства (*) получится

многочлен, у которого коэффициент при xn k равен сумме всех возможных произведений по k элементов из

99

1, 2,..., n , умноженный на (1)k a0 . Приравняв коэффици-

енты этого многочлена соответствующим коэффициентам

многочлена f(x), получим формулы (11.2). Для нормированного многочлена формулы Виета прини-

Пример 49. Для многочлена f (x) x2 11x 7 найдите

а) сумму квадратов корней многочлена; б) сумму кубов корней многочлена;

в) сумму чисел, обратных квадратам корней многочлена. Решение. Многочлен f(х) нормированный. Запишем теорему

Виета, обозначив через x1 и x2 корни многочлена:

x1 x2 11, x1x2 7.

Сумму квадратов корней найдем, используя формулу квадрата суммы двух чисел. Из этой формулу следует, что

x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 . Тогда x12 x22 135 .

100