Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

21

а) f (x) 5x4 7 x3 x2 3x 8 , g(x) 2x4 5 x3 3x2

4x 7 , m = 10;

б) f (x) 4x3 8 x2 2x 5 , g(x) 6 x3 5x2 3x 4 , m = 7. 17. В кольце m найдите произведение многочленов f(x) и

g(x), если:

а) f (x) x3 3x2 5 x 4 , g(x) x3 3x2 2x 6 , m = 7;

б) f (x) 3x2 5x 4 , g(x) 4x3 3x 5 , m = 8.

18. В кольце 7[x] найдите многочлен наименьшей степени, эквивалентный многочлену:

а) f (x) 2x16 x11 3x10 5x8 2x5 3x4 2x2 ;

б) f (x) 4x21 3x18 2x13 4x10 2x6 5 x4 x2 5 .

19.Докажите, что для любого простого числа р в кольце

p[x] справедлива формула (x a) p x p a p .

§ 3. Делимость многочленов

Пусть f(x) и g(x) – два многочлена с коэффициентами из области целостности K.

Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x) 0 , если существует такой многочлен q(x), что выпол-

Если f(x) делится на g(x), то это принято записывать так: f (x) g(x) .

Многочлен q(x) в равенстве (3.1) называется частным от деления f(x) на g(x). Заметим, что многочлен q(x) в равенстве (3.1) определяется однозначно. Если бы существовал еще один многочлен q1(x) , удовлетворяющий равенству (3.1), то

22

условию ненулевой, и, значит, нулевым является многочлен

q(x) q1(x) , т.е. q(x) q1(x) .

Делимость многочленов над областью целостности обладает следующими свойствами:

1) если два многочлена f1(x) и f2 (x) делятся на g(x), то их сумма и разность также делятся на g(x);

2)если f(x) делится на g(x) и h(x) – некоторый многочлен, то и произведение f(x) h(x) делится на g(x);

3)если f(x) делится на g(x), а g(x) делится на h(x), то f(x)

делится на h(x);

4)степень частного равна разности степеней делимого и делителя;

5)любой многочлен делится на многочлен нулевой степе-

ни; 6) нулевой многочлен делится на любой многочлен, от-

личный от нуля.

7) если f(x) делится на g(x) и g(x) делится на f(x), то f(x) = сg(x) ( c K, c 0 ).

Однако деление многочлена на многочлен нацело возможно не всегда.

Нетрудно заметить, что делимость многочленов своими свойствами похожа на делимость целых чисел. Укажем на еще одну важную аналогию. Известно, что при делении целого числа n на целое число m 0 однозначно определяются частное и остаток. Иначе говоря, для всякой пары целых чисел n и m 0 существует, и притом единственная, пара целых чисел q (частное) и r (остаток), которые удовлетворяют соотношениям: n mq r , 0 r | m | . Если число n делится

на число m 0 , то остаток равен нулю. Аналогичный факт имеет место и для многочленов.

Теорема 3.1 (о делении с остатком). Для любого много-

члена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) над полем P

23

существует единственная пара многочленов q(x) и r(x), для

где многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую, чем степень g(x)1.

Многочлен q(x) называют частным, r(x) – остатком. Доказательство. Сначала докажем единственность част-

g(x). Приравнивая правые части выражений для f (x) , получим g(x)[q(x) q(x)] r(x) r (x) . Степень правой части это-

го равенства меньше степени g(x), а степень левой части при q(x) q(x) 0 не меньше степени g(x). Поэтому

q(x) q(x) 0 , откуда q(x) q(x) . Но тогда и r(x) r (x) .

Единственность доказана.

Докажем существование частного и остатка. Пусть

Обозначим его степень через n1 , а старший коэффициент – через a01 . Если еще n1 m , то рассмотрим многочлен

1 Если рассматривать многочлены над областью целостности, то необходимо потребовать, чтобы старший коэффициент многочлена g(x) был обратим.

24

Обозначим его степень через n2 , а старший коэффициент – через a02 . Если n2 m , то рассмотрим многочлен

n n1 n2 ... , то через конечное число шагов дойдем до

многочлена qk (x) qk 1(x) a0,k 1b0 1xnk 1 m g(x) , степень ко-

торого меньше m, после чего процесс заканчивается. Складывая равенства (*), (**), (***) и т.д., получим, что

qk (x) f (x) b0 1(a0 xn m a01xn1 m ... a0,k 1xnk 1 m )g(x) .

Многочлены q(x) b0 1(a0 xn m a01xn1 m ... a0,k 1xnk 1 m ) и r(x) qk (x) удовлетворяют равенству(3.2), причем степень

Ясно, что f(x) делится на g(x) тогда и только тогда, когда остаток r(x) от деленияf(x) на g(x) равен нулю.

Из теоремы 3.1 и определения евклидова кольца следует

Теорема 3.2. Кольцо многочленов является евклидовым кольцом.

Находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен можно по определению, т.е. по формуле (3.2). На практике чаще всего для нахождения частного и остатка применяется метод «деления уголком».

Пример 9. Найдите частное и остаток от деления многочлена

Неизвестные коэффициенты можно найти, раскрыв скобки и использовав равенство многочленов в алгебраическом смысле.

25

2. Выполним деление «уголком».

Пример 10. Найдите частное и остаток при делении

f(x) x4 3x3 x2 10x 6 на g(x) x2 4x 2 .

Решение. Выполним деление «уголком»

x2 x a ?

Решение. Так как многочлен f(x) делится на многочлен g(x), то при любом целом с число f(с) делится на число g(с). Положим с= 0, а затем с= 1. Получим 90 a и 92 a . Из этого следует, что а может принимать только четыре значения 1 и 2. Проверьте, что

26

б) f (x) 2x4 3x3 4x2 5x 6 , g(x) x2 3x ;

в) f (x) 6x4 11x3 13x2 5x 9 , g(x) 2x3 x2 1; г) f (x) x3 4x2 7x 15 , g(x) x2 2x 5 .

25. При каких значениях a и b многочлен f(x) делится на g(x), если:

а) f (x) x4 x3 9x2 ax 2 , g(x) x2 2x b ;

б) f (x) x4 2x3 ax2 9x b , g(x) x3 3x2 2x 1;

27

26. При каких значениях a, b и с многочлен f (x) x4

x3 ax2 bx c делится на g(x) x3 2x2 5x 6 ?

27.При делении f(x) на g(x) остаток равен 3, а при делении

f 2 (x) на g2 (x) остаток равен 9. Найдите остаток от деления

f(x) на g2 (x) .

28.При делении многочлена f(x) на многочлен g(x) получаются частное q(x) и остаток r(x) = x2 – 1. Найдите остаток от

деления f(x) на q(x), если degf(x) = 9, degg(x) = 5.

29. При делении многочлена f(x) на многочлен g(x) получаются частное q(x) x2 4 и остаток r(x) x3 3x2 5 .

Найдите остаток от деления f(x) на q(x).

30. Существует ли такое целое число а, при котором многочлен x10 x5 7 делится на многочлен x2 x a ?

31. В многочлен f (x) ax3 bx2 cx d вместо a, b, c, d

подставляют числа –4, –1, 2, 3 (в каком угодно порядке). Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

§ 4. Теорема Безу1

Важную роль в теории многочленов и ее приложениях имеет теорема, показывающая связь между значениями многочленов в некоторой точке и остатком при делении этого многочлена на линейный двучлен.

1 Этьен Безу(1730–1783) – французский математик, член Парижской академии наук. Основные работы относятся к алгебре. Совместно с Крамером разрабатывал теорию определителей, развил метод неопределенных множителей. Исследовал свойства систем алгебраических уравнений высших степеней, предложил метод исключения неизвестных при решении таких систем. Доказал теорему, сформулированную Маклореном, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Часть трудов Безупосвящена баллистике.

28

Теорема 4.1. (Безу). Остаток от деления многочлена f(x) над областью целостности K на двучлен x – a равен значению многочлена f(x) в точке a ( a K )1.

Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен f(x) над областью целостности K и произвольный элемент a K . Разделим f(x) с остатком на двучлен x – a. Так как степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен нулю, либо имеет нулевую степень. И в том и в другом случае остаток r есть элемент из K. Значит, многочлен можно записать в

Основным следствием из этой теоремы является

Следствие 4.2. Многочлен f(x) над областью целостности K делится на двучлен x – a тогда и только тогда, когда элемент a K является его корнем.

Решение. Согласно теореме Безу остаток от деления f(x) на двучлен х– 1 равен значению многочлена в точке х= 1. Подсчитаем f (1) 1 3 9 6 2 7 11 32 25. Итак, r = –25.

Пример 13. Пусть f (x) x4 3x3 48x2 95x 503 . Вычисли-

те f(–8).

Решение. Непосредственное вычисление значения многочлена f(x) в точке а= –8 достаточно трудоемко. Применим теорему Безу. Для этого разделим f(х) на x + 8.

1 У двучлена x – a старший коэффициент обратим. ПоэтомуK можно считать областью целостности.

29

_ 225x 503225x 1800 2303

Так как остаток от деления f(х) на х+ 8 равен 2303, то значение

17, а при делении на х+ 1 – остаток –4. Какой остаток дает f(x) при делении на (х+ 1)(х– 2)?

Решение. Делитель (х+ 1)(х– 2) имеет степень 2. Значит, остаток есть многочлен степени не выше первой, поэтому запишем остаток в виде многочлена первой степени r(x) = ax + b, и найдем неизвестные коэффициенты a и b. Обозначим частное через q(x). Тогда f (x) (x 2)(x 1)q(x) (ax b) . Подставив x = 2, получим

f(2) = 2a + b, но по условию и в силу теоремы Безу f(2) = 17, поэтому 2a + b = 17. Аналогично при х= –1 получим –a + b = –4. Решая

Пример 15. Определите, при каких значениях a и b многочлен f (x) x3 ax2 bx ab при делении на х– 3 дает остаток 40, а на х+ 1 делится без остатка.

30