Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найдите кратность корня a

многочлена

f(x) x5 x4

над кольцом вычетов по модулю 3.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Частное

запишем

виде

q(x) b

xn 2 b xn 3

...

bn 3x bn 2 , а остаток – в виде r(x) d1x d2 .

Подставим f(x), q(x) и r(x) в формулу деления с остатком

f (x) (x2 c x c

)q(x) r(x)

и раскроем скобки:

xn a xn 1 ... a

n 1

x a

( x2

c x c )(b xn 2

b xn 3

... b

x b

) (d

x d

) b xn

b xn 1

... b

n 3

n 2

c b xn 1 c b xn 2

... c b

x2 c b

x c b xn 2

1 0

1 1

1 n

1 n 2

2 0

c b xn 3

... c b

x2 c b

x c b

d x d

b xn

2 1

2 n 4

2 n 3

2 n 2

(b1 c1b0 )xn 1 (b2 c1b1 c2b0 )xn 2 (b3 c1b2 c2b1)xn 3

... (bn 2 c1bn 3 c2bn 4 )x2 (d1 c1bn 2 c2bn 3)x

(d2 c2bn 2 ) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим системудля определения коэффициентов частного

c1b0

c b ,

c b

c1b1

c2 b0

...

... ...

...

bn 3

an 3

c1bn 4

c2bn 3

bn 2

an 2

c1bn 3

c2bn 4

an 1 c1bn 2

c2bn 3

c b

n 2

Обобщенную схему Горнера также удобно записывать в виде таблицы.

	a0	a1	a2	a3
c2		b0	b1	b2
c1	b0 a0	b1 a1 c1b0	b2 a2 c1b1 c2b0	b3 a3 c1b2 c2b1

…

an 2

an 1

…

bn 3

bn 2

…

bn 2 an 2 c1bn 3 c2bn 4

d1 an 1 c1bn 2 c2bn 3

d2 an c2bn 2

Пример

23.

Найдите

частное

остаток

при

делении

f (x) x6 3x5 2x4 4x3 x2 5x 33 на g(x) x2 2x 5 .

Решение.

По

теореме

делении

с остатком

имеем

f (x) g(x)q(x) r(x) ,

где

частное

q(x)

–

многочлен четвертой

степени,

его

будем

искать в

виде

q(x) b x

4 b x3

b x2

+ b3x b4 ,

а остаток r(x) – многочлен первой степени, его будем

искать в виде r(x) d1x d2 . Составим таблицу.

–3

–5

b0 = 1

–1

b1 = 2 1 – 3 = – 1

b2 = 2 (–1) + (–5) 1 + 2 = –5

–4

–5

–9

b3 = 2 (–5) + (–5) (–1) – 4 = –9

b4 = 2 (–9) + (–5) (–5) + 1 = 8

d1 = 2 8 + (–5) (–9) + 5 = 66

d2 = (–5) 8 + 33 = –7

Получили неполное частное q(x) x4

x3 5x2

9x 8

и оста-

ток r(x) 66x 7 .

Упражнения

54. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена f(x) на двучлен x – a, если:


а)	f (x) x4	5x3	24x2	9x 148,			a 4 ;
б)	f (x) x4	3x2	11x 17,		a 3	;
в)	f (x) x4	9x3	13x2	32x 17,			a 1 ;
г)	f (x) x5	5x4	12x2	19x 31,			a 4 ;

д)	f (x) x5 4x3 7x2	9x 28,	a 2 ;
е)	f (x) x5 4x3 5x2	17x 43,	a 3 .

55. Используя схему Горнера, найдите значение многочлена f(x) в точке а, если:


а)	f (x) x4 3ix3 (2 5i)x2 (3 i)x 2 9i,				a i ;
б)	f (x) x5 (1 2i)x4 (14 5i)x2 7 i,			a 3 i .
56.	Используя схему Горнера, составьте таблицу всех зна-
чений многочлена f (x) p , если:
а)	f (x) x4 3x3 x2 x 2,		p 5 ;
б)	f (x) 3x5 x3 2x 1,	p 7 .

57. Используя обобщенную схему Горнера, выполните деление многочлена f(x) на трехчлен g(x), если:

а)	f (x) x4 3x3 11x2 5x 17,	g(x) x2 2x 7 ;
б)	f (x) x4 2x3 3x2 7x 11,	g(x) x2 4x 1.

§ 6. Кратные корни многочлена

Если элемент K	является	корнем многочлена
f (x) K[x], то по теореме	Безу f(x)	делится на x , т.е.

f (x) (x )q(x) . При этом может оказаться, что элемент является корнем частного q(x), тогда q(x) (x )q1(x) и f(x)

будет делиться на (x )2 , т.е. f (x) (x )2 q1(x) и так да-

лее. В таких случаях элемент называется кратным корнем многочлена.

Элемент кольца K называется корнем кратности k многочлена f (x) K[x], если f(x) делится на (x )k , но не делится на (x )k 1 .

Если элемент является корнем кратности k многочлена f(x), то многочлен представим в виде

f (x) (x )k q(x) ,

(6.1)

где q( ) 0 .

Корни кратности 1 называют простыми корнями. Например, число 1 является для многочлена x4 5x3 8x2 7x 2(x 1)3 (x 2) корнем кратности 3, число 2 – простым корнем, число 4 – корнем не является.

Пример 24. Докажите, что число (– 2) является корнем много-

члена f (x) x4 x3 13x2 8x 12 [x]	и найдите кратность
этого корня.
Решение. f ( 2) ( 2)4 ( 2)3 13 ( 2)2	8 ( 2) 12 0 . Зна-

чит, (– 2) – корень многочлена f(x) и он делится на x + 2. Найдем частное по схеме Горнера.

–1

–13

–8

–2

1 (–2)–1= –3

–3 (–2)–13= –7

–7 (–2)–8=6

6 (–2)+12=0

Получили

частное

q(x) x3 3x2

7x 6 .

Следовательно,

f (x) (x 2)(x3 3x2 7x 6) .

Выясним, делится ли

f(x) на

(x + 2)2. Для этого проверим, делится ли q(x) на x + 2.

Так как

q( 2) 0 , то по теореме Безу q(x) делится на x + 2.

Находим частное q1 (x) :

–3

–7

–2

1 (–2) – 3 = –5

(–5) (–2) – 7= 3

3 (–2) + 6 = 0

Итак,

q (x) x2 5x 3 и f (x) (x 2)2 (x2 x 3) . Значит, f(x)

делится на (x + 2)2. Легко показать, что x2 5x 3 не делится на x + 2. По определению число (–2) – корень кратности 2 многочлена

Решение. Разделим последовательно f(x) в 3[x] на x 2 .


	1				1							1										1										1							1
				+			=				+			=						+					=						+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1	2		1		+			1		=			0	2	0	+		1	=	1	2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=					+			=
2	1	2	1	+		0	=	2	2	2	+		1	=	2		2		2		+			0		=	1		2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=

2	1	2	1			2		1	2	1			2		1		2		1					1			0
				+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1


Получили, что f(x) делится на (x				но не делится на		(x
		2)3 ,					2)4 .
По определению кратность корня a					равна 3. Многочлен f(x)
			2
представим в виде f (x) (x
	2)3 (x2 x 1) .

При нахождении кратности корня существенно помогает понятие производной многочлена, которое вводится следующим образом.

Пусть f (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an – многочлен над кольцом K.

Производной многочлена f(x) называется многочлен

f (x) na	xn 1 (n 1)a xn 2	... a	n 1	.	(6.2)
0	1		n 1

По определению полагаем, что (a) 0 при a K.

Так как производная данного многочлена f(x) есть многочлен f (x) , то для него можно найти производную. Обозна-

чим ее символом f (x) и будем называть второй производной от многочлена f(x). Аналогично, производную от f (x) обозначим символом f (x) и назовем третьей производ-

ной от многочлена f(x), и вообще символом f (k ) (x) обозна-

чают производную порядка k от многочлена f(x).

Приведем основные свойства производной, вытекающие

из ее определения:	(n ) ;
1) если deg f(x) = n, то deg f (x) n 1	(n ) ;

2) если многочлен f(x) – константа, то его производная равна нулю, и если f (x) 0 , то f(x) – константа;

3)постоянный множитель можно выносить за знак произ-

водной: (c f (x)) c f (x) , где c K;

4)производная суммы (разности) двух многочленов равна сумме (разности) производных этих многочленов:

( f (x) g(x)) f (x) g (x) ;

5) производная произведения двух многочленов равна сумме произведений производной первого многочлена на второй и производной второго многочлена на первый:

( f (x) g(x)) f (x) g(x) f (x) g (x) ;

6)	( f	m		m f	m 1		(m ) .
			(x))			(x) f (x)

Способ нахождения кратности корня многочлена с помощью производной дает следующая теорема.

Теорема 6.1. Если – корень кратности k многочлена f(x), то – корень кратности k 1 многочлена f (x) .

Доказательство. Пусть – корень кратности k многочлена f(x). Это значит, что f (x) (x )k q(x) и q( ) 0 . То-

гда производная f (x) k(x )k 1 q(x) (x )k q (x)(x )k 1(kq(x) (x )q (x)) . Из этого равенства следует, что f (x) (x )k 1 и q1(x) отлично от нуля при x . Дей-

ствительно, q1( ) kq( ) ( )q ( ) kq( ) 0 . По след-

ствию 4.2 теоремы Безу q1(x) не делится на x и поэтому

f (x) не делится на (x )k . Следовательно,	– корень
кратности k 1 многочлена f (x) .
Из этой теоремы вытекает такое следствие:

Следствие 6.2. Если – корень кратности k многочлена f(x), то является корнем всех его производных до (k 1) -го

порядка включительно и не является корнем производной k-го порядка.

Заметим,	что	если –		кратный корень	многочлена
f (x) [x] , то ось ОХ являет-				у
ся касательной		к	графику	k – нечетное
функции у= f(x). В самом деле,					х
если – кратный корень мно-				k – четное
гочлена f(x), то – корень
производной	f (x) ,		следовательно, касательная		к графику

функции у= f(x) горизонтальна и совпадает с осью ОХ (точка ( ; f ( )) лежит на оси ОХ). Если – корень четной кратно-

сти, то многочлен при переходе через точку сохраняет знак, если – корень нечетной кратности, то многочлен при переходе через точку меняет знак на противоположный.

Пример 26. Докажите, что число (– 1) является корнем многочлена f (x) x5 2x4 2x3 4x2 5x 2 и найдите его кратность.

Решение. Для нахождения кратности корня применим следствие 6.2. Так как f(–1) = 0; то (–1) – корень многочлена f(x). Вы-

числим производную	f (x)		5x4 8x3	6x2 8x 5 . Так как
f ( 1) 0 , то значит,	(–1)	–	корень производной f (x) . Далее
f (x) 20x3 24x2 12x 8,		f ( 1) 0		и (–1) – корень второй

производной

многочлена.

Наконец,

найдем

f (x) 60x2

48x 12, f ( 1) 24 0 . Таким образом, число (–1)

–

корень

многочлена f(x) кратности 3.

Пример 27. Докажите, что многочлен

...

не имеет кратных корней.

Решение. Обозначим данный многочлен через f(х):

f (x) 1

...

Его производная

f (x) 1

...

xn 1

1)!

Предположим, что – кратный корень многочлена f(x). Тогда

– корень производной

f (x)

и,

значит,

корень

многочлена

g(x) f (x) f (x)

. Из условия

g( )

следует, что

0 . Но

f ( ) 1

...

1 0 .

Получили противоречие. Следовательно, многочлен f(x) не имеет кратных корней.

Пример 28. Найдите значения а, при которых число (–1) является корнем кратности 2 многочлена f (x) x3 ax2 ax 1.

	Решение.		f(–1) = –1 + а– а+ 1 = 0. Следовательно, (–1) – корень
f(х) при всех а. Найдем частное от деления f(х) на х+1:
		1
		1		а	а	1
	–1	1		а– 1	1	0
	q(x) x2 (a 1)x 1 и f(х) = (х+ 1)q(х).
	Выясним,		при каких значениях а многочлен f (x) (x 1)2 , это
эквивалентно тому, что					q(x) (x 1) . Для того чтобы		q(x) (x 1) ,

необходимо и достаточно, чтобы q(–1) = 3 – а= 0 или а= 3. Тогда f (x) x3 3x2 3x 1 (x 1)3 . Но в этом случае f(х) делится не

только на (x 1)2 , но и на (x 1)3 . Значит, ни при каком значении

а число (–1) не является корнем кратности 2 многочлена f(х) (при a 3 (–1) – простой корень, при а= 3 (–1) – корень кратности 3). Пример 29. При каких значениях параметра а многочлен

x99 ax15 ax6 1 делится на (х– 1)2.

Решение. Обозначим данный многочлен через f(х). Тогда f(1) = 1 – а+ а– 1 = 0. Поэтому 1 – корень f(х) при любом а. Нам нужно найти такое число а, чтобы 1 была кратным корнем f(х).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы 1 была корнем		f (x) .
Имеем f (x) 99x98 15ax14 6ax5 и f(1) =	99 – 9а= 0. Отсюда сле-
дует, что а= 11 и f(1) = х99 – 11х15 + 11х6 – 1.

Пример 30.

Определите кратность

корня x0 a

многочлена

(x)

f (x) f (a)

(x a) f (x) f (a) .

(x) f (x)

f (a)

f (x)

Решение. Имеем

(x a)

f (a)

(a)

(a a) 0 .

Найдем

вторую

произ-

f (x)

f (a)

водную

(x)

(x a)

и (a)

(a a) 0 .

имеем (x)

f (x)

f IV (x)

(x a) и

(a)

f (a)

. Значит, а

является корнем кратности	k + 3 многочлена (х), где k – показа-
тель кратности а, как корня	f (x) .

Упражнения

58. Дан многочлен f (x) x5 x4 4x2 7x 3 . Покажите, что x0 1 является его корнем. Найдите кратность этого

корня.			x0	2
59.	Найдите кратность	корня			для многочленов
f (x) x5 9x4 5x3 15x2 2x 8				и	f	2	(x) x5	5x4
1
7x3 2x2 4x 8.		f (x) x5		3x4	5x3 6x2
60.	Для многочлена							4x 1
найдите кратность корня x0 1 .
61.	Покажите, что многочлен f (x) xn 1 не имеет крат-
ных действительных корней.			f (x) x3 5x2 11x c ни
62.	Покажите, что многочлен
при каком c не имеет кратных корней над полем .
63.	При каких значениях m многочлен имеет кратные кор-
ни над полем , если

а) f (x) x3 9x2 24x m ;
б)	f (x) x3 12x2 45x m ;
в)	f (x) x3 2x2 15x m .
64.	При каких значениях m многочлен f(x) имеет кратные
корни над полем , если:
а) f (x) x3 6x2 24x m ;
б) f (x) x3 3x2 30x m ;
в) f (x) x4 3x3 2x2 9x m ;
г) f (x) x4 4x m .
65.	Докажите, что многочлен	f (x)	не имеет кратных кор-
ней над полем , если:
а) f (x) x3 2,5x2 2x 7 ;
б) f (x) x4 2x3 1,5x2 x 4 ;
в) f (x) 0, 2x5 0, 75x4 x3 2,5x2 2x 1.
66.	Определите a и b так, чтобы число x0 2 было крат-
ным корнем многочлена f (x) x5 ax2 bx 4 .
67.	Определите параметры a и b так, чтобы число					x0 2
было	кратным корнем многочлена		f (x) x4 ax3			bx2
56x 16 . Укажите кратность корня.
68.	Найдите соотношение между коэффициентами много-
члена	x5 10ax3 5bx c [x] ,	если у него есть отличный
от нуля корень кратности 3.		x0 1 многочлена				f (x)
69.	Найдите кратность корня	x0 1 многочлена				f (x)
x2n 1 (2n 1)xn 1 (2n 1)xn 1 .
70.	Определите кратность корня		x0		многочлена f(x)
70.	Определите кратность корня		x0	1	многочлена f(x)
над кольцом 7 , если:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]


	1				1							1										1										1							1
				+			=				+			=						+					=						+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1	2		1		+			1		=			0	2	0	+		1	=	1	2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=					+			=
2	1	2	1	+		0	=	2	2	2	+		1	=	2		2		2		+			0		=	1		2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=

2	1	2	1			2		1	2	1			2		1		2		1					1			0
				+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1


	1				1							1										1										1							1
				+			=				+			=						+					=						+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1	2		1		+			1		=			0	2	0	+		1	=	1	2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=					+			=
2	1	2	1	+		0	=	2	2	2	+		1	=	2		2		2		+			0		=	1		2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=

2	1	2	1			2		1	2	1			2		1		2		1					1			0
				+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1


	1				1							1										1										1							1
				+			=				+			=						+					=						+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1	2		1		+			1		=			0	2	0	+		1	=	1	2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=					+			=
2	1	2	1	+		0	=	2	2	2	+		1	=	2		2		2		+			0		=	1		2	1	+		1	=	0
				+			=				+			=							+					=

2	1	2	1			2		1	2	1			2		1		2		1					1			0
				+			=				+			=
2	1	2	1	+		1	=	0	2	0	+		1	=	1