Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

а) f (x) x5 2x4 5 x2 5 x 1 ;

б) f (x) x5 6 x4 3 x3 5 x2 5 x 1 ; в) f (x) x5 5 x4 3 x3 x 4 ;

г) f (x) x5 6 x4 3x2 4 .

71. Докажите, что многочлен f(x) делится на многочлен

f (x) тогда и только тогда, когда f (x) a0 (x x0 )n .

72. Докажите, что если x0 – простой корень многочлена f1(x) f2 (x) f2 (x) f1(x) , то x0 – корень кратности 2 многочле-

на f1(x) f2 (x0 ) f2 (x) f1(x0 ) .

§ 7. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида

Многие свойства операции деления многочленов совпадают со свойствами операции деления чисел. Рассмотрим еще одно общее для этих операций понятие.

В этом параграфе будем рассматривать многочлены над полем Р.

Пусть f(x) и g(x) – многочлены над полем Р.

Многочлен d1(x) называется общим делителем много-

членов f(x) и g(x), если многочлены f(x) и g(x) делятся на

d1(x) ( f (x) d1(x), g(x) d1(x) ).

Многочлен d(x) называется наибольшим общим делите-

лем (НОД) многочленов f(x) и g(x), если он делится на любой общий делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) обозначается следующим об-

51

Таким образом, d(x) = (f(x), g(x)), если f (x) d(x) ,

g(x) d(x) и d(x) d1(x) , где d1(x) – общий делитель многочленов f(x) и g(x).

Заметим, что если d(x) – наибольший общий делитель двух многочленов, то любой многочлен, ассоциированный с d(x), т.е. многочлен вида kd(x), где k P, k 0 , также будет

наибольшим общим делителем этих многочленов. Наибольший общий делитель двух многочленов определяется однозначно, с точностью до умножения на элементы поля Р. Чаще всего наибольший общий делитель записывается в нормированном виде.

Справедлива следующая важная для дальнейшего изложения теорема.

Теорема 7.1. Если r(x) – остаток от деления f(x) на g(x), то наибольшие общие делители многочленов f(x) и g(x) и многочленов g(x) и r(x) совпадают.

Доказательство. По теореме о делении с остатком

f(x) = g(x) q(x) + r(x) (*).

Пусть d(x) – наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), d1(x) – наибольший общий делитель g(x) и r(x). Из равенства (*) следует, что d(x) – общий делитель многочле-

нов g(x) и r(x), значит, d1(x) d(x) . Аналогично получаем, что d1(x) – общий делитель f(x) и g(x), значит, d(x) d1(x) . Следо-

Эта теорема лежит в основе способа нахождения наибольшего общего делителя, называемого алгоритмом Евклида.

Пусть f(x) и g(x) – два многочлена. Найдем их наибольший общий делитель. Полагаем для определенности, что deg f (x) deg g(x) . Разделим f(x) на g(x) с остатком:

f (x) g(x)q(x) r(x) . Если r(x) = 0, то g(x) – наибольший

52

общий делитель многочленов f(x) и g(x). Если r(x) 0 , то deg r(x) deg g(x) . Разделим g(x) на r(x) с остатком:

g(x) r(x)q1(x) r1(x) и т.д.

Степени получающихся при делении ненулевых остатков убывают и неотрицательны. Множество натуральных чисел ограничено снизу, поэтому на некотором шаге получим нулевой остаток.

Пусть rk (x) – последний ненулевой остаток при делении в

алгоритме Евклида, т.е. rk 1 (x) rk (x) .

Запишем последовательно все шаги алгоритмаЕвклида1:

Теорема 7.2. Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида является наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Доказательство. Из последнего равенства формул (7.2) вытекает, что rk 1(x) rk (x) . Тогда в предпоследнем равенстве

rk 2 (x) rk 1(x)qk (x) rk (x) правая часть делится на rk (x) ,

1 Евклид (ок. 365–300 до н.э.) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Его главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Евклид заложил основы геометрической оптики. У Евклида мы встречаем также описание монохорда – однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки и способствовало созданию клавишных инструментов.

53

следовательно, и левая часть делится на rk (x) : rk 2 (x) rk (x) .

Из равенства rk 3 (x) rk 2 (x)qk (x) rk 1(x) получаем, что rk 3 (x) rk (x) . Двигаясь вверх, дойдем до многочленов f(x) и

g(x) и получим, что f (x) rk (x) и g(x) rk (x) , т.е. rk (x) является общим делителем f(x) и g(x).

Пример 31. Найдите наибольший общий делитель многочленов

f(x) 2x5 3x4 5x3 x2 6x 3 и g(x) 3x4 2x3 3x2 5x 2 .

Решение. Разделим многочлен 9f(x) на многочлен g(x).

(f(x) умножили на 9, чтобы не получать дробных коэффициентов). Таким образом, мы нашли с точностью до числового множите-

ля остаток от деления f(x) на g(x): r(x) x3 x 1 . Разделим теперь g(x) на остаток r(x):

Так как g(x) делится на r(x) без остатка, то наибольший общий делитель многочленов f (x) и g(x) совпадает с r(x), т.е. d(x)

Пример 32. Найдите все значения a и b, при которых уравнение x3 5x2 7x a 0 имеет два различных корня, являющихся корнями уравнения x3 8x b 0 .

54

лятся без остатка на произведение (x x1)(x x2 ) , следовательно,

их наибольшим общим делителем будет некоторый квадратный трехчлен. Для его нахождения применим алгоритм Евклида.

Разделим f(x) на g(x):

теореме 7.1 наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) совпадает с наибольшим общим делителем многочленов f(x) и

r(x). Разделив r(x) на (–5), получим, что d (x) x2 3x k , где

k0,2(a b) .

Разделим f(x) на d(x):

55

Используя алгоритм Евклида, можно доказать следующие утверждения.

Теорема 7.3. Если d(x) – наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), то существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что

Доказательство. В предпоследнем равенстве формул (7.2) перенесем rk 1(x)qk (x) в левую часть и, принимая во

жаем rk 1(x) : rk 1(x) rk 3 (x) rk 2 (x)qk 1(x) и подставляем его значение в (*):

Нетрудно показать, что степени многочленов u(x) и v(x) удовлетворяют следующим условиям: deg u(x) < deg g(x), deg v(x) < deg f(x).

Многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми, если нормированный наибольший общий делитель этих многочленов равен 1.

Следствие 7.4. Многочлены f(x) и f(x) взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что

56

Для взаимно простых многочленов справедливы следующие утверждения.

Теорема 7.5. Если произведение многочленов f(x)g(x) делится на многочлен h(x) и многочлены g(x) и h(x) взаимно простые, то f(x) делится на h(x).

Доказательство. Так как многочлены g(x) и h(x) взаимно простые, то по следствию 7.4 существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что g(x)u(x) + h(x)v(x) = 1. Умножив обе части равенства на f(x), получим равенство f(x)g(x)u(x) + + f(x)h(x)v(x) = f(x). Так как оба слагаемых в левой части равенства делятся на h(x), значит и их сумма, равная f(x) делит-

Теорема 7.6. Если многочлены f(x) и g(x) взаимно просты с многочленом h(x), то их произведение f(x)g(x) также взаимно просто с h(x).

Доказательство. Так как многочлены f(x) и g(x) взаимно просты с многочленом h(x), то существуют многочлены

Теорема 7.7. Если многочлен f(x) делится на многочлен g(x), многочлен f(x) делится на многочлен h(x) и многочлены g(x) и h(x) взаимно просты, то f(x) делится на их произведе-

ние g(x) h(x).

Доказательство. Так как f (x) g(x) , f (x) h(x) и много-

члены g(x) и h(x) взаимно простые, то существуют многочлены t(x), s(x), u(x) и v(x), такие, что выполняются равенства

57

f(x) = g(x)t(x), f(x) = h(x)s(x) и g(x)u(x) + h(x)v(x) = 1.

Умножим последнее равенство на f(x) и подставим выражения для f(x) из предыдущих равенств, получим

f(x)g(x)u(x) + f(x)h(x)v(x) = f(x)

ем многочлена d(x) через многочлены f(x) и g(x).

Если h(x) – многочлен, ассоциированный с d(x), то для него также можно записать линейное выражение через многочлены f(x) и g(x). На практике линейное выражение многочлена h(x), удобно искать методом неопределенных коэффициентов, применяя понятие равенства многочленов в алгебраическом смысле. Для применения этого метода нужно заранее оценить степени искомых многочленов.

Пример 33. Найдите линейное выражение многочлена h(x) x 2 через многочлены f (x) x2 2 и g(x) x3 x 1 .

Решение. Многочлены f(х) и g(х) взаимно просты над полем , поэтому многочлены u(x) и v(x) будем искать в виде v(x) b0 x b1 ,

58

Многочлен f(х) называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения двух многочленов, степени которых положительны, т.е. f(х) представим

в виде f (x) p(x)g(x) и deg p(х) 1, deg g(х) 1. Многочлен

f(х), степень которого положительна, называется неприводимым над полем Р, если он имеет только тривиальные разложения, т.е. в равенстве f (x) p(x)g(x) один из сомножи-

телей многочлен нулевой степени.

Для неприводимых многочленов справедливы следующие утверждения.

Теорема 7.8. Если многочлены f(х) и g(x) неприводимы над полем Р и f (x) g(x) , то f(x) = с·g(x) для некоторого с Р

(с 0).

Теорема 7.9. Пусть f(х) – неприводимый над полем Р многочлен, g(x) – произвольный многочлен. Тогда либо g(x) делится на f(x), либо f(x) и g(x) – взаимно простые многочлены.

Доказательство. Обозначим через d(х) наибольший общий делитель многочленов f(х) и g(х). Значит, f (x) d(x) .

В силу неприводимости многочлена f(х) имеем две возможности: а) d(x) c 0 (c P) , тогда f(х) и g(х) взаимно про-

Теорема 7.10. Если произведение многочленов f(х)g(x) делится на неприводимый многочлен h(x), то один из многочленов f(x) или g(x) делится на h(x).

Доказательство. Предположим противное, т.е. ни f(х) ни g(х) не делятся на h(х). Выполним деление этих многочленов

59

хотя бы один из многочленов f(х) или g(х) делится на h(х).

Понятие наибольшего общего делителя можно ввести для любого конечного множества многочленов. Пусть даны мно-

гочлены f1(x), f2 (x), ..., fk (x) (k 2) . Наибольший общий

делитель этих многочленов определяется реккурентным соотношением

( f1(x), f2 (x), ..., fk (x)) (( f1(x), f2 (x), ... fk 1(x)), fk (x)) (7.5) (наибольший общий делитель k многочленов – это наибольший общий делитель наибольшего общего делителя (k – 1)-го

многочлена и многочлена fk (x) ).

Если d(х) – наибольший общий делитель многочленов f1(x), f2 (x), ..., fk (x) , то d(х) линейно выражается через эти

Многочлены f1(x), f2 (x), ..., fk (x) называют взаимно про-

стыми, если их нормированный наибольший общий делитель равен 1.

Многочлены f1(x), f2 (x), ..., fk (x) взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены

60