Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

зенштейна, но один из них приводим над полем , а другой

неприводим.

Применив признак Эйзенштейна можно доказать, что в кольце [x] существуют неприводимые многочлены любой

степени.

Пример 38. Докажите, что для любого простого числа р много-

знак Эйзенштейна непосредственно применить нельзя. Чтобы доказать его неприводимость сделаем замену переменной у= х+ 1 и

Применим признак Эйзенштейна к многочлену φ(у). Так как р – простое число, то для любого k = 1, 2, …, p – 1 коэффициент

Наиболее практически значимым является случай выделения линейных множителей многочлена с целыми (рациональными) коэффициентами или, что тоже самое, нахождение корней таких многочленов. Способ отыскания рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема 10.4. Если несократимая дробь qp является кор-

нем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то его сво-

81

бодный член делится на p, а старший коэффициент делится на q.

Доказательство. Пусть f (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an –

многочлен с целыми коэффициентами и дробь qp – его корень. Числа p и q являются взаимно простыми, так как дробь

Оставляя слагаемое anqn в левой части равенства и пере-

нося все остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками, получим

anqn p(a0 pn 1 ... an 2 pqn 2 an 1qn 1) .

Из этого равенства следует, что произведение anqn делит-

ся на р. Но поскольку p и q не имеют общих множителей, то на р делится an.

Из этой теоремы вытекает важное следствие.

Следствие 10.5. Все рациональные корни нормированного (приведенного) многочлена с целыми коэффициентами – целые и являются делителями свободного члена.

Доказательство. Действительно, в этом случае знаменатель рационального корня может быть равен только 1, по-

82

Отметим, что утверждение, обратное доказанной теореме, неверно: если p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента многочлена f(x), то отсюда совсем

не следует, что дробь qp – корень f(x). Например, если

f (x) x3 3x2 x 4 , то число 2 является делителем свободного члена, но не является корнем многочлена f(х), так как f (2) 23 3 22 2 4 2 0 .

Из теоремы 10.4 следует, что для нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами нужно выписать все делители свободного члена, все делители старшего коэффициента, составить из этих чисел несократимые дроби и проверить какие из полученных дробей являются корнями многочлена.

Для уменьшения количества вычислений и упрощения перебора полезна следующая теорема.

Теорема 10.6. Если несократимая дробь qp является кор-

нем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то для лю-

Тогда для любого целого числа k вытекает

83

делится на двучлен qk p . Так как числа p и q взаимно про-

84

p qk . Так как числа p и q – взаимно простые получаем, что

Решение. Многочлен x3 4x2 10x 12 имеет целые коэффициенты. По следствию 10.5 рациональные корни этого многочлена, если они есть, являются целыми и находятся среди делителей свободного члена. Поэтому искать рациональные корни следует среди

чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12. Проверкой убеждаемся, что число –2 является корнем многочлена. По теореме Безу многочлен делится

на x + 2. Выполнив деление, получим (x 2)(x2 2x 6) 0 . Решая

лые, поэтому сразу применить следствие 10.5 нельзя. Рассмотрим

85

Пример 41. Найдите рациональные корни многочлена f (x) 2x3 5x2 12x 5 .

Решение. Рациональные корни многочлена будем искать в виде дроби qp . Возможные значения для числителя дроби p: 1; 5,

возможные значения для знаменателя дроби q: 1; 2 (знак считаем присоединенным к числителю). Возможные значения рациональ-

ных корней: 1; 5; 0,5; 2,5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0,5 – корень многочлена f(х). По теореме Безу многочлен f(х) делится на двучлен x 0,5 . Выполнив деление, по-

лучим f (x) (x 0, 5)(2x2 4x 10) (2x 1)(x2 2x 5) .

Пример 42. Разложите на неприводимые над полем множи-

тели многочлен f (x) x4 3x3 2x2 12x 8 .

Решение. Многочлен f(х) – нормированный, поэтому его рациональные корни (если они существуют) являются целыми и находятся среди делителей свободного члена. Искать рациональные корни следует среди чисел 1; 2; 4; 8.

Проверкой убеждаемся, что число (–1) – корень многочлена

(x 2)(x2 4x 4) . Применив формулу сокращенного умножения, получим искомое разложение многочлена f(х) на множители:

рень многочлена f(x), то 1 – корень многочлена g(x) и обратно.

86

Найдем значение многочлена g(x) в точке 1 1 :

g 1 an 1 n an 1 1 n 1 ... a1 1 a0

Пример 44. Найдите все действительные корни многочлена f (x) 14x3 x2 5x 1 .

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся утверждением, доказанным в примере 43.

Найдем корни многочлена g(x) x3 5x2 x 14 . Многочлен g(x) – нормированный и его рациональные корни – целые числа.

Решение. Если несократимая дробь qp является корнем много-

члена f(x), то 6 p , а 2 q . Делителями числа 6 являются числа1, 2, 3, 6 , а делителями числа 2 – числа 1, 2 (знак присоединен к числителю). Поэтому рациональные корни многочлена, если

87

они есть, находятся среди чисел 1; 2; 3; 6; 0,5; 1,5. Для упрощения перебора воспользуемся тем, что если дробь qp являет-

ся корнем многочлена f(x), то значение выражения qkf (k)p при

любом целом k, в частности, при k 1 должно быть целым числом (заметим, что значение заданного в примере многочлена при

k 1 отлично от нуля). Рассмотрим значения qf (1)p и qf ( 1)p при

различных значениях p и q. Они должны быть целыми. Имеем f(1) = –15, f(–1) = 5.

Составим таблицу, в которую запишем «ц», если исследуемая дробь принимает целое значение и «д», если – дробное. Причем если в первой заполняемой строчке появилась буква «д», то клетку под ней можно не заполнять.

Видим, что «кандидатами» в рациональные корни многочлена являются только числа –2; –0,5; 1,5; –1,5. Подстановкой в много-

88

Для нахождения заданного числа, получили кубическое урав-

нение x3 3x 76 0 . Многочлен, стоящий в правой части уравнения, обозначим через f(x). Возможные значения целых корней многочлена 1, 2, 4, 19 . Непосредственной проверкой убеж-

ствительных корней. Таким образом, x = 4 – единственный корень

многочлена следует искать среди чисел 1, 12 , 14 , 18 . Проверка

показывает, что ни одно из этих чисел не является корнем многочлена f(x). Следовательно, f(x) не имеет рациональных корней и

89

а) f (x) x3 7x 6 ;

б) f (x) x4 2x3 3x2 4x 4 ; в) f (x) x4 2x3 11x2 12x 36 ; г) f (x) x4 5x3 x2 21x 18 ;

д) f (x) x5 4x4 19x2 28x 12 .

88.Разложите многочлен f(x) на неприводимые над полем

множители:

а) f (x) x3 x2 29x 45 ;

б) f (x) x4 2x3 5x2 22x 24 ; в) f (x) x4 2x3 6x2 7x 6 ; г) f (x) x4 x3 3x2 5x 6 ;

д) f (x) x5 x4 4x3 5x2 x 2 ;

е) f (x) x5 4x4 2x3 10x2 15x 6 ;

90