Многочлены над областями целостности (теория и приложения). Учебное пособие

д) f (x) 3x5 5x4 5x3 5x2 3x 3 , g(x) 2x3 x2 x 3 ;

е) f (x) x6 8x5 22x4 43x3 70x2 57x 39 ,

3[x] .

61

75.Известно, что f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(х), где d(х) –

наибольший общий делитель f(x) и g(x). Чему равен наибольший общий делитель многочленов u(x) и v(x).

76.Докажите, что многочлены u(x) и v(x), построенные в

теореме 7.3, удовлетворяют условиям deg u(х) < deg g(х) –

–deg d(х) и deg v(х) < deg f(х) – deg d(х).

77.Пользуясь алгоритмом Евклида, подберите многочле-

ны u(x) и v(x) так, чтобы выполнялось равенство f(x)u(x) + + g(x)v(x) = d(х), где d(х) – наибольший общий делитель f(x) и g(x), если:

§ 8. Наименьшее общее кратное многочленов. Результант

Многочлен h1(x) называется общим кратным многочле-

нов f(x) и g(x), если он делится на каждый из этих многочле-

нов ( h1 (x) f (x), h1(x) g(x) ).

Многочлен h(х) называется наименьшим общим кратным (НОК) многочленов f(x) и g(x), если он удовлетворяет условиям:

а) h(х) делится на f(x) и g(x);

б) любое общее кратное многочленов f(x) и g(x) делится на h(х).

Наименьшее общее кратное многочленов f(x) и g(x) обо-

Совокупность всех общих кратных многочленов f(x) и g(x) является пересечением главных идеалов кольца, порождаемых этими многочленами, т.е. это идеал ( f (x)) (g(x)) . Об-

разующий многочлен этого идеала будет наименьшим общим кратным многочленов f(x) и g(x).

62

Если d(x) – наибольший общий делитель, а h(х) – наименьшее общее кратное многочленов f(x) и g(x), то они

где с – некоторый элемент поля Р.

Понятие наименьшего общего кратного можно ввести для любого конечного множества многочленов. Многочлен h(х)

называется наименьшим общим кратным многочленов f1(x), f2 (x),..., fm (x) , если он удовлетворяет условиям h(х)

делится на каждый из заданных многочленов и любое общее кратное многочленов делится на h(х).

Из формулы (8.2) следует, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых многочленов равно их произведению (с точностью до множителя из Р).

Заметим, что многочлены f(x) и g(x) не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда степень их наименьшего общего кратного меньше, чем сумма степеней сомножителей.

Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель двух конкретных многочленов и выяснить являются ли они взаимно простыми. Однако он не дает в явном виде условий на коэффициенты многочленов, при которых два многочлена будут взаимно просты. Аналогичная ситуация возникает и в линейной алгебре: наиболее удобный для решения системы линейных уравнений метод Гаусса не дает условий на коэффициенты системы, при которых система будет совместна. Такие условия получаются при помощи понятий ранга матрицы и определителя.

Найдем условия на коэффициенты двух многочленов, при выполнении которых многочлены будут взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное h(х) многочленов f(x) и g(x) представимо в виде h(х) = f(x)u(x) и h(х) = g(x)v(x), где u(x) и

63

v(x) – некоторые многочлены. Имеем deg h(x) = deg f(x) +

Таким образом, если многочлены f(x) и g(x) не взаимно просты, то существуют такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x) = g(x)v(x) и deg u(x) < deg g(x), deg v(x) < deg f(x).

Обратно, пусть наименьшее общее кратное h(х) многочленов f(x) и g(x) имеет вид h(х) = f(x)u(x) = g(x)v(x) и многочлены u(x) и v(x) удовлетворяют условию (*). Тогда deg h(x) < < deg f(x) + deg g(x) = deg(f(x)g(x)) и многочлены f(x) и g(x) не являются взаимно простыми.

Вопрос о взаимной простоте многочленов f(x) и g(x) сводится к вопросу о существовании многочленов u(x) и v(x), удовлетворяющих условию (*) и таким, что f(x)u(x) = = g(x)v(x). Выясним, когда такие многочлены существуют, и найдем их вид. Пусть

f (x) a0 xn a1xn 1 ... an 1x an , g(x) b0 xm b1xm 1 ... bm 1x bm ,

u(x) u1xm 1 u2 xm 2 ... um 1x um ,

v(x) v1xn 1 v2 xn 2 ... vn 1x vn .

Не нарушая общности, можно считать, что степени многочленов u(x) и v(x), равны m – 1 и n – 1, так как они меньше степеней многочленов g(x) и f(x) соответственно.

Предположим для определенности, что m n . Каждое из произведений f(x)u(x) и g(x)v(x) – многочлен степени не вы-

ше m + n – 1.

Коэффициенты произведения f(x)u(x), записанные в столбец, имеют вид

64

Аналогично коэффициенты произведения g(x)v(x), записанные в столбец, имеют вид

Приравняв коэффициенты произведений f(x)u(x) и g(x)v(x) при одинаковых степенях х и перенеся все члены уравнений в левую часть, получим систему, состоящую из m + n линейных однородных уравнений относительно переменных

u1, u2 ,..., um , v1, v2 ,..., vn . Запишем матрицуэтой системы:

65

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы А этой системы равен нулю.

Умножим для удобства последние n столбцов матрицы А на (–1), транспонируем ее, вычислим определитель и если определитель detA равен нулю, то многочлены f(x) и g(x) не являются взаимно простыми.

Этот определитель называется результантом многочленов f(x) и g(x) и обозначается R(f, g). В первых m строках результанта записаны коэффициенты многочлена f(x), в последних n строках – коэффициенты многочлена g(x).

Мы доказали теорему.

Теорема 8.1. Многочлены f(x) и g(x) над полем Р не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда их результант R(f, g) равен нулю.

Замечание. Если не предполагать, что коэффициенты a0, b0 отличны от нуля, то обращение в нуль результанта R(f, g) остается необходимым условием того, что многочлены f(x) и g(x) не будут взаимно простыми.

Результант R(f, g) многочленов f(x) и g(x) – это однородный многочлен (полиномиальная функция) от их коэффици-

ентов степени m относительно a0 , a1,..., an и степени n относительно b0 , b1,..., bm .

66

Пример 34. Являются ли многочлены

а) f (x) 2x4 5x2 x 1 и g(x) x3 3x2 1 ;

б) f (x) x3 3x2 2 и g(x) 2x3 x2 2x 1

взаимно простыми?

Решение. а) Найдем результант этих многочленов

Вычисляя этот определитель, находим, что R(f, g)=543. Следовательно, по теореме 8.1 многочлены f(x) и g(x) взаимно простые.

б) Так как

Интересное приложение находит результант при исключении переменных из системы двух алгебраических уравнений с двумя переменными, хотя бы одно из уравнений которой нелинейно.

Пусть дана система уравнений

где f(x, у) и g(x, у) – многочлены над полем Р. Запишем эти многочлены по убывающим степеням х:

f(x) a0 (y)xn a1( y)xn 1 ... an 1( y)x an ( y) ,

g(x) b0 ( y)xm b1( y)xm 1 ... bm 1( y)x bm ( y) ,

67

где ai ( y) и bj (y) – многочлены из кольца P[x]. Найдем ре-

зультант R(f, g), рассматривая f(x, у) и g(x, у) как многочлены от переменной х. Этот результант есть многочлен из кольца P[у]. Обозначим его R(у).

Предположим, что система (**) имеет в поле Р решение ( , ). Тогда многочлены

имеют общий корень . Поэтому они имеют над полем Р общий делитель положительной степени. Следовательно, их результант, равный R( ), должен быть равен нулю. Обратно, если – корень результанта R(у), т.е. R( ) = 0, то если хотя бы один из коэффициентов a0( ) или b0( ) отличен от нуля,

многочлены f(x, ) и g(x, ) имеют общий корень.

Таким образом, решение системы уравнений (**) сведено к решению уравнения R(у) = 0 с одной переменной у. Говорят, что уравнение R(у) = 0 представляет собой результант исключения переменной х из системы уравнений (**).

Пример 35. Решите систему уравнений

x2 y2 x2 y x y 0,

xy2 2xy 1 0.

Решение. Исключим из системы х. Для этого запишем левые

Вычисляя определитель, получим

68

R( y) y2 y y( y2 2y)2 y2 2y y[( y2 2 y)2 1] . Уравнение

R( y) y[( y2 2 y)2 1] y( y 1)2 ( y2 2 y 1) 0 имеет корни –1,

стема имеет решение х= –1. Получаем еще два решения исходной

д) f (x) x3 2x 3 и g(x) x2 2 2 .

69

80. Исключите х из системы уравнений:

а) x2 xy y2 3 0,x2 y xy2 6 0;

б) x22 3xy y22 2 0,2x xy 3y 1 0;

в) x3 xy y3 y 0,x2 x y2 1 0.

81. Решите с помощью результанта систему уравнений:

§ 9. Разложение многочленов на неприводимые множители

В§ 7 было дано определение неприводимых многочленов.

Втеории многочленов неприводимые многочлены играют ту же роль, что простые числа в арифметике.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 9.1. Всякий многочлен f(x) над полем Р, степень которого n 1, может быть разложен в произведение неприводимых над полем Р многочленов, причем это представ-

70