Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
91
8
1
6
7
2
4
3
5
D
a
1
8
1
6
7
2
4
3
5
a
2
a
3
a
4
a
5
a
7
a
8
a
9
a
10
a
6
D
8,7,6,5,4,3,2,1
D
V
8DVn
Пример выполнения ИДЗ 3
1. Рассмотрим орграф D.
Присвоим его дугам метки.
Множество вершин
, мощность множества вершин
.
92
10987654321
,,,,,,,,, aaaaaaaaaaAD
10DAm
2
a
7
a
6
a
полустепень исхода
полустепень захода
1)1(
1)1(
1)2(
2)2(
2)3(
2)3(
000001008
001000007
000000006
001000105
000011004
000000113
000100002
000010001
87654321
D
A
10000000008
01000000007
01100000006
00110000105
00001100014
10000111003
00010010102
00000001011
10987654321
aaaaaaaaaa
I
D
Множество дуг
ства дуг
.
Так как в орграфе D присутствуют и кратные дуги (
(
), то D – ориентированный псевдограф.
2. Матрица смежности орграфа D
, мощность множе-
и
), и петля
3. Матрица инцидентности орграфа D
4. Степени вершин
93
2)4(
2)4(
2)5(
1)5(
0)6(
2)6(
1)7(
0)7(
1)8(
0)8(
mii
n
i
n
i
1
_
1
)()(
10)(
8
1
i
i
10)(
8
1
i
i
10m
e
2
8
1
6
7
2
4
3
5
e
3
e
4
e
5
e
7
e
8
e
9
e
10
e
1
e
6
G
8,7,6,5,4,3,2,1
G
V
8GVn
10987654321
,,,,,,,,, eeeeeeeeeeEG
10GEm
4
e
5
e
8
e
Проверка:
В нашем случае
5. Отменим ориентацию дуг и получим неориентированный граф G.
Присвоим его ребрам метки.
.
,
,
– верно.
Множество вершин
.
ребер
Множество ребер
.
Так как в орграфе G присутствуют и кратные ребра (
(
), то G – неориентированный псевдограф.
, мощность множества вершин
, мощность множества
и
), и петля
94
2)1(
3)5(
3)2(
2)6(
4)3(
1)7(
4)4(
1)8(
mi
n
i
2)(1
20)(
8
1
i
i
201022 m
00010000008
10000000007
11000000006
01000110005
00201000104
00011001013
00000111002
00000000111
10987654321
eeeeeeeeee
I
G
000001008
001000007
010100006
001000205
000021014
100010113
000201002
000011001
87654321
G
A
6. Матрица смежности графа G
7. Матрица инцидентности графа G
8. Степени вершин графа G
Проверка:
В нашем случае
.
,
– верно.
95
a
1
8
1
6
7
2
4
3
5
a
2
a
3
a
4
a
5
a
7
a
8
a
9
a
10
a
6
D
1
S
4,3,1
1
V
2
S
100000008
010000007
001000006
000100105
000011014
000011013
000100102
000011011
87654321
1
SS
Пример выполнения ИДЗ 4
Рассмотрим ориентированный граф D.
1. Построим матрицу компонент сильной связности (КСС) S.
столбцы с номерами 1, 3 и 4. Вершины 1, 3 и 4 образуют КСС
Удалим из матрицы
строки с номерами 1, 3 и 4 и, соответственно,
.
2. Рассмотрим матрицу
.
96
5,2
2
V
3
S
3
S
6
3
V
7
4
V
8
5
V
1008
0107
0016
876
3
S
100008
010007
001006
000115
000112
87652
2
S
Удалим из матрицы
столбцы с номерами 2 и 5. Получили КСС
3. Рассмотрим матрицу
строки с номерами 2 и 5 и, соответственно,
.
.
Так как матрица
представляет собой единичную матрицу, то остав-
шиеся вершины образуют независимо друг от друга КСС, т.е.
.
Таким образом, данный орграф Dсодержит 5 КСС.
,
,
97
8
1
6
7
2
3
5
e
3
e
4
e
5
e
7
e
8
e
1
e
6
4
e
2
G
3
e
4
e
6
e
7
e
8
e
4,3,1
3,2
5,2
8,3
6,5
7,6
4,3,1
2
5
6
7
8
Пример выполнения ИДЗ 5
Построим ассоциированный граф G к орграфу D (ИДЗ 3). При этом:
1) отменяем ориентацию дуг, т.е. граф G будет неориентированным;
2) удаляем петли;
3) кратные дуги заменяем одним ребром.
1. Точки сочленения, мосты, блоки, листы
1) Точки сочленения: 2, 3, 5, 6, так как при удалении одной из этих вер-
шин увеличивается число компонент связности.
2) Мосты:
,
,
,
,
, так как при удалении одного из этих ребер
увеличивается число компонент связности.
3) Блоки:
4) Листы:
2. Найдем метрические характеристики графа.
1) Построим матрицу расстояний
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
98
5)1( e
3)2( e
4)3( e
5)4( e
3)5( e
4)6( e
5)7( e
5)8( e
3)( Gr
5)( Gd
5,2
8,7,4,1
)(GL
87654321)(
,,,,,,, eeeeeeeeV
GL
i
e
j
e
)(GL
i
e
j
e
054321228
501254357
410143246
321032135
254301214
143210113
232121022
254311201
87654321
G
D
2) Эксцентриситеты. Эксцентриситет вершины u – это максимальное из
расстояний от этой вершины до всех остальных вершин. Поэтому достаточно
определить максимальные значения в строке или столбце матрицы D. Таким
образом,
,
,
,
,
3) Радиус графа – это минимальный из эксцентриситетов, поэтому
.
4) Диаметр графа – это максимальный из эксцентриситетов, поэтому
.
5) Центральные вершины – это вершины, для которых их эксцентриси-
тет равен радиусу. Таким образом, множество
6) Периферийные вершины – это вершины, для которых эксцентриситет
равен диаметру графа. В данном случае множество
периферийных вершин.
3. Рёберный граф
Построим реберный граф
. При этом:
,
,
,
образует центр графа.
образует множество
.
1) множество вершин
2) вершины
и
смежны в графе
, если ребра
;
и
смежны в G.
99
e
2
e
1
e
3
e
4
e
6
e
7
e
8
e
5
EIIA
G
T
GGL2)(
)(GL
001000008
100000007
110000006
010010005
000100104
001101013
000011002
000000111
87654321
eeeeeeee
I
G
Проверка:
.
Матрица инцидентности графа G
Матрица смежности реберного графа
100
01000000
10001000
00010101
00100111
01000100
00111001
00010001
00110110
20000000
02000000
00200000
00020000
00002000
00000200
00000020
00000002
21000000
12001000
00210101
00120111
01002100
00111201
00010021
00110112
2
00100000
10000000
11000000
01001000
00010010
00110101
00001100
00000011
01100000
00110000
10000100
00001100
00010010
00000110
00001001
00000101
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
)(
e
e
e
e
e
e
e
e
eeeeeeee
EA
GL
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]