Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
31
);( ca
);( ac
ca
);( ca
);( bc
);( ba
BA
является антисимметричным (
(
ρ,
ρ, но
ρ).
ρ и
ρ, но
), не транзитивно
Бинарное отношение ρ на множестве Х называется отношением эквива-
лентности на множестве Х, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
П р и м е р ы .
1) отношение равенства,
2) отношение параллельности прямых на множестве прямых на плоскости,
3) отношение подобия фигур на плоскости.
Бинарное отношение ρ на множестве Х называется отношением частичного
порядка на множестве Х, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
П р и м е р ы .
1) отношение равенства,
2) отношение предшествования,
3) во множестве подмножеств некоторого универсального множества U
отношение
.
32
ТЕМА 3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
3.1. Определение графа
В создании Леонардом Эйлером теории графов виновны мосты города
Кенингсберга (ныне Калининграда). Кенигсберг расположен на двух берегах
реки, соединенных между собой мостами (рис. 3.1). С XVIII века у жителей города возникла традиция: во время прогулки пройти по всем мостам не более
одного раза. К сожалению, этого сделать никому не удавалось. Леонард Эйлер,
выдающийся математик, а также член Петербургской академии наук в 1736 году заинтересовался этой интересной проблемой.
Рис. 3.1. Мосты Кенигсберга
Он сформулировал правило, используя которое можно легко ответить на
этот вопрос. В случае с Кенингсбергом сделать это оказалось нельзя. Правило
заключалось в том, что части суши на рисунке Эйлера обозначались точками,
мосты – линиями, соединяющими данные точки (рис. 3.2). Точки, от которых
отходит нечетное число линий, называются нечетными точками. Рисунок с более чем с двумя нечетными точками оказалось невозможными нарисовать одним росчерком.
33
n
vvvV ,...,,
21
m
eeeE ,...,,
21
VVE
jil
vve ,
ml ,...,1
nji ,...,1,
G
n
vvv ,...,,
21
m
eee ,...,,
21
),( EV
G
V
G
E
Рис. 3.2. Граф мостов Кенигсберга
Казалось бы от такого странного открытия нет никакой практической
пользы. Однако же выгода нашлась, и еще какая! Теория графов, созданная
Леонардом Эйлером, легла в основу проектирования транспортных а также
коммуникационных систем, она применяется в информатике а также
программировании, в химии, физике и иных областях науки.
Рассмотрим непустое множество
. Множество E определим так, что
,
Граф
задается множеством точек или вершин
.
ством пар вершин или ребер
, которые графически обозначаются ли-
и множество
, т.е.
и множе-
ниями, соединяющими между собой все или часть этих точек. Таким образом,
граф полностью задается (и обозначается) парой
.
Множества вершин и ребер графа G будем соответственно обозначать
,
и
. Вершины и ребра графа называются его элементами.
Граф называется помеченным, если его вершинам присвоены некие мет-
ки, например 1,2,…,n.
Наглядным способом представления графа является рисунок (диаграм-
ма), на которой вершины изображены точками (или кружками), а ребра – линиями, соединяющими изображения вершин реберной пары (рис. 3.3 (а)).
34
2
1 4
5
3
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
2
1
3
54
1 32
Рис. 3.3 (б). Неориентированный
мультиграф
Рис. 3.3 (в). Неориентированный
псевдограф
),( EV
E
П р и м е р ы .
Рис. 3.3 (а). Неориентированный граф
Иногда приведенное выше определение графа оказывается недостаточ-
ным и приходится рассматривать более общие объекты, в которых вершины
могут соединяться более, чем одним ребром. Так возникает понятие мультиграф.
Мультиграф – это пара
– комплект неупорядоченных пар вершин (рис.3.3 (б)). То есть, в мультигра-
фе допускаются кратные ребра.
Но кроме кратных ребер допускаются еще петли, то есть ребра, соеди-
няющие вершину саму с собой.
, где V – непустое множество вершин, а
35
),( EV
E
m
aaaA ,...,,
21
),(
jil
vva
ml ,...,1
nji ,...,1,
),( AV
5
1 2
3
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
3
1 2
4
Псевдограф – это пара
, где V – непустое множество вершин, а
– комплект неупорядоченных пар вершин, не обязательно различных
(рис. 3.3(в)).
Если ребра из множества E имеют направление (что обычно показыва-
ют стрелками), то они называются дугами, а граф – ориентированным. Для
простоты множество дуг ориентированного графа будем обозначать через
. Каждый элемент этого множества представляет собой пару
,
,
. Таким образом, получилась пара
.
П р и м е р ы .
Рис. 3.4 (а). Ориентированный граф
Рис. 3.4 (б). Ориентированный мультиграф
36
а
5
4
а
4
а
3
а
2
2
3
1
а
1
),(
111
EVG
),( EVG
,u
u
u
VV
1
uиЕuилиЕuuE ),(),/(,
),(uи ),( u
u
,u
D
5
6
1
4
3
3
2
G
5
6
21
4
3
Рис 3.5. Граф и ассоциированный с ним
Рис. 3.4 (в). Ориентированный псевдограф
Неориентированный граф
ориентированным графом
, если множество его вершин совпадает с
множеством вершин ориентированного графа G,а пара
называется ассоциированным с
образуют ребро
из uв или из в uведет дуга, т.е.
и
(рис. 3.5).
Таким образом, переход от ориентированного графа к ассоциированному с ним неориентированному графу состоит в «стирании» ориентации дуг
ориентированного графа с учетом того, чтобы петли исчезли, а дуги
при
переходят в одно и то же ребро
.
П р и м е р .
3.2. Основные характеристики графа и его элементов
на рис. 3.4 (а) имеют мощность 5. Мощность множества вершин графа (поря-
Порядком графа называют мощность множества его вершин V. Графы
37
nV
mE
),( mn
i
v
j
v
vue ,
)(vN
G
1
e
3
e
4
e
1
e
3
e
4
e
4,2)3(
G
N
,иначе,0
,ребро,если, jik
a
ij
ji,
док)
, а мощность множества ребер
, тогда граф называют
графом.
Если вершины
и
соединены ребром (ребрами), то говорят, что эти
вершины смежны. Смежными также называют и ребра с общей вершиной.
Если
– ребро, то вершины u и v называют его концами.
Про ребро и вершину, которая является его концом, говорят, что они ин-
цидентны.
Окружением вершины v графа G называют смежные с ней вершины и
обозначают
На рис. 3.4 (а) вершины 1 и 4 – смежны, а 3 и 5 – нет. Ребра
смежны, а вершина 2 инцидентна ребрам
.
,
и
,
и
. Окружение вершины
.
–
Для ориентированных графов существуют ориентированные мультиграфы (рис. 3.4 (б)) и псевдографы (рис. 3.4 (в)).
3.3. Матричное представление графов. Степени вершин
Существует два основных способа описать граф, используя при этом по-
нятие матрицы.
1. Матрица смежности – квадратная матрица A порядка n, элементы
которой определяются следующим образом:
– для неориентированного графа
здесь k – количество ребер, соединяющих вершины i и j.
Если
– петля, то значение диагонального элемента равняется 2k.
Матрица смежности неориентированного графа симметрична;
38
,иначе,0
,дуга),(если, jik
a
ij
mn
.иначе,0
,петлейявляетсяребровершиневесли,2
,ребруинцидентнавершинаесли,1
l
l
ml
em
em
i
.иначе,0
,петля если,1
,дугиконцомявляетсявершинаесли,1
,дугиначаломявляетсявершинаесли,1
l
l
l
ml
a
am
am
i
1
3
2
4
5
e
1
e
2
e
3
e
6
e
4
e
5
e
7
e
8
– для ориентированного графа
здесь k – количество дуг, соединяющих вершины i и j.
В случае ориентированного графа матрица смежности необязательно яв-
ляется симметричной.
2. Матрица инцидентности (инциденций) – матрица I размера
элементы которой определяются следующим образом:
– для неориентированного графа
– для ориентированного графа
П р име р . Рассмотрим неориентированный граф (рис 3.6).
,
Построим для этого графа матрицы смежности и инцидентности.
Рис. 3.6. Неориентированный граф
39
1
6
4
2
35
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
0000016
0200005
0101004
0010003
0001002
1111121
654321
A
210100005
010010004
002001113
000111102
000000011
87654321
eeeeeeee
I
210105
100104
002213
112002
001001
54321
A
П р и м ер. Рассмотрим ориентированный граф (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Ориентированный граф
Построим для этого графа матрицы смежности и инцидентности.
40
1000001000006
0110000100005
0011100010004
0001110001003
0000010000102
1000001111111
121110987654321
aaaaaaaaaaaa
I
)(v
)(G
)(G
)(max)( vG
G
Vv
)(min)( vG
G
Vv
kGG )()(
mv
G
Vv
2)(
)(v
)(v
mvv
GG
VvVv
)()(
Степенью (или валентностью) вершины графа G называется число ин-
цидентных ей ребер. Петля вносит в степень соответствующей вершины двойку. Будем обозначать степень вершины v через
.
Максимальная и минимальная степени вершин графа G обозначаются
символами
и
соответственно:
,
Если степени всех вершин графа равны k, то граф называется регулярным
степени k. В этом случае
.
Список степеней вершин графа называется его степенной последова-
тельностью. Порядок членов этой последовательности роли не играет.
Вершина степени 0 называется изолированной, вершина степени 1 – кон-
цевой (или висячей).
Каждое ребро вносит в сумму степеней всех вершин графа двойку, по-
этому справедлива следующая лемма.
Л е м м а 3 . 1 . Сумма степеней всех вершин графа – четное число, рав-
.
ное удвоенному числу ребер:
.
Для вершин ориентированного графа определяются две локальные степе-
ни:
– количество выходящих из v ребер (полустепень исхода), и
–
количество входящих в вершину v ребер (полустепень захода). Петля дает 1 в
обе эти степени.
Л е м м а 3 . 2 . Сумма полустепеней исхода равна сумме полустепеней за-
хода всех вершин графа и равна числу ребер:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]