Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
51
)()()( GGG
)(G
2
3
1
G
1
2
3
G
2
4 5 6
7
9
8
10
1
Т е о р е м а 3.4 . Для любого графа G верны неравенства:
,
где
– минимальная степень вершин графа.
Б е з д о к а за т е л ь с т в а .
3.5.3. Двусвязные графы
Неориентированный граф называется двусвязным, если он связен и не
содержит точек сочленения (рис. 3.23).
Рис. 3.23. Двусвязный граф G1
Произвольный максимально возможный двусвязный подграф графа G
называется компонентой двусвязности или блоком этого графа.
П р и м е р .
Рассмотрим граф G2 (рис. 3.24 (а)). Выделим блоки {1, 2, 4, 3}, {4, 5},
{5, 6}, {6, 7, 8}, {6, 9, 10} (рис. 3.24 (б)).
Рис. 3.24 (а). Граф G
2
52
6
9
10
2
3
41
4 5
5 6
6
7 8
1 3
2 4
5
5
G
1
1 3
2 4
6
G
2
8 9
5
7
10
11
Рис. 3.24 (б). Блоки графа G
Неориентированный граф называется реберно-двусвязным, если он
связный и не содержит мостов (рис. 3.25).
Произвольный максимально возможный реберно-двусвязный подграф
графа G называется листом этого графа.
Граф на рис. 3.26 является одним из листов графа на рис. 3.25.
П р и м е р ы .
2
Рис. 3.25. Реберно-двусвязный граф G1
Рис. 3.26. Граф
53
),( AVD
1
v
2
v
1
v
2
v
D
1
v
2
v
2
v
1
v
1
v
2
v
1
v
2
v
2
v
1
v
1
v
2
v
3
1 4
2
D
2
3
1 4
2
D
1
3
1 4
2
D
3
D
3.5.4. Связность в орграфах
В неориентированном графе две вершины либо связаны, либо не
связаны. В ориентированном графе отношение связанности несимметрично.
Пусть
вершины
и
(ориентированная цепь) из
Говорят, что две вершины
если существует путь (ориентированная цепь) либо из
Говорят, что две вершины
- орграф,
и
- его вершины. Говорят, что две
сильно связаны в орграфе
в
и из
и
и
в
.
односторонне связаны в орграфе D,
слабо связаны в орграфе D, если они
, если существует путь
в
, либо из
в
.
связаны в неориентированном графе G, полученном из D отменой ориентации
ребер.
Если все вершины в орграфе сильно (односторонне, слабо) связаны, то
орграф называется сильно (односторонне, слабо) связанным (рис. 3.27).
Очевидно, что сильная связанность влечет одностороннюю связанность,
которая влечет слабую связанность. Обратное неверно.
(а) Сильная связность (б) Односторонняя связность (в) Слабая связность
максимально сильно связные подграфы.
П р и м е р ы .
Рис. 3.27. Связность графов
Компонентой сильной связности (КСС) орграфа
Матрица КСС – это квадратная матрица порядка n, где n – число
являются его
вершин. Обозначается S и определяется следующим образом:
54
иначе.,0
,визив из путь существуетесли,1 ijji
s
ij
D
5 1
3
2 7
4 6
11010007
11010006
00101015
11010004
00101013
00000102
00101011
7654321
1
S
11107
11106
11104
00012
7642
2
S
1117
1116
1114
764
3
S
Каждая вершина графа принадлежит только одной КСС. Если вершина
не связана с другими, то считаем, что она сама образует КСС.
А л г о р и т м н а х о ж д е н и я К С С
1. k = 1; S1 = S;
2. В матрице Sk вычеркнем столбцы, в которых в первой строке стоят "1"
и строки, в которых в первом столбце стоят "1". Ввиду того, что матрица S –
симметрична, номера вычеркнутых столбцов и строк совпадут. Вершины,
соответствовавшие вычеркнутым столбцам со строками образуют k-тую
компоненту связности. В результате вычёркивания оставшиеся строки и
столбцы образуют матрицу S
3. Если в Sk остались строки и столбцы, то k = k + 1, переходим к пункту
2. Иначе – конец алгоритма.
Полученное число k – число компонент сильной связности.
П р и м е р ( рис. 3.28).
.
k+1
Рис. 3.28. Граф D
Компоненты сильной связности: {1, 3, 5}, {2}, {4, 6, 7}.
55
),( vud
0),( uud
),( vud
)(ue
),(max)( vudue
G
Vv
)(min)( ueGr
G
Vu
)(max)( ueGd
G
Vu
)(Gdl
nn
иначе,0
, если),,( jijid
d
ij
3.5.5. Метрические характеристики графа
Пусть G – неориентированный граф, а u и v – две его несовпадающие
вершины (рис. 3.29).
Расстоянием между двумя вершинами графа называется наименьшая
длина простой цепи, соединяющей эти вершины. Такая кратчайшая цепь называется геодезической. Обозначение:
При этом:
1) если вершины u и v совпадают, то
2) если не существует цепи, соединяющей вершины u и v, то
Эксцентриситет вершины u
наиболее удаленной вершины графа:
Вершину с наименьшим эксцентриситетом называют центральной.
Центральные вершины образуют центр графа.
Величина наименьшего эксцентриситета называется радиусом графа:
.
;
.
– это расстояние от вершины u до
.
.
Вершину с наибольшим эксцентриситетом называют периферийной.
Величина наибольшего эксцентриситета называется диаметром графа:
Простая цепь длины
Метрические характеристики графа удобно определять с помощью мат-
рицы расстояний D размера
.
называется диаметральной цепью.
:
56
G
1 3 5
4
7 62
n
O
4)(
2)(
3)7(
4)6(
3)5(
3)4(
2)3(
3)2(
4)1(
)(
01221237
10122346
21011235
22101234
12110123
23221012
34332101
7654321
Gd
Gr
e
e
e
e
e
e
e
ue
D
G
П р и м е р .
Рис. 3.29. Неориентированный граф
З а м е ч а н и е . Если граф несвязный, то все метрические
характеристики находятся для каждой компоненты связности отдельно.
3.6. Виды графов и операции над графами
Граф G называется пустым, если в нем нет ребер (рис. 3.30). Пустой
граф порядка n обозначается символом
Центральная вершина: 3
Периферийные вершины: 1, 6
3.6.1. Виды графов
.
57
1
O
5
O
1
1
2
5 4
1 3
2
2 4
3
1
3 2
1
O
1
O
2
O
3
O
4
O
5
n
K
2
)1(||nn
E
G
1
K
5
K
1
1
2
5 4
1 3
2
2 4
3
1
3 2
1
K
1
K
2
K
3
K
4
K
5
2121
, VVVVV
Ee
П р и м е р ы . Пустые графы
–
.
Рис. 3.30. Пустые графы
Граф G называется полным, если любые две его вершины смежны.
Полный граф порядка n обозначается символом
нем равно
(рис. 3.31). Число ребер в
П р и м е р ы . Полные графы
Граф G(V, E) называется двудольным, если множество его вершин мож-
но разбить так, что
.
–
:
Рис. 3.31. Полные графы
Ø (рис. 3.32). При этом каждое ребро
соединяет вершины из разных множеств.
58
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
(б)(а)
21
,nn
K
2211
||,|| nVnV
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
K
3,2
K
3,3
)(GL
GGL
EV
)(
1
e
2
e
)(GL
1
e
2
e
П р и м е р ы .
Рис. 3.32. Двудольные графы
Граф G(V, E) называется полным двудольным, если любая вершина из
одной доли смежна со всеми вершинными из другой доли (рис. 3.33). Обозначение:
, если
.
П р и м е р ы .
Рис. 3.33. Полные двудольные графы
Для произвольного графа G(рис. 3.34 (а)) реберный граф
(рис. 3.34 (б)) определяется следующими двумя условиями:
1)
2) вершины
и
смежны в G.
,
и
смежны в
тогда и только тогда, когда ребра
59
e
2
5 4
1 3
2
e
1
e
3
e
4
e
5
e
6
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
G L(G)
)(GL
EGIGIGLA
T
2)()())((
5 4
1
e
1
e
3
e
6
e
5
e
2
3
2
e
4
G
1000105
0100004
1111003
0011012
0000111
)(
654321
eeeeee
GI
П р и м е р .
Рис 3.34 (а). Граф G Рис 3.34 (б). Реберный граф L(G)
Граф G связан со своим реберным графом
П р и м е р .
Рис. 3.35. Граф G
следующим соотношением
.
60
e
1
e
3
e
4
e
5
e
6
e
2
L(G)
GFH
VVV
GFH
EEE
GFH
011110
101100
110201
112001
100001
001110
200000
020000
002000
000200
000020
000002
211110
121100
112201
112201
100021
001112
2
100000
010000
111100
001101
000011
10100
01100
00110
00110
10001
00011
))((
6
5
4
3
2
1
654321
e
e
e
e
e
e
eeeeee
EGLA
Рис 3.36. Реберный граф L(G)
О б ъ е д и н ен и е . Граф H называется объединением графов F и G, если
,
3.6.2. Операции над графами
. Обозначение
(рис. 3.37).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]