Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
21
5,0|;6,0|;8,0|;3,0|;1|
ˆ
yqfebA
6,0|;8,0|;7,0|;1|;7,0|;9,0|
ˆ
uohebaB
4,0|;1,0|;5,0|;1|;3,0|
ˆ
ofedbC
C
BCBA
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,,
CB
ˆ
ˆ
},,,,,,,,,{ yuqohfedbaU
]1111111111[ˆ
U
U
,5,006,0008,03,0010
ˆ
A
06,008,07,00107,09,0
ˆ
B
0004,001,05,013,00
ˆ
C
5,06,06,08,07,08,01019,0
ˆ
ˆ
BA
0004,0005,003,00
ˆ
ˆ
BC
1116,019,05,007,01ˆ
C
.00032,0005,0021,00
ˆ
ˆ
CB
П р и м е р .
Даны нечеткие множества:
,
,
.
Составить функции принадлежности и выполнить операции:
,
.
Р е ш е н и е .
Универсальное множество
Функции принадлежности
1. Объединение
.
,
,
.
.
2. Пересечение
3. Абсолютное дополнение (дополнение)
5. Произведение
.
.
22
),( yx
),( yx
),( vu
),( yx
),( yx
yx
},|{ yxyxD
},|{ yxxyR
)6,4(),4,3(),1,2(),2,1(
yxиRyxyx ,|),(
RRD
ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
2.1. Отношения
Упорядоченная пара
элементов х и у, расположенных в определенном порядке.
Две пары
Бинарным (двуместным) отношением ρ называется множество
упорядоченных пар. Если ρ есть некоторое отношение и пара
принадлежит этому отношению, то записывают
Областью определения бинарного отношения ρ называется множество
Областью значения бинарного отношения ρ называется множество
П р и м е р .
1. Множество
и
считаются равными x = u, y = v.
– это совокупность, состоящая из двух
или
.
.
– бинарное отношение.
.
Его графическое изображение (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Графическое изображение бинарного отношения
2.
– отношение равенства, где
–
множество действительных чисел.
23
иначе
aaесли
с
ji
ij
,0
,,1
100005
010004
001003
000102
000011
54321
100005
110004
111003
111102
111111
54321
),( yx
YyXx ,
YX
XD
YR
n
XX ...,,
1
),...,(
1 n
xx
niXx
ii
,...,1,
n
XX ...
1
XXX
n
...
1
n
n
XXX ...
1
Для задания отношений на конечных множествах обычно используют
матрицы отношений.
Матрица бинарного отношения на множестве А = {a1, a2, …, am} – квад-
ратная матрица С порядка т с элементами
П р и м е р .
На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5} построим матрицы бинарных отношений
«меньше или равно» и «равно».
Прямым произведением множеств X и Y называется совокупность всех
упорядоченных пар
Обозначение:
таких, что
.
Каждое отношение ρ есть подмножество прямого произведения некото-
рых множеств X и Y таких, что
Если X=Y, то говорят, что ρ есть отношение на множестве X.
Прямым произведением множеств
всех упорядоченных n элементов
Обозначение:
.
и
.
называется совокупность
таких, что
.
.
Если
, то получаем n-ю степень множества X :
.
П р и м е р .
Пусть Х = {2, 3, 5}, Y = {1, 3}. Тогда
X×Y = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)},
Y×X = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}.
24
]2,1[],1,0[ YX
]2,1[]1,0[ YX
}),(|),{(
1
xyyx
}),(|),{(
1
yxxy
1
2
}),(),(,|),{(
2112
yzиzxzyx
1
1
1
2
1
1
1
12
.),(),(),(
1
1
1
yxxyyx
2112
1
12
),(),(),(),(
xzиzyzxyyx
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
),(),(),(),(),(
yxyzиzxzxиyz
1 1 2 X Y
0
При этом X×Y Y×X.
Пусть
Тогда
.
или графически (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Графическое представление множества
Обратным отношением для отношения называется отношение
Композицией отношений
и
или
называется отношение
.
.
Свойства обратного отношения:
1.
2.
,
.
Доказательство:
1.
2.
.
25
fyx ),(
fzx ),(
zy
f
D
f
R
XDf
YRf
YXf :
)(xfy
)},(),,(),6,2(),4,1{(
1
ca
)}5,3(),7,2(),3,2{(
2
2
)3,2(
2
)7,2(
22
73
}|23,{
2
3
Rxxxx
232 xxy
YXf
n
:
)...,,(
1 n
xxfy
n
xx ...,,
1
2.2. Функции и отображения
Бинарное отношение f называется функцией, если из
следует, что
.
и
Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Область определения функции
и область значений функции
определяются так же, как и для бинарного отношения.
Если
и
, то говорят, что функция f задана на множестве
Х со значениями во множестве Y и осуществляет отображение множества Х во
множество Y. Другими словами, устанавливает соответствие между множествами Х и Y.
Это отображение обозначается следующим образом:
.
Если f – функция, то записывают
и говорят, что у – значение,
соответствующее аргументу х, или у – образ элемента х при отображении f.
При этом х называют прообразом элемента у.
П р и м е р .
1) отношение
2) отношение
и
поненты не равны, т.е.
3) отношение
обозначают
Если
записывают
не является функций, т.к.
, при этом первые компоненты пар равны, а вторые ком-
, но
;
.
, то f называют п-местной функцией из Х в Y. При этом
и говорят, что у – значение функции при значении
является функцией;
является функцией. Обычно
аргументов
.
26
YXf :
yxx ,,
21
)(1xfy
)(2xfy
21
xx
Yy
Xx
)(xfy
YXf :
3,2,1,: iRRf
i
x
exf )(
1
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
0
x
exf )(
1
xxxf 3)(
3
2
Пусть
.
Функция (отображение) f называется инъективной (инъективным), если
для любых
из
и
следует, что
.
Функция (отображение) f называется сюръективной (сюръективным),
если для любого элемента
существует элемент
такой, что
Функция (отображение) f называется биективной (биективным), если f
одновременно сюръективна (сюръективно) и инъективна (инъективно).
Если существует биективная функция
, то говорят, то f осу-
ществляет взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y.
П р и м е р .
Пусть
1) функция
, X=R, Y=R, R – множество действительных чисел.
(рис. 2.3) является инъективной, но не сюръективной;
.
Рис. 2.3. Функция
2) функция
ективной;
(рис. 2.4) является сюръективной, но не инъ-
27
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
xxxf 3)(
3
2
25)(
3
xxf
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
25)(
3
xxf
}),(),(,|),{( gyzиfzxzyxfg
3) функция
Рис. 2.4. Функция
(рис. 2.5) является биективной.
Композиция двух функций f и g есть отношение
Рис. 2.5. Функция
.
28
ZYgYXf :,:
ZXfg :
fgyx ),(
fux ),(
gyu ),(
fgzx ),(
fvx ),(
gzv ),(
vu
zy
XXe
X
:
Xx
xxe
X
)(
YXf :
fefffe
XY
,
1
f
1
f
1
f
YXf :
XYf
:1
1
f
1
1
),(
fxy
1
2
),(
fxy
fyx ),(
1
fyx ),(
2
21
xx
1
f
Yy
У т в е р ж д е н и е 2 . 1 . Композиция двух функций есть функция. При
этом, если
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Если
Если
Поскольку f – функция, то
Доказательство завершено.
У т в е р ж д е н и е 2. 2 . Композиция двух биективных функций есть би-
ективная функция.
Тождественным отображением множества Х в себя называется отоб-
ражение
, то
Пусть
– отношение, обратное f. При определенных условиях отно-
, то
, то существует такое u, что
, то существует такое v, что
; поскольку g – функция, то
такое, что для любого
.
.
и
и
.
.
.
. Тогда, если
шение
осуществляет отображение множества Х во множество Y, то
будет функцией. Тогда его называют обратной функцией. Если f
называют об-
ратным отображением.
У т в е р ж д е н и е 2 . 3 . Отображение
ражение
тогда и только тогда, когда f – биекция.
имеет обратное отоб-
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Если f – биекция, то, поскольку f сюръективно,
жестве Y. Кроме того, f – функция, т.к. если
и
, а в силу инъективности f получаем
Пусть теперь отображение f имеет обратное отображение
определено на мно-
и
, то
.
, опреде-
ленное на множестве Y со значениями во множестве со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно, поскольку любой элемент
имеет прообраз
29
Xx
fyx ),(
1
fyx ),(
2
1
1
),(
fxy
1
2
),(
fxy
1
f
21
xx
1
f
ff
1
1
11
1
gffg
YXf :
X
eff
1
Y
eff
1
Xx
Xx
Xyx ,
Xyx ,
Xzyx ,,
. При этом f инъективно, т.к. если
и
, а поскольку
– функция, то
Доказательство завершено.
З а м е ч а н и е . Для того, чтобы обратное отношение
ей, достаточно инъективности функции f.
Свойства инъективных функций f и g.
1.
2.
Если
3.
4.
.
.
– биекция, то
.
.
и
, то
.
было функци-
2.3. Специальные бинарные отношения
а) Отношение ρ на множестве Х называется рефлексивным, если для лю-
бого элемента
Главная диагональ матрицы содержит только 1.
б) отношение ρ на множестве Х называется антирефлексивным, если для
любого элемента
Главная диагональ матрицы содержит только 0.
2.3.2. Симметричность
а) отношение ρ на множестве Х называется симметричным, если для
любых
Матрица симметрична относительно главной диагонали.
б) отношение ρ на множестве Х называется антисимметричным, если
из хρу следует уρх.
2.3.1. Рефлексивность
выполняется хρх.
не выполняется хρх.
для любых
Отношение ρ на множестве Х называется транзитивным, если для лю-
бых
из хρу и уρх следует х=у.
2.3.3. Транзитивность
хρу, уρz следует хρz.
30
10004
11003
11102
11111
4321
)1;1(
1;1
)2;1(
)1;2(
)2;1(
)3;2(
)3;1(
10004
01003
00102
00011
4321
00004
10003
11002
11101
4321
10000
01001
00111
00110
01101
e
d
c
b
a
edcba
П р и м е р ы .
1)
Приведенное отношение рефлексивно, т.к., например, 1ρ1 (или
или
ρ) не является симметричным, например,
симметрично, транзитивно, т.к., например,
2)
Отношение рефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.
ρ,
ρ, но
ρ, то и
ρ,
ρ анти-
ρ.
3)
Отношение антирефлексивно, не является ни симметричным, ни анти-
симметричным, транзитивно.
4)
Отношение рефлексивно (главная диагональ матрицы содержит только
1), симметрично (матрица симметрична относительно главной диагонали), не
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]