Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Множества. Отношения. Графы. Учебное пособие
.pdf
11
.
,,0
,,1
)(
|,|)],(),...,([
1
Ux
Ax
Ax
x
Unxx
A
nAAA
].1...11[],0...00[
U
}или|{ BxAxxBA
))(),(max()( xxx
BABA
}и|{ BxAxxBA
))(),(min()( xxx
BABA
}и|{ AxUxxA
При доказательстве тождеств в теории множеств могут быть использованы не сами множества, а их так называемые характеристические функции.
Характеристическая функция множества А представляет собой пмерный вектор, если множество конечно
Характеристическая функция пустого множества состоит из нулей, характе-
ристическая функция универсального множества состоит из единиц:
1.1.2. Операции над множествами
1. Объединением множеств А и В называется множество АВ, все эле-
менты которого являются элементами множества А или В:
В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:
.
2. Пересечением множеств А и В называется множество АВ, элементы
которого являются элементами обоих множеств А и В:
.
В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:
.
.
3. Абсолютным дополнением (или просто дополнением) множества А
называется множество A, которое состоит из всех элементов универсального
множества U, которые не принадлежат множеству A:
.
12
)(1)()()( xxxx
AAU
A
}и|{\ ВxАxxВА
ВАВА \
.)(1),(min)()(
),0),()(max()(
\
\
хххx
xxx
BA
BA
ВА
ВАВА
)\()\( ABBABA
)()(),()(max)( xxxxx
ABBABA
В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:
.
4. Относительным дополнением множества В до множества А (или
разностью) называется множество А\В, которое состоит из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В:
.
Относительное дополнение выражается через другие операции:
.
В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:
5. Симметрической разностью множеств А и В называется множество
А+В:
.
В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:
.
Сначала выполняются операции дополнения, затем объединения, пересечения и симметрической разности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Для наглядности представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используют диаграммы Эйлера-Венна.
Само универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника (рис. 1.1).
13
},,,,{},,,,,{},,,,,{ vtsmaCvokbaBslkdbA
CAABCBCBA ,\,,,
},,,,,,,,,{ vtsomlkdbaU
].1110100001[
],1001001011[
],0010011110[
],1111111111[
C
B
A
U
].1011011111[
},,,,,,,,{
BA
vsolkdbaBA
A\B
B
Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна
П р и м е р .
Даны множества:
Составить универсальное множество, характеристические функции. Выполнить
следующие действия:
.
Р е ш е н и е .
Универсальное множество
.
Характеристические функции
.
Операции:
1. Объединение
14
].1000000001[
},,{
BC
vaBC
].0001011110[
},,,,,{
C
olkdbC
].1001000001[
},,,{\
\
AB
voaAB
].1100111111[
},,,,,,,,{},,,{},,,{)\()\(
CA
vtmlkdbavtmalkdbACCACA
ABBA
ABBA
,)()( CBACBA
.)()( CBACBA
),()()( CABACBA
)()()( CABACBA
,)( BABA
.)( BABA
,AAA
.AAA
,)( ABAA
ABAA )(
2. Пересечение
3. Абсолютное дополнение (дополнение)
4. Относительное дополнение (разность)
5. Симметрическая разность
1.1.3. Законы теории множеств
У т в е р ж д е н и е . Для любых подмножеств А, В и С универсального
множества U выполняются следующие законы:
1. Законы коммутативности
а)
2. Законы ассоциативности
а)
3. Законы дистрибутивности
а)
а)
, б)
б)
б)
4. Законы де Моргана
б)
.
.
5. Законы идемпотентности
а)
б)
6. Законы поглощения
а)
б)
.
15
,AA
.AUA
,UUA
.A
,UAA
, AA
,U
.U
.AA
,
~
,
~
,
~
CBA
,
~
,
~
,
~
cba
U
~
A
~
B
~
;
,
~
,0
,
~
,
)(
~
Ux
Ax
Axk
x
A
A
~
7. Законы тождества
а)
а)
а)
в)
10. Закон инволюции (снятие двойного отрицания)
Комплект – совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:
1) элементы комплекта могут повторяться;
б)
8. Законы констант
б)
9. Законы дополнения
б)
г)
1.2. Комплекты
1.2.1. Понятие комплекта
2) относительно каждого элемента можно сказать, принадлежит или
не принадлежит он этому комплекту.
Комплекты будем обозначать следующим образом:
Элементы комплекта –
Универсальный комплект
…
состоит из всех элементов, присутствую-
щих в данной задаче.
Комплект может быть задан перечислением своих элементов.
П р и м е р .
={a, b, b, b, c, c, c},
={k, k, k, n, n, o, p, p, p}.
Аналогом понятия характеристической функции множества служит понятие функции экземплярности комплекта :
…
k – количество элементов x в комплекте
.
16
]000[~
||,)(,,)(
1
~
1
1
~~
Unxx
m
j
n
j
A
m
j
j
A
U
n
i
i
A
xA
1
~
)(|~|
0|
~
|
U
n
i
i
U
NxU
~
1
~
)(|
~
|
A
~
B
~
Ux
)()(
~~
xx
B
A
BA
~
~
A
~
B
~
Ux
)()(
~~
xx
B
A
BA
~
~
Ux
A
~
B
~
))(),(max()(
~~
~
~
xxx
B
ABA
A
~
B
~
))(),(min()(
~~
~
~
xxx
B
ABA
A
~
)()()(
~~
~
xxx
A
U
A
Функция экземплярности пустого комплекта состоит из нулей
.
Функция экземплярности универсального комплекта состоит из сумм
значений функций экземплярностей соответствующих элементов всех комплектов данной задачи. Если количество комплектов в задаче равно т, а количество
различных элементов равно п, то
.
Мощность конечного комплекта
Мощность пустого комплекта
Мощность конечного универсального комплекта
Комплект
элемента
имеем:
Комплект
ем:
. Обозначение:
Операции над комплектами определим как операции над функциями экземплярности. Здесь
.
.
является подкомплектом комплекта
. Обозначение:
равен комплекту
, если для любого элемента
.
1.2.2. Операции над комплектами
.
.
, если для любого
.
име-
1. Объединение комплектов
и
.
2. Пересечение комплектов
и
.
3. Абсолютное дополнение (или просто дополнение) комплекта
.
17
B
~
A
~
)0),()(max()(
~~
~
\
~
xxx
B
ABA
A
~
B
~
))()(),()(max()(
~~~~
~
~
xxxxx
A
BB
ABA
},,,,,,,,,{
~
mlkkddbaaA
},,,,,,,,,{
~
keeedcccaB
}.,,,,,,,{
~
mkkeccbbC
CAAB
C
BCBA
~~~
\
~
~
~
~
~
~
,,,,
},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{
~
mmlkkkkkeeeedddcccccbbbaaaU
]21543533[~
U
]11202012[~
A
]00131301[~
B
]10210220[~
C
]11232312[
~
~
BA
]00110200[
~
~
BC
]11333313[~
C
]00030300[
~
\
~
AB
]01012212[~~
CA
4. Относительное дополнение комплекта
до комплекта
(разность)
.
5. Симметрическая разность комплектов
и
.
П р и м е р .
Даны комплекты:
Универсальный комплект составить из всех элементов,
рассматриваемых в данной задаче. Составить функции экземплярности. Выполнить действия:
.
Р е ш е н и е .
Универсальный комплект
.
Функции экземплярности
1. Объединение
2. Пересечение
3. Абсолютное дополнение (дополнение)
4. Относительное дополнение
,
,
,
.
.
.
.
.
5. Симметрическая разность
.
18
,ˆ,
ˆ
,ˆCBA
,ˆ,ˆ,ˆcba
}|))(|{(
ˆ
ˆ
UxxxA
A
)(ˆx
A
А
ˆ
}],8,2[|{ RxxxU
}],5,3[|{ RyyyA
A
1.3. Нечеткие множества
1.3.1. Понятие нечеткого множества
Основы нечеткой логики были заложены в 60-е гг. ХХ века, когда по-
явилась потребность принятия решений в условиях неполной и нечеткой информации. Понятие нечеткого множества введено Лотфи Заде (американский
математик, рожденный в 1921 году в Азербайджанской ССР) в 1965 году. Он
расширил понятие множества, допустив, что характеристическая функция
(функция принадлежности) может принимать любые значения на отрезке [0, 1],
а не только значения 0 или 1.
Нечеткое множество – совокупность элементов, обладающих двумя
свойствами:
1) в нечетком множестве нет повторяющихся элементов;
2) относительно каждого элемента можно сказать, с какой степенью
он принадлежит этому нечеткому множеству. Степень принадлежности элемента изменяется на отрезке [0, 1].
Нечёткие множества будем обозначать следующим образом:
Элементы нечёткого множества –
…
Нечеткое множество может быть задано перечислением элементов с
указанием соответствующей степени принадлежности
,
где U – универсальное множество, а
– функция принадлежности, харак-
теризующая степень принадлежности элемента х нечёткому множеству
…
.
Рассмотрим универсальное множество
, т.е. эле-
ментами являются действительные числа из отрезка [2, 8]. Пусть множество
является подмножеством множества U. Представим ха-
рактеристическую функцию множества
графически (рис. 1.2).
19
Ax
1)( x
A
Ax
0)( x
A
]}25,0[|{ xxB
В
ˆ
В
ˆ
A
х
возраст
В
ˆ
1
Рис. 1.2. Характеристическая функция множества
Таким образом, если элемент универсального множества
, если
, то
. В данном случае четко определяется при-
, то
надлежность элемента множеству.
Теперь рассмотрим множество В = {множество молодых людей}. Ниж-
няя граница определяется значением 0 (0 лет), а верхнюю границу определить
сложнее. Пусть она равняется 25 годам, т.е
. Но тогда возни-
кает вопрос: «Почему на следующий же день после 25-тилетия человек становится не молодым?». В таких случаях применяют более гибкие формулировки.
Поэтому появляется потребность во введении нечеткого множества, например,
= {он ещё молодой}. Функцию принадлежности
представим графически
(рис. 1.3).
Рис. 1.3. Функция принадлежности
20
В
ˆ
В
ˆ
В
ˆ
А
ˆ
В
ˆ
А
ˆ
В
ˆ
Ux
)()(
ˆˆ
xx
B
A
BA
ˆ
ˆ
А
ˆ
В
ˆ
Ux
)()(
ˆˆ
xx
B
A
BA
ˆ
ˆ
Ux
A
ˆ
B
ˆ
))(),(max()(
ˆˆ
ˆ
ˆ
xxx
B
ABA
A
ˆ
B
ˆ
))(),(min()(
ˆˆ
ˆ
ˆ
xxx
B
ABA
A
ˆ
)(1)(
ˆ
ˆ
xx
A
A
A
ˆ
B
ˆ
)()()(
ˆˆ
ˆ
ˆ
xxx
B
ABA
Таким образом, число 1 соответствует элементу универсального множе-
ства, принадлежащему нечеткому множеству
точно не принадлежит
лежности к
Пусть
ство. Говорят, что
.
и
– нечеткие множества, U – универсальное (четкое) множе-
содержится в
. Обозначение:
Нечеткие множества
имеем:
. Все другие значения определяют степень принад-
, если для любого элемента
.
и
. Обозначение:
равны, если для любого элемента
.
1.3.2. Операции над нечеткими множествами
Операции над нечеткими множествами определим как операции над
функциями принадлежности. Здесь
.
, число 0 означает, что элемент
имеем:
ства
1. Объединение нечетких множеств
и
.
2. Пересечение нечетких множеств
и
.
3. Абсолютное дополнение (или просто дополнение) нечеткого множе-
.
4. Произведение нечётких множеств
и
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]