Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
4.1. Меры центральной тенденции
равны 49, то и их среднее арифметическое тоже равно 49, таким
образом, и медиана равна 49.
4.1.3. Среднее
Давайте обозначим среднее буквой
. При обсуждении методов
✂
статистического вывода сделаем различие между обозначениями:
– обозначение для среднего генеральной совокупности, а для
✂
выборочной совокупности среднее обозначим как
x
.
Среднее определяется как среднее арифметическое распределе-
ния наблюдений. Оно рассчитывается, как сумма всех значений
распределения, деленная на количество всех измерений. Существует чисто арифметическая разница между способами вычисления среднего для сгруппированных и несгруппированных данных, поэтому рассмотрим эти два случая отдельно.
Сгруппированные данные. Среднее для сгруппированных
данных рассчитывается по следующей формуле:
k
f
✁
i xi
i = 1
ãäå:
– средняя точка i-го интервала;
x
i
=
✂
, (6)
k
x
✁
i
i = 1
f – частота (количество) измерений на i-м интервале;
k – общее количество измерений на сгруппированном интер-
âàëå.
Несгруппированные данные. Для рассматриваемого случая
справедлива формула:
ãäå:
– i-е измерение;
x
i
k
x
✁
i
i = 1
=
✂
, (7)
N
N – общее количество измерений.
Рассмотрим nример.
Для сгруппированных данных, приведенных в таблице 9, по-
лучаем:
8865
= (22 × 1 + 27 × 2 + … 67 × 6) / 180 =
✂
180
= 49,25
,
71
4. Описание распределения: меры центральной тенденции и рассеивания
а для несгруппированных данных, приведенных, скажем, в таблице 2, получаем:
24 + 25 + … + 68 + 69
=
✂
180
=
8860
180
= 49,22
.
Свойства среднего
1. Сумма всех отклонений измерения от среднего равна нулю.
Отклонение определяется как разница между соответствующим
значением измерения и средним. Рассмотрим таблицу 10. Отклонения обозначим как
, и они находятся во 2-м столбце. Алге-
✁
i
браическая запись этого свойства выглядит следующим образом:
– ✂) =
(x
i
= 0.
✁
i
Рассмотрим доказательство первого свойства среднего. Пока-
æåì, ÷òî
Имеем:
N
–
(x
✂
✂
i
i = 1
– ✂) = 0.
(x
i
) =
–
x
✂
✂
i
i = 1Ni = 1Ni = 1
✝
x
N
✄ ✂
x
– N
i
✂
✂
✄ ✂
i = 1
N
– N
x
i
✂
✄ ✂
i = 1
N
✁
i
i = 1
– N
x
i
=
N
–
x
✂
i
i = 1Ni = 1
✂
N
= 0.
x
i
Что и требовалось доказать.
2. Сумма квадратов отклонений от среднего меньше, чем
сумма квадратов отклонений от любого другого значения, т. е.
от любого значения распределения, отличающегося от среднего.
В третьем столбце таблицы 10 находятся квадраты отклонений от среднего, равного 6 (µ = 6), а в четвертом мы взяли произвольно число, равное 8, и вычислили квадраты отклонений
всех значений
от 8. В первом случае (для µ = 6) сумма равна
x
i
76, а во втором, для произвольного значения, равного 8, сумма
составляет 104. Это будет справедливо и для всех других чисел.
Таблица 10
Данные для объяснения свойств среднего
¹
x
i
= (x
☎
i
)
–
✆
i
☎
i
2
= (x
2
)
–
✆
i
1 9 3 9 3
2 12 6 36 16
3 7 1 1 1
4 5 –1 1 9
5 2 –4 16 36
6 3 –3 9 25
7 4 –2 4 16
2
(x
– 8)
i
72
4.1. Меры центральной тенденции
Окончание табл. 10
¹
x
i
✆
42 0 76 104
= (x
☎
i
–
)
✆
i
☎
2
= (x
i
2
–
)
✆
i
2
(x
– 8)
i
N = 7
✆
= 6
Второе свойство показывает, что среднее есть мера централь-
ной тенденции в терминах наименьших квадратов, т. е. сумма
квадратов отклонений минимальна. Для любого другого значения эта сумма не может быть меньше.
4.1.4. Сравнение моды, медианы и среднего
Проанализируем, какая мера центральной тенденции наилуч-
øàÿ.
Первый критерий. До известной степени выбор наилучшей
и наиболее подходящей меры центральной тенденции зависит
от шкалы измерений:
– если мы имеем данные, извлеченные из номинальной шка-
лы, то единственно подходящей может быть мода;
– если данные, взяты по ранговой (порядковой) шкале, то под-
ходящей мерой будет и мода, и медиана;
– когда данные метрические, интервальные или измерены
по абсолютной шкале, то все три меры применимы.
Обыкновенно при анализе метрических данных на практике
используют более одной меры центральной тенденции. Чаще всего это среднее и медиана.
✂✁✄✁☎ ✆✄✝✞✄✝☎
при выборе меры центральной тенденции –
это цель дальнейшего ее использования:
– если цель носит описательный характер, то необходимо ис-
пользовать меру, которая лучше всего описывает полученные
данные;
– если наличествует несколько экстремальных измерений, ко-
торые отличаются от соседних, то наиболее надежным показателем среднего будет медиана;
– если целью являются выводы относительно генеральной со-
вокупности на базе информации, полученной на выборке, наилучший показатель среднего зависит от методов статистического вывода, которые будут использоваться. В этом случае среднее
имеет явные преимущества. Так как среднее предполагает ис-
73
4. Описание распределения: меры центральной тенденции и рассеивания
пользование метрического типа шкалы, оно может быть рассчитано математическими способами, которые не применимы для
медианы и моды.
Сравнение между тремя мерами можно сделать и визуально
по отношению к их позиции на графике частотного распределения.
Ðèñ. 16. Сравнение между модой, медианой и средним (симметричное
распределение)
Если распределение симметричное и одномодальное, то среднее, медиана и мода совпадут (рис. 16).
Если распределение симметричное, но бимодальное (двухмодальное), то среднее и медиана совпадут, но существуют две
моды, как показано на графике (рис. 17).
Ðèñ. 17. Сравнение между модой, медианой и средним (бимодальное
распределение)
74
4.1. Меры центральной тенденции
Если распределение левостороннее, т. е. отрицательно асим-
метричное, то, очевидно, что среднее меньше медианы, которая
также меньше моды (рис. 18).
Ðèñ. 18. Сравнение между модой, медианой и средним (левостороннее
распределение)
При правостороннем распределении (с положительной асим-
метрией) очевидно, что среднее больше медианы, которая также
больше моды (рис. 19).
Ðèñ. 19. Сравнение между модой, медианой и средним (правостороннее
распределение)
Напомним, что мода является наиболее часто встречающимся
значением, а медиана – значением, левее которого лежат 50 %
75
4. Описание распределения: меры центральной тенденции и рассеивания
всех измерений. Ясно, что эти две меры не подвержены влиянию экстремальных измерений в распределении. С другой стороны, среднее очень чувствительно к экстремальным значениям.
Следовательно, когда распределение асимметрично, лучше показать все три меры. Для умеренно асимметричного распределения существует эмпирически установленная зависимость, которая удобна для использования на практике:
(среднее – мода) = 3×(среднее – медиана).
Это дает более полное описание распределения, чем любая
мера среднего по отдельности.
4.1.5. Среднее значение нескольких групп
Предположим, что из 180 студентов-первокурсников, которые сдавали экзамен по статистике, 106 были девушками и 74 –
юношами. Средний результат, показанный представительницами женского пола
= 4798/106 = 45,26,
✂
f
а показанный представителями мужского пола
= 4062/74 = 54,89.
✂
m
Определение среднего для всей выборки требует вычисления
взвешенного среднего. Пусть
Nf и Nm означают количество жен-
щин и мужчин соответственно. Тогда общее среднее будет иметь
значение
N
+ Nm
✂
f
f
=
✂
N
+ N
f
106 × 46,25 + 74 × 54,89
✂
m
=
m
106 + 74
4798 + 4062
=
180
= 49,22
.
В этом случае среднее точно равно вычисленному раньше в примере для несгруппированных данных, так как при определении
двух групповых средних мы использовали исходные измерения.
Вычисление взвешенного среднего можно обобщить и для большего, чем две, числа групп. Предположим, что имеется
k групп.
Тогда обобщающее среднее равно сумме произведений количества
случаев в каждой группе и соответствующих им средним значениям, деленной на общее количество случаев во всех группах. Формально это выражается следующим образом:
76
4.1. Меры центральной тенденции
k
N
✁
✂
i
i
i = 1
=
✂
. (8)
N
Эта формула аналогична формуле для вычисления среднего
сгруппированных данных с той разницей, что вместо среднего
интервала используются истинные групповые средние.
Мы рассмотрели три наиболее важные меры центральной тен-
денции. Эти меры – точки на шкале измерений, которые показывают, где расположено распределение (значения измерений)
на этой шкале. Из всех трех мер наиболее важным и чаще всего
используемым является среднее (среднее значение).
4.2. Меры рассеивания
Форма и центральная тенденция распределения – это две
из трех характеристик, которые описывают данное распределение. Третья базовая характеристика – это изменчивость или
рассеивание измерений в распределении. В отличие от мер центральной тенденции, которые представляют собой точки, меры
рассеивания являются интервалами или расстояниями на измерительной шкале, показывающими, как измерения сконцентрированы или рассеяны относительно центра распределения.
Рассмотрим два различных распределения, которые имеют по-
добные формы и совпадающие центральные значения. Измерения одного из распределений могут быть расположены на большем интервале по шкале, т. е. они сильнее рассеяны, в то время как все измерения другого распределения могут быть сгруппированы ближе к центральной точке. В этом случае первое распределение имеет большее рассеивание (разброс, вариацию), чем
второе.
Изучение изменчивости или дисперсии распределения исклю-
чительно важно для социологии. Следовательно, нужны методы для определения степени рассеивания распределения. Рассмотрим две меры, применяемые для ранговых данных: размах
è (полу)квартильный размах, и меры, которые предполагают
измерение по метрическим шкалам: дисперсия è стандартное
отклонение.
77
4. Описание распределения: меры центральной тенденции и рассеивания
4.2.1. Размах
Размах – простейшая мера рассеивания. В формуле (1) размах
был определен как разность между наибольшим и наименьшим
измеренным значением. Рассмотрим два распределения, приведенные ниже:
Распределение 1 11 16 18 23 29 31 37
Распределение 2 18 19 21 23 24 26 29
Два распределения имеют равные медианы (значение, равное
23), но их размахи не равны. Для первого распределения размах
равен 26 (37 – 11 = 26), что больше, чем размах второго распределения (29 – 18 = 11). Это говорит о том, что первое распределение более изменчиво, чем второе.
Несмотря на то, что размах вычисляется просто, он может
не давать адекватного описания рассеивания для генеральной совокупности. Его серьезнейший недостаток в том, что с увеличением количества измерений он изменяется, (точнее, увеличивается), так как увеличивается по числу элементов выборка (существенно он зависит от количества экстремальных значений).
С возрастанием выборки размах не может уменьшаться. В случае двух выборок с различным количеством измерений их размах не может быть сравним непосредственно. Кроме того, размах
может измениться даже от добавления или удаления одного отдельного измерения.
4.2.2. Квартильное отклонение
Так как размах вычисляется с учетом экстремальных измерений распределения, он является нестабильной (подвижной) мерой. Это ограничение может быть преодолено до известной степени через определение квартильного отклонения
Q. В учебной
литературе часто используется его эквивалентный термин – ïî-
луинтерквартильный размах. Разница между двумя квартилями называется интерквартильным (междуквартильным) раз-
махом, который вычисляется как:
– Q
Q
3
1
Q =
, (9)
2
ãäå:
– 75-й процентиль (
Q
3
Q
– 25-й процентиль (
1
78
P
);
75
P
).
25
4.1. Меры центральной тенденции
Рассмотрим nример. Обратимся к данным из таблицы 9:
Q
= P
3
Q1 = P
= 54,5 +
75
= 39,5 +
25
180 × 0,75 – 122
37
180 × 0,25 – 28
22
5 = 56,26
×
5 = 43,36
×
;
.
Тогда по формуле (8) получим:
56,26 – 43,36
Q =
2
= 6,45
.
Отметим, что если распределение симметрично, то имеет ме-
сто равенство
Q
– Med = Med – Q1 = 0.
3
Если распределение положительно асимметрично, то справед-
ливо неравенство
(
Q
– Med) > (Med – Q
3
Обратное то же верно, т. е. (
Q3 – Med) < (Med – Q
).
1
)
в случае отри-
1
цательно асимметричного распределения. Следовательно, так как
Q – мера рассеивания распределения, то разница между Q
è Q
–
Med – мера симметричности распределения.
1
3
–
Med
Как и размах, так и квартильное отклонение – это относитель-
но грубые меры рассеивания. Они не раскрывают достаточно информации и не используют непосредственно упорядоченности наблюдения. Преимущество их в том, что они могут быть применены и при анализе данных ранговой шкалы. Меры рассеивания,
которые при вычислении используют не процентили, а среднее,
предполагают опору, по меньшей мере, на интервальную шкалу.
Существуют меры, используемые при анализе всех наблюде-
ний. Эти меры описывают отклонение наблюдений от данного
центрального значения. Чаще всего этим центральным значением
является арифметическое среднее x
. Отклонение от среднего для
i-го измерения равно
D
= xi – x .
i
Но арифметическое среднее всех отклонений (суммы всех от-
клонений) равно нулю, так как
79
4. Описание распределения: меры центральной тенденции и рассеивания
D
✂
=
D
n
(xi – x)
✂
i
=
n
x
✂
i
= 0.
– x
=
n
Следовательно, необходима такая мера отклонения, которая
не зависит от вышепоказанного эффекта. Это может быть достигнуто одним из двух способов:
а) принимается абсолютное значение отклонения |
|, тогда
D
i
знаком результата пренебрегают и сумма – положительное число;
2
б) вычисляется квадратное отклонение D
(сумма квадратов
i
разностей), которое всегда имеет положительное значение.
На рисунке 20 показаны меры рассеивания, которые базируются на
D
i
.
Ðèñ. 20. Меры отклонения, базирующиеся на Di
4.2.3. Среднее отклонение
В терминологии генеральной совокупности среднее отклонение определяется как арифметическое среднее абсолютных значений индивидуальных отклонений, т. е.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]