Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
5. СТАНДАРТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И НОРМАЛЬНАЯ КРИВАЯ
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ: нормальная кривая (распределение), преобразованное значение, стандартная нормальная кривая, стандартные значения, таблица значений (стандартная нормальная кривая),
-значение, z-значение.
✂
Целью предыдущего изложения являлась демонстрация описания отдельного множества данных и его частотного распределения. Было показано, что для этого описания необходима следующая информация:
1) форма распределения;
2) меры центральной тенденции;
3) меры рассеивания.
Несмотря на то, что описание распределения проливает свет
на поведение данных и служит основой для более точных выводов, оно не в состоянии дать всю информацию, необходимую для
статистического анализа и интерпретации. Для получения более
полной информации о распределении рассмотрим понятие ñòàí-
дартные значения.
5.1. Стандартные значения
Предположим, что психолог или психиатр использует тест,
который предназначен для обнаружения конкретных психических расстройств, и один пациент получил в этом тесте 65 баллов. Что означает этот результат? Несмотря на то, что фактическое количество баллов может иметь какое-то значение, этот результат приобретает наибольшую практическую значимость, если
его сравнить с другими подобными результатами (результатами
других пациентов). Тогда становится возможным ответить на некоторые важные вопросы. Например, что означает, если этот результат не попал во множество значений, которые характеризуют людей с данным психическим расстройством? Или, если эти
65 баллов расположены на конце распределения, т. е. они были
экстремальными, или же, наоборот, они лежат близко к центру?
Для какой группы или популяции (генеральной совокупности)
этот результат является представительным?
91
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Рассмотрим еще один пример: студент получил 85 баллов
за тест по социологии и 75 баллов при тестировании по физиологии. Предположим, что оба теста были организованы так, что
охватывают весь преподаваемый материал. Можно ли сделать
вывод, что студент знает лучше социологию, чем физиологию?
Нет никакой причины, чтобы ответить непосредственно на этот
вопрос, если не знаем, как сравнить результаты двух тестов и то,
как расположены измеренные значения в распределении результатов двух испытаний. Мы можем использовать уже рассмотренные подходы к определению относительного ранга результатов
в соответствующих распределениях. Кроме того, мы можем использовать процедуру, которая позволяет «стандартизировать»
любые распределения так, что соответствующие результаты обоих тестов, станут сопоставимыми друг с другом.
До этого момента мы научились описывать результаты тестов или как экспериментальные данные, или как процентильные ранги. Использование исходных данных примера имеет тот
недостаток, что результаты тестов непосредственно несравнимы.
Средние значения в различных тестах редко непосредственно сопоставимы. Например, значение в 65 баллов может быть меньше среднего в одном тесте, равно среднему в другом и превышать среднее в третьем. Следовательно, использование исходных
данных для сравнения двух или большего числа распределений
просто невозможно, так как распределения имеют различные
по масштабам шкалы.
Самая большая трудность при использовании процентильных
рангов для сравнения распределений связана с ранговой шкалой. Для большинства переменных в социологии это означает,
что разница между двумя значениями в выходной измерительной шкале не соответствует различным позициям в распределении. К примеру, в диапазоне из трех процентильных рангов, скажем, от 2-го до 5-го, может накапливаться значительно больше
исходных измерений, чем в другом интервале, представленном
также тремя процентильными рангами с тем же распределением,
скажем, от 48-го до 51-го. Это естественный результат, следующий из того, что значения переменных не были равномерно распределены по шкале измерения.
Напротив, подавляющее большинство измерений группируется в середине распределения, а небольшая часть расположена
92
5.1. Стандартные значения
по краям. Так как процентили имеют свойства ранговой шкалы, они не являются подходящим материалом для усреднения
их значений, поскольку интервалы между соседними процентилями не соответствуют равным интервалам в исходных данных.
5.1.1. Вычисление стандартных значений
Один из возможных способов преодоления проблемы сравне-
ния исходных данных и процентильных рангов состоит в построении равных интервалов шкалы с использованием стандартного
отклонения в качестве единицы измерения. В предыдущих главах (гл. 4) описаны такие понятия, как среднее значение переменной и стандартное отклонение. Известно, что среднее является точкой, а стандартное отклонение – интервалом.
Стандартное значение (
z-значение) используется в статисти-
ке для описания относительного положения отдельного измерения во всем распределении измерений. Стандартное значение,
таким образом, показывает, насколько стандартных отклонений (или его долю) смещено исходное измерение по отношению
к среднему. Как правило, для обозначения стандартного значения по умолчанию используется строчная латинская буква z, поэтому стандартные значения называются еще и z-значениями.
Покажем правило для вычисления z-значений:
исходное измерение–среднее
стандартное значение =
стандартное отклонение
,
èëè
–
x
✂
i
z =
. (19)
✁
Здесь используются параметры генеральной совокупности
è ✁. Если рассчитываются стандартные значения по выборке,
✂
то необходимо использовать статистики среднего и стандартного
отклонения для выборки, и формула приобретет вид:
x
– x
i
z =
. (20)
s
В социологической практике, однако, обычно используется
приблизительная оценка Z-стандартизации:
93
5. Стандартные значения и нормальная кривая
x
– x
Z = . (21)
i
✁
Рассмотрим пример. Пусть определено распределение
со средним, равным 40, и стандартным отклонением, равным
8; z-значения, соответствующие экспериментальным измерениям
36, 42 и 50 единиц по данной шкале, будут соответственно безразмерными величинами: –0,50, 0,25 и 1,25. Поскольку, согласно формуле (20) получаем:
36–40
Z
=
36
= –0,50; Z
8
42
=
42–40
8
= 0,25; Z
50
=
50–40
8
= 1,25.
Отрицательные стандартные значения показывают, что исходные измерения были меньше, чем среднее, а положительные
показывают, что исходные значения были больше чем среднее.
Когда исходное значение равно среднему, то соответствующее
z-значение равно нулю. В примере, приведенном выше, мы име-
z-значение для исходного измерения 36 единиц говорит о том,
ем:
что оно наполовину стандартного отклонения меньше, чем среднее; наблюдения 42 и 50 единиц, находятся на расстоянии 0,25
и 1,25 стандартных отклонений от среднего соответственно.
Z-стандартизация имеет важное значение для оценки силы
действия предполагаемого фактора (переменной, рассматриваемой как фактор) на зависимую переменную, показывая насколько значения последней находятся в пределах равномерного (–1 <
или представляют собой выбросы (
z <+1) или нормального распределения (z < –1; z > +1),
z < –2; z > +2). Чем больше
z-значения отличаются от нуля, тем, следовательно, фактор дей-
ствует сильнее.
5.1.2. Свойства стандартных значений
Стандартное значение может быть рассчитано для каждого измерения в распределении. Рассмотрим данные из таблицы
12. Каждое из 20 измерений было преобразовано к
z-значению
по формуле 18. Как меняется при этом преобразовании исходное
распределение?
Первое свойство стандартных значений состоит в том, что
их распределение похоже на распределение исходных данных.
Второе свойство в том, что среднее значение преобразованного
распределения всегда равно нулю (потому что сумма
94
z-значений
5.1. Стандартные значения
равна нулю), независимо от того, каково оно в исходном распределении. Это свойство хорошо видно из таблицы 12.
Таблица 12
Распределение исходных измерений и
z-значений
¹
Исходное
измерение
z-значение xi¹
✂
i
Исходное
измерение
z-значение x
✂
i
i
1 10 1,29 11 1 –1,61
2 5 0,97 12 6 0,00
3 3 –0,97 13 8 0,64
4 10 1,29 14 6 0,00
5 9 0,97 15 6 0,00
6 2 –1,29 16 1 –1,61
7 2 –1,29 17 3 –0,97
8 10 1,29 18 6 0,00
9 5 –0,32 19 10 1,29
10 8 –0,32 20 0,64
N = 20
Среднее значение (
Стандартное отклонение (
✆
) 6,0 0,0
) 3,10 1,0
✁
Третье свойство стандартного значения в том, что дисперсия
распределения преобразованных значений равна «1». Поскольку
стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии,
то, следовательно, оно тоже равно единице. Это свойство также
видно из таблицы 12.
Таким образом, путем определения стандартных значений
z-значений) наблюдаемых частот их исходное распределение пре-
(
образуется в распределение, которое имеет аналогичную форму,
но его среднее равно 0, а стандартное отклонение равно 1. Это делает возможным сравнение между собой различных зависимых
переменных по действию общего фактора (переменной, рассматриваемой в качестве фактора). Однако в этом случае таблица сопряженности должна быть вначале выровнена по строкам (или
по столбцам), т. е. абсолютные значения наблюдаемых частот
должны быть приведены к процентному выражению, а уже затем осуществлена процедура
z-стандартизации по столбцам (или
по строкам, если процентное выравнивание было осуществлено
по столбцам).
95
5. Стандартные значения и нормальная кривая
В качестве иллюстрации к сказанному приведем таблицу сопряженности (табл. 13.1) двух переменных: доверия к источнику политической информации и оценки в общественном мнении
ряда утверждений о ситуации на Востоке Украины
1
. Отметим,
что обе шкалы являются номинальными. Будем считать первую переменную (доверие к источнику информации) фактором,
определяющим значения зависимой переменной (оценку ситуации на Донбассе). Тогда наблюдаемые частоты необходимо привести к процентному виду в данном случае по строкам таблицы, поскольку ответные позиции вопроса о доверии к источникам информации, т. е. переменной, принятой в качестве фактора, располагаются именно по строкам. Если не проводить процедуры
z-стандартизации и смотреть только на наблюдаемые частоты или даже их процентную представленность (табл. 13.2), можно прийти к неверным выводам.
Таблица 13.1
Доверие к источникам информации и оценка ситуации на Востоке
Украины (в абсолютных цифрах наблюдаемых частот)
С каким из утверждений Вы бы со-
гласились?
Какому из источников по-
литической информации
Вы доверяете больше
всего?
Присутствие российских во-
йск на Донбассе – это миф
украинских и западных СМИ
Даже если российские вой-
ска присутствуют, это оправ-
дано и необходимо для защи-
ты населения и геополитиче-
ских интересов России
Если бы не присутствие рос-
сийских войск на Донбассе,
там уже давно был бы мир
1 2 3 4 5 6
ОРТ, Россия 1, Вести 24,
НТВ и др.
Дождь и РБК 8 55 13 14 90
1
Исследования по гранту РГНФ, проект ¹ 14–03–00302а «Праворадикальные идеологемы в сознании студенческой молодежи Ростовской области».
96
71 343 7 67 488
Итого
Затрудняюсь ответить
5.1. Стандартные значения
Окончание табл. 13.1
1 2 3 4 5 6
Русская служба новостей,
Маяк, Звезда, FM, Радио
России
Эхо Москвы, Радио Свобода, Голос Америки
Известия, Взгляд, Комсомольская правда, Аргументы и факты, Эксперт
Ведомости, Новая газета,
Коммерсантъ
Слово Русским, Завтра,
Русский порядок, Вести
славян Юга России
Интернет-блоги Алексея
Навального, Бориса Немцова, Ксении Собчак и др.
Интернет-порталы «Слава России», «Великая Россия», «Правый взгляд»
Мой Мир, ВКонтакте,
Facebook, Одноклассники
и Twitter
Ñåòè I2P, Tor, Darknet
è äð.
Форумы новостных сайтов
(Газета.ру, Лента.ру и т.д.
Другое 9 36 6 12 63
Не доверяю никаким 4 27 5 33 69
Всего 195 987 78 269 1529
19 82 4 16 121
5 25 8 11 49
24 120 6 20 170
6 45 4 10 65
2 19 1 2 24
2 24 7 15 48
3 15 0,0 4 22
23 102 6 34 165
2 8 2 8 20
17 86 9 23 135
Во-первых, может показаться, что большинство ответов респондентов сосредоточено на второй ответной позиции «даже
если российские войска присутствуют на Донбассе, это оправдано и необходимо для защиты населения и геополитических интересов России» (64,6 %). Данное впечатление верно, но только
по отношению к одномерной проекции вопроса о согласии с тем
или иным утверждением, но не в отношении сопряженности вопросов.
Во-вторых, можно также сделать ошибочный вывод, что даже
«Голос Америки» способствует формированию данного суждения
в общественном мнении. А это уже совсем далеко от реальности.
97
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Таблица 13.2
Доверие к источникам информации и оценка ситуации на Востоке
Украины (в процентах по строкам)
С каким из утверждений Вы бы
согласились?
Какому из источников
политической информа-
ции Вы доверяете больше
всего?
Присутствие россий-
ских войск на Донбас-
се – это миф украин-
ских и западных СМИ
Даже если российские
войска присутствуют,
это оправдано и необ-
ходимо для защиты на-
селения и геополитиче-
ских интересов России
Если бы не присут-
ствие российских войск
на Донбассе, там уже
давно был бы мир
Затрудняюсь ответить
1 2 3 4 5 6
ОРТ, Россия 1, Вести 24,
НТВ и др.
14,5 70,3 1,4 13,7 100
Дождь и РБК 8,9 61,1 14,4 15,6 100
Русская служба ново-
стей, Маяк, Звезда, FM,
15,7 67,8 3,3 13,2 100
Радио России
Эхо Москвы, Радио Сво-
бода, Голос Америки
10,2 51,0 16,3 22,4 100
Известия, Взгляд, Комсомольская правда, Аргументы и факты, Экс-
14,1 70,6 3,5 11,8 100
перт
Ведомости, Новая газета,
Коммерсантъ
9,2 69,2 6,2 15,4 100
Слово Русским, Завтра,
Русский порядок, Вести
8,3 79,2 4,2 8,3 100
славян Юга России
Интернет-блоги Алек-
сея Навального, Бориса Немцова, Ксении Соб-
4,2 50,0 14,6 31,3 100
чак и др.
Интернет-порталы «Сла-
ва России», «Великая Россия», «Правый
13,6 68,2 0,0 18,2 100
взгляд»
Итого
98
5.1. Стандартные значения
Окончание табл. 13.2
1 2 3 4 5 6
Мой Мир, ВКонтакте,
Facebook, Одноклассники
13,9 61,8 3,6 20,6 100
è Twitter
Ñåòè I2P, Tor, Darknet
è äð.
10,0 40,0 10,0 40,0 100
Форумы новостных сайтов (Газета.ру, Лента.ру
12,6 63,7 6,7 17,0 100
и т.д.
Другое 14,3 57,1 9,5 19,0 100
Не доверяю никаким 5,8 39,1 7,2 47,8 100
x
i
Среднее x
✁
-отклонение по столб-
öàì
12,7 64,6 5,1 17,6 100
11,09 60,65 7,21 21,02
3,40 11,46 4,93 10,81
Осуществление z-стандартизации позволяет этих ошибок избежать (табл. 13.3).
Таблица 13.3
Доверие к источникам информации и оценка ситуации на Востоке
Украины (z-
✂✂✆✄
✂✄✂✁✄✄✂✝ ✂✝
☎✆✁✂✝✞
С каким из утверждений Вы бы
согласились?
Какому из источников полити-
ческой информации Вы доверяе-
те больше всего?
Присутствие российских
войск на Донбассе – это
миф украинских и запад-
íûõ ÑÌÈ
Даже если российские во-
йска присутствуют, это
оправдано и необходи-
мо для защиты населения
и геополитических интере-
сов России
Если бы не присутствие
российских войск на Дон-
бассе, там уже давно был
áû ìèð
1 2 3 4 5
ОРТ, Россия 1, Вести 24, НТВ и др. 1,0 0,84 –1,18 –0,68
Дождь и РБК –0,64 0,04 1,46 –0,50
Русская служба новостей, Маяк,
Звезда, FM, Радио России
1,36 0,62 –0,79 –0,72
Затрудняюсь ответить
99
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Окончание табл. 13.3
1 2 3 4 5
Эхо Москвы, Радио Свобода, Голос Америки
Известия, Взгляд, Комсомольская правда, Аргументы и факты, Эксперт
Ведомости, Новая газета, Коммерсантъ
Слово Русским, Завтра, Русский
порядок, Вести славян Юга России
Интернет-блоги Алексея Навального, Бориса Немцова, Ксении Собчак и др.
Интернет-порталы “Слава России”, “Великая Россия”, “Правый взгляд”
Мой Мир, ВКонтакте, Facebook,
Одноклассники и Twitter
Ñåòè I2P, Tor, Darknet è äð. –0,32 –1,80 0,57 1,76
Форумы новостных сайтов (“Га-
зета.ру”, “Лента.ру” и т.д.
Другое 0,94 –0,31 0,46 –0,19
Не пользуюсь никакой –1,56 –1,88 00 2,48
Среднее x
✁
-отклонение по столбцам 3,40 11,46 4,93 10,81
–0,26 –0,84 1,84 0,13
0,88 0,87 –0,75 –0,85
–0,56 0,75 –0,20 –0,52
–0,82 1,62 –0,61 –1,18
–2,03 –0,93 1,50 0,95
0,74 0,66 –1,46 –0,26
0,83 0,10 –0,73 –0,04
0,44 0,27 –0,10 –0,37
11,09 60,65 7,21 21,02
Оно показывает, что большинство ответов лежит в интервале
–1 <
z < +1, т. е. находится в пределах равномерного распределе-
ния, а значит, каждое из этих чисел может быть истинным средним в его процентном виде на генеральной совокупности. Иными
словами, все величины в этом интервале могут являться случайными, и при анализе им не следует придавать существенного значения, как и процентам, стоящим за их
Иначе обстоит дело с величинами
z-значением.
z > +1, тем более если z > +2.
В этом случае наблюдается выход за пределы равномерного распределения и соответствующая ответная позиция переменной доверия к источнику информации определяет с различной силой
действия (которая, кстати, отражается в значении
z) установ-
ку на ту или иную оценку вероятности присутствия российских
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]