Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
6.3. Вычисление коэффициента корреляции
Окончание табл. 18.1
x y xy
2
✂
2
y
680 64 43520 462400 4096
490 45 22050 240100 2025
565 56 31640 319225 3136
580 59 34220 336400 3481
615 56 34440 378225 3136
435 42 18270 189225 1764
440 38 16720 193600 1444
515 50 25750 265225 2500
380 37 14060 144400 1369
510 42 21420 260100 1764
565 53 29945 319225 2809
= 8010
✂
= 772
✂
= 424580
✂
= 4407800
✂
= 41162
✂
Другой пример можно привести из области экономической
статистики. Скажем имеются данные по 10 предприятиям, стоимость основных фондов которых и объем выпуска продукции известны. Данные признаки являются количественными и, соответственно, измерены по количественной шкале абсолютных значений. В данном случае удобнее воспользоваться формулой
Здесь
n
n ✂xi yi – ✂xi ✂y
i = 1
i = 1
n
n
2
( ✂xi)
–
i
i = 1
=
r
xy
[n ✂x
☎
– стоимость основных фондов в млн руб., y – объем вы-
✂
i = 1ni = 1
2
] [n
n
✂y
i = 1
n
2
i
i
( ✂yi)
–
i = 1
.
n
2
]
пуска продукции также в млн руб.
Таблица 18.2
Вычисление корреляционного коэффициента по формуле (30)
x y xy
2
✂
2 2,0 4,0 4 4,00
1 1,2 1,2 1 1,44
3 3,6 10,8 9 12,96
5 6,8 34,0 25 46,24
4 4,4 17,6 16 19,36
3 3,8 11,4 9 14,44
1 0,8 0,8 1 0,64
2 2,2 4,4 4 4,84
2
y
131
6. Корреляции: измерение взаимосвязи
Окончание табл. 18.2
x y xy
2
✂
4 5,0 20,0 16 25,00
5 4,8 24,0 25 23,04
= 30
✂
= 34,6
✂
= 128,2
✂
= 110
✂
✂
Таким образом,
2
y
= 151,96
10 × 128,2 – 30 ×34,6
=
r
xy
(10 × 110 – 900) × (10 × 151,96 – 1197,16)
244
=
253,94
=
0,90
.
Данный коэффициент корреляции является положительным,
а значит, существует положительная связь, при которой с увеличением стоимости основных фондов увеличивается и объем выпуска продукции.
В рассмотренных примерах число градаций переменной и общее количество исследуемых объектов (индивидов, предприятий)
совпадают. Однако в социологических исследованиях чаще приходится иметь дело с тем, что респонденты, отмечающие одну
и ту же ответную позицию, объединены в группы в соответствии
с градацией переменных, а для аналитика интерес представляет
вопрос о существовании связи между парами измерений в попарно взятых переменных. В этом случае количество респондентов
в абсолютном выражении или в процентной представленности
может быть взято просто в качестве цифровых последовательностей по градациям переменных, которых должно быть, по крайней мере, больше двух, а желательно
n 5. Для двух града-
ций двух переменных существуют другие методики установления взаимосвязи (в частности, так называемый точный критерий
Фишера). Например, нас интересует оценка респондентами достоверности освещения событий на Украине 2014–2016 гг. средствами массовой информации и массовой коммуникации России, Украины и стран Запада
2
. Собранная информация приведе-
на в таблице 18.3.
2
Грант РГНФ, проект ¹ 14-03-00302а «Праворадикальные идеологемы
в сознании студенческой молодежи Ростовской области»
132
6.3. Вычисление коэффициента корреляции
Таблица 18.3
Вычисление корреляционного коэффициента по формуле (30)
Оценка объективности
¹ ÑÌÈ è ÑÌÊ
Украинские СМИ
1
(включая Интернет)
Российские СМИ
2
(включая Интернет)
Западные СМИ
3
(включая Интернет)
r12 =
(5 × 198468 – 515524) × (5 × 150032 – 515524)
объективно
8 21 187 387 115 718
127 331 121 74 65 718
13 35 239 299 132 718
5
× 66707 – 718 ×718
=
–0,54409
объективно
по большей части
необъективно
по большей части
совершенно необъ-
.
ективно
–181989
=
334481,986
Итого
òèòü
затрудняюсь отве-
=
Корреляция оценок достоверности сообщаемой информации
украинскими и российскими СМИ и СМК является отрицательной, и чем объективнее оценивается информация, подаваемая
российскими СМИ и СМК, тем недостовернее представляется респондентам информация украинских СМИ и СМК. Хотя нельзя
сказать, чтобы коэффициент корреляции был высоким, и, следовательно, данная связь не является плотной.
С другой стороны,
5
=
r
13
(5 × 198468 – 515524) × (5 × 165340 – 515524)
× 176425 – 718 ×718
=
0,95173
=
,
366601
=
385193,0628
=
а это означает, что между отношением к западным и украинским
СМИ и СМК существует явная и достаточно сильная положительная связь, и те, кто считает информацию из украинских источ-
133
6. Корреляции: измерение взаимосвязи
ников достоверной, такой же считает и информацию, предоставляемую западными СМИ и СМК. В такой же мере правильным
будет и суждение: те, кто считает информацию украинских СМИ
и СМК недостоверной, в то же время и западные СМИ и СМК
считает, мягко говоря, искажающими действительность.
В связи с этим не удивительно, что и корреляция между оценками российских и западных СМИ и СМК по восприятию ее достоверности является отрицательной (
R
= –0,5596).
23
Впрочем, сразу следует оговориться, что значимость отсутствия связи между первой и второй, второй и третьей строками
таблицы 18.3 (это так называемый уровень значимости, о чем
будет сказано позднее) является достаточно высокой, т. е. мы не
можем утверждать, что корреляция между ними существует
и на генеральной совокупности действительно отрицательна. Однако связь между первой и третьей строками высоко существенна и на генеральной совокупности должна также иметь место
примерно с той же силой, иными словами, недоверие к западным СМИ и СМК коррелированно положительно с недоверием
к информации украинских СМИ и СМК. Это не исключает наличия значительной группы лиц (
1,5 %), для которых характерно
принятие данных источников информации как объективно освещающих события на Украине.
Важно заметить, что коэффициент корреляции остается неизменным независимо от того, считаем ли мы в абсолютных цифрах или предварительно совершили их приведение к процентной
представленности. Это вопрос исключительно удобства расчетов,
зависимый от выбора исследователя и методики осуществления
работы.
6.4. Факторы, влияющие на размер коэффициента
корреляции
Вернемся к диаграммам, изображенным на рисунках 28–30.
По ним можно наглядно видеть, что именно расположение точек
влияет на величину коэффициента корреляции. Но мы не можем
видеть, какие именно факторы влияют на величину
возникает вопрос о нахождении способа для аналитического выражения и определения этих факторов.
134
R. Поэтому
6.4. Факторы, влияющие на размер коэффициента корреляции
6.4.1. Линейность
Одним из факторов, который влияет на размер коэффициен-
та корреляции, является линейность. Фундаментальное предположение, основа коэффициента корреляции Пирсона, заключается в том, что две переменных линейно связаны между собой. Это
не означает, что все пары измерений должны лежать на одной
прямой линии, а только то, что эти измерения группируются
около одной прямой линии, т. е. тренд (тенденция) расположения данных линейный.
Если такое предположение соответствует действительности,
то диаграмма рассеивания покажет наличие этой линейной тенденции (положительный или отрицательный). Рассмотрим диаграммы, показанные на рисунках 31–32.
На первом графике (рис. 31) показана линейная тенденция
между переменными X è Y, в то время как на диаграмме (рис.
32),мы видим две возможные нелинейные тенденции.
Коэффициент корреляции Пирсона измеряет силу линейной
взаимосвязи между двумя переменными и непригоден для описания нелинейных связей, таких как на рисунке 32. Если этот коэффициент все-таки будет рассчитан для нелинейной связи, его
значение снизит оценку фактической силы взаимосвязи между
двумя переменными. Погрешность этой связи будет увеличиваться, чем будет сильнее нелинейная взаимосвязь.
Ðèñ. 31. Диаграмма рассеивания, иллюстрирующая линейную
взаимосвязь
135
6. Корреляции: измерение взаимосвязи
Ðèñ. 32. Диаграмма рассеивания, иллюстрирующая нелинейную взаи-
мосвязь
Рассмотрим пример. Пусть две переменные
2
венством
Y = X
. Связь между этими переменными является ква-
X è Ó связаны ра-
дратичной, т. е. далеко не линейной. Все точки лежат на кривой,
определяемой этом равенством. Это видно по рисунку 33. Если
используем формулу (32), получим для коэффициента корреляции значение 0.0, которое отражает нелинейность взаимосвязи,
а не отсутствие связи.
В социологии и социальных науках существует множество линейно связанных переменных, а также множество нелинейных
связей. Более того, возможны ситуации, когда две переменные
линейно связаны на одной части измерительной шкалы и нелинейно связаны по всей шкале. Одним из таких примеров является связь между переменной возраста и переменными, отражающими когнитивные навыки. Корреляция показывает сильную
положительную тенденцию и высокие значения для некоторых
возрастных групп, и стремление к 0 для других. Можно сделать
ошибочный вывод, что нет связи между переменными. Такой вывод противоречил бы логике, так как связь существует, но она
не однородна для всех возможных возрастов.
Корреляционный коэффициент Пирсона, не подходит для анализа данных при нелинейном тренде, для этого существуют иные
способы для анализа нелинейности в распределении данных.
Часть из них будет рассмотрена позже. В настоящий момент
136
6.4. Факторы, влияющие на размер коэффициента корреляции
Ðèñ. 33. Пример идеальной, нелинейной связи
будет достаточно отметить, что, прежде чем рассчитывать и анализировать коэффициент корреляции
r, следовало бы проанализировать диаграмму рассеивания, которая наглядно покажет
форму связи между двумя переменными.
6.4.2. Гомогенность (однородность) групп
Второй фактор, который оказывает влияние на размер коэффициента корреляции, это однородность группы, для которой
определяется этот коэффициент. Известно, что чем более однородной является группа, тем меньше дисперсия. Из формулы
(30) видно, что, если группа достаточно однородна для одной или
двух переменных, дисперсия (а следовательно, и стандартное отклонение) стремится к нулю. Тогда формула для расчета
ñòà-
✂
новится математически неопределенной, так как необходимо выполнить деление на ноль. Как результат переменная превращается в константу. Таким образом, когда группа однородна (это
означает, что больше измерений будет иметь близкие между собой значения для одной или для обеих переменных), корреляционный коэффициент будет очень мал.
Рассмотрим пример. Предположим, что нас интересует взаимосвязь между средней успеваемостью за год и математическими способностями студентов. Пусть даны результаты для 75 студентов. Диаграмма рассеивания, иллюстрирующая данные, показана на рисунке 34.
137
6. Корреляции: измерение взаимосвязи
Ðèñ. 34. Диаграмма рассеивания, иллюстрирующая взаимосвязь между
средним успехом (Y) и математическими способностями (X)
Коэффициент корреляции для этих данных 0,833. Предположим, что рассматриваются только студенты, показавшие результат по математическим способностям более чем 17,40 баллов. Число таких студентов равно 49, а коэффициент корреляция – 0,715, так что в этом случае группа является более однородной, чем в первом.
Приведенный выше пример показывает, что, когда другие
факторы остаются постоянными, размер коэффициента корреляции, описывающего взаимозависимость между двумя переменными, будет зависеть от однородности группы, которую мы изучаем. Этот факт оказывает существенное влияние на использование коэффициента корреляции. Во-первых, если исследователь
ищет взаимосвязь между переменными, то должна быть значимой дисперсия или рассеивание данных, чтобы проявилась эта
взаимосвязь. Если интересуемся связью между результатами
IQтеста и какого-либо когнитивного задания, то необходимо рассмотреть широкий диапазон для IQ-измерений. Если рассматривать только измерения до 140 баллов, то мы установим очень
низкую корреляцию между этими двумя явлениями. Вопрос будет стоять так: являются ли эти две переменные на самом деле
несвязанными? Безусловно, нет. Просто это означает, что огра-
138
6.5. Интерпретация коэффициента корреляции
ничение значений IQ-измерений приводит к ограничению размера коэффициента корреляции. Так, конкретный коэффициент
не будет представительным для взаимосвязи между двумя переменными.
С другой стороны, если представляет интерес рассмотрение ре-
зультатов
IQ выше 140 баллов в качестве особой группы, то очевидно, что в ней все данные должны быть такими, чтобы обеспечивалась представительность. В этом случае исследователь должен быть очень осторожным при интерпретации результатов.
Какое-то одно низкое значение r может и не показать, что использование когнитивного теста не связано вообще с результатами
IQ в целом. На самом деле, в этом случае речь идет о том, что
именно для этой группы результат
IQ имеет низкую дифференцирующую возможность по отношению к выполнению когнитивного теста. Следовательно, для целей дифференциации должна
подбираться характеристика, которая более изменчива для этой
группы.
6.4.3. Размер групп
Вернемся к примеру с 49 студентами, которые образуют однородную группу. Низкий коэффициент корреляции в этом случае может быть определен малым числом рассматриваемых случаев, т. е. коэффициент имеет небольшое значение, потому что
был вычислен на маленьком числе измерений. Однако это не так.
Число измерений, использованных для определения коэффициента корреляции Пирсона, не оказывает влияния на размер значений этого коэффициента (но имеет значение для перенесения
полученного результата на генеральную совокупность). Хотя есть
одно исключение, когда
Тогда
r = ±1, так как корреляция между двумя парами точек иде-
r рассчитывается по двум измерениям.
альна, т. е. геометрически определяется прямыми, проходящими
через одну и другую пару точек.
Количество измерений оказывает влияние на точность оценки коэффициента, о чем речь пойдет ниже в следующей главе.
6.5. Интерпретация коэффициента корреляции
Статистические методы в социологии используются для проверки выдвинутых гипотез о воздействии факторов на изучаемые явления и наличии между ними связи. Они позволяют зна-
139
6. Корреляции: измерение взаимосвязи
чительно более уверенно говорить о том, что результаты, полу-
ченные на выборочной совокупности, соответствуют параметрам
генеральной совокупности. Коэффициент корреляции является
мерой силы связи между двумя переменными, значения кото-
рых рассматриваются как случайные величины. Возникает во-
прос: насколько большим должна быть величина этого коэффи-
циента, чтобы быть практически важным и какую сущностную
информацию он несет?
6.5.1. Шкала
r
После того, как коэффициент корреляции рассчитан, неизбежно возникает вопрос: что, собственно, он означает? Следует напомнить, что значение
r является функцией наклона линии, около которой группируются измерения (рис. 34), относительно положительной части оси
, и ширина эллипса, в кото-
✂
✁
ром содержатся все наблюдаемые точки (точки значений измерений на графике) относительно положительной части оси
более вытянутым является этот эллипс в направлении оси
тем большее значение коэффициента корреляции
r наблюдается,
✂
✂
. ×åì
✂
✁
а следовательно, тем большая проявляется степень связанности
между двумя явлениями. Следовательно, коэффициент корреляции
r принимает значения на ранговой шкале. Например, ска-
жем, что коэффициент корреляции со значением от +0,80 показывает высокую линейную корреляцию, в то время как значение от +0,50 говорит о (до известной степени) более низкой положительной линейной связи. Очевидно, шкалы для измерения
коэффициента корреляции не обладают свойствами метрических
шкал – интервальной или шкалой отношений. Следовательно,
некорректно интерпретировать рост коэффициента корреляции
r, скажем, от 0,40 до 0,60, как эквивалент увеличения коэффициента корреляции
эффициент корреляции
циент корреляции
r от 0,60 до 0,80, или же утверждать, что ко-
r = 0,80 в два раза больше, чем коэффи-
r = 0,40.
Интерпретация значений коэффициента корреляции является
до некоторой степени произвольной. Она зависит от свойств изучаемого явления и, как правило, происходит в контексте коррелирующих переменных. Независимо от этого, существуют некоторые эмпирические правила, которые могут быть использова-
140
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]