Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
5.1. Стандартные значения
войск на Донбассе (выделено тройной линией рамки в Таблице 13.3). Так, скажем, очевидно, что точку зрения «если бы не
присутствие российских войск на Донбассе, там уже давно был
бы мир» пропагандируют такие «либеральные» средства массовой информации и коммуникации, как Эхо Москвы, Радио Свобода, Голос Америки (z = 1,84), блоги Алексея Навального, Бориса Немцова, Ксении Собчак (z = 1,50). Позиция «даже если российские войска присутствуют, это оправдано и необходимо для
защиты населения и геополитических интересов России» формируются в общественном мнении под влиянием «национальнопатриотических» информационных средств – Слово Русским,
Завтра, Русский порядок, Вести славян Юга России (
z = 1,62).
Установку на оценку присутствия российских войск на Донбассе
в качестве мифа украинских и западных СМИ определяет доверие к таким средствам массой информации, как Русская служба
новостей, Маяк, Звезда, FM, Радио России (z = 1,36), ОРТ, Россия 1, Вести 24, НТВ (z = 1,0). Само собой разумеется, что отсутствие интереса к каким-либо источникам политической информации вызывает затруднения с оценкой рассматриваемых суждений (Z = 2,48).
Несмотря на то, что z-стандартизация представляет собой
мощный инструмент для анализа социологической информации,
она не лишена естественных недостатков. К их числу относится
тот факт, что в любом рассматриваемом ряду цифр, по отношению к которым применяется данная методика, обязательно хотя
бы одно из значений выходит за пределы равномерного распределения и, следовательно, показывает фактор как действующий.
Поэтому валидность результата исследования во многом определена корректностью формулировки вопроса и ответных позиций,
которые предложены респондентам.
5.1.3. Преобразование стандартных значений
Мы выяснили, что
z-значения являются эффективным инструментом для сравнительного анализа, но имеют некоторые особенности, которые делают их неудобными для восприятия, интерпретации и обработки. Например, всегда необходимо определять, сколько знаков после десятичной запятой использовать.
Обычная практика – это использование двух знаков после запятой, что требует от исходных данных точности, которой они,
101
5. Стандартные значения и нормальная кривая
как правило, не обладают. Кроме того, пропуск знака минус перед некоторыми из
ние и смысл интерпретации. По этим причинам стандартные значения (
с новой мерной шкалой, часто выбираемой случайно, с заданными средним и стандартным отклонением.
специального теста исследования навыков студентов. Требуется
сделать это так, чтобы результаты могли быть легко интерпретированы как студентами, которые его выполняли, так и их родителями. Так как есть социологическая тенденция, что отрицательные значения будут связаны с отрицательным контекстом,
то, соответственно, публикация отрицательных
жет быть воспринята негативно. Среднее
любые отрицательные значения могут быть истолкованы как отсутствие тестируемых навыков. Таким образом, необходимо найти другой способ представления результатов. Один из возможных
подходов заключается в преобразовании
ния со средним равным 50 и стандартным отклонением равным
10. Такое новое распределение не имеет отрицательных значений. Кроме того, проблема десятичных знаков после запятой уже
не является важной. Новое распределение со средним 50 и стандартным отклонением 10 является стандартным, и его можно
часто найти под названием
ветствующие измерения – под названием
вание распределения исходных измерений к стандартному распределению типа
ке социологии. Как мы уже выяснили, этот процесс проводится
в два этапа. Первый шаг: исходное распределение экспериментальных измерений преобразуется в распределение
Эти
быть достигнуто, если каждое из
т. е. на стандартное отклонение, и к полученному числу добавить 50, т. е. среднее, в соответствии с формулой:
z-значения) преобразуются к различным распределениям
Рассмотрим пример. Необходимо опубликовать результаты
z-значения затем преобразуются в T-значения. Это может
z-значений может резко изменить направле-
z-значений мо-
z-значение, равное 0, и
z-значений распределе-
T-распределение, в то время как соот-
T-значений. Преобразо-
T-распределения часто используется в практи-
z-значений.
z-значений умножить на 10,
Рассмотрим данные таблицы 12. Возьмем случай ¹ 1. Он содержит оценку 10 баллов. Сначала вычисляем соответствующее
z-значение, а затем T-значение:
102
T = 10z + 50
.
5.1. Стандартные значения
z = = 1,29;
T = 10 × 1,29 + 50 = 62,9 63
Интерпретация
êàê è ïðè
z-значениях, но теперь отрицательные значения (со
T-значений в этом примере будет такой же,
10,0 – 6,00
3,10
.
знаком минус) и цифрами после десятичной запятой будут отсутствовать. Цель преобразований такого рода – помочь провести процесс интерпретации результатов, используя стандартные
форматы на выходе. Кроме
T-трансформации, в социологии используются и другие стандартизированные распределения. Например, некоторые тесты на знание языка типа TOEFL используют распределение со средним равным 500 и стандартным отклонением равным 100. В общем случае все подобные преобразования осуществляются в соответствии с формулой:
= (
✂
)(z) +
✂
✁
✂
, (22)
✂
✂
ãäå
– новое, или трансформированное значение;
✂
✂
– заранее установленное стандартное отклонение;
✁
✂
– предварительно заданное среднее значение;
✂
✂
z – стандартное значение для данного измерения.
5.1.4. Взвешенное среднее нескольких испытаний
Часто результаты различных тестов группируются по установленным правилам таким образом, что получается некоторая обобщенная оценка. Эти правила обычно представляют собой систему
заранее известных, заданных коэффициентов. Например, общая
оценка по социологии может быть получена на основе двух промежуточных коротких тестов в семестре, и полного завершающего теста по его окончании.
Очевидно, значимость результатов, полученных в этих испытаниях, должна быть разной. Работать с процентилями в данном
случае нецелесообразно из-за их рангового характера. Непосредственное усреднение исходных данных также является неприемлемым в связи с тем, что средние и особенно стандартные отклонения могут существенно отличаться. Вместо этого результаты можно сначала стандартизировать и привести к соответству-
103
5. Стандартные значения и нормальная кривая
þùèì z-значениям, а затем использовать заданные «весовые» ко-
эффициенты. Таким образом приходим к понятию взвешенного
значения:
✂
✂
j =
izij
, (23)
✂
✂
i
ãäå
– вес каждого теста;
✂
i
z
– стандартное значение j-го результатa для i-го теста.
ij
Рассмотрим пример. Предположим, что значимость (вес) трех
испытаний, упомянутых выше, оценивается по схеме 1:1:2, т. е.
понятно, что результат окончательного теста в два раза более
значим (весомее), чем результаты, показанные в промежуточных
тестах. Пусть студент показал следующие результаты, выраженные в стандартных
z-значениях: 0,25, –0,50, –0,20. Его взвешен-
ный средний результат будет:
1 + 1 + 2
= –0,16.
Если этот результат должен быть сообщен студенту, его родителям или планируется быть опубликованным, хорошо, чтобы он был преобразован таким образом, чтобы отрицательные
значения и разряды после десятичной запятой исчезли. Мы уже
видели, что это можно сделать, используя соответствующее
T-преобразование. Так, в данном случае рейтинговая оценка сту-
1 × (0,25) + 1 × (–0,50) + 2 × (–0,20)
дента будет составлять
T = 48,4.
5.2. Нормальная кривая
5.2.1. Понятие нормального распределения
Одно из самых распространенных применений стандартных
значений связано с так называемой нормальной кривой. О многих социологических, физиологических и прочих процессах можно сказать, что они представляют собой «нормальное распределение». Какой смысл предполагается, когда говорится, что распределение таких естественных феноменов, как рост, возраст населения или результат теста интеллекта (
но распределенными? Графическое изображение, которое сразу
104
IQ), являются нормаль-
5.2. Нормальная кривая
же нам приходит на ум, это колоколообразный частотный полигон.
В самом деле, нормальная кривая – это просто математиче-
ское выражение, которое было получено для того, чтобы описать смещение частоты распределения некоторых естественных
(«нормальных») процессов. Нормальное (или Гауссово) распределение играет центральную роль в теории вероятностей и математической статистики по причинам, которые будут уточнены в ходе дальнейшего изложения. Впервые это распределение
было предложено французским математиком Муавром в 1733 г.
как аппроксимация биномиального распределения. Позже Лаплас в 1783 г., а затем Гаусс в 1809 г. использовали это распределение в качестве модели для описания поведения случайных
ошибок проведенных измерений.
Так называемая центральная предельная теорема предопре-
делила применение нормальной модели во многих ситуациях.
В целом, центральная предельная теорема, сформулированная
и доказанная выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым, утверждает, что, если случайная величина
X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то
X будет иметь распределение, близкое к нор-
мальному.
В качестве примера реализации центральной предельной теоремы можно привести следующий мысленный эксперимент, имеющий многочисленные практические подтверждения. Допустим,
производится измерение некоторой физической величины – скажем, константы свободного падения. Помимо основного фактора (земного притяжения) наличествуют многочисленные независимые факторы (географическое место проведения опытов, температура воздуха, атмосферное давление, влажность, сила ветра и т. д.). Каждый из этих факторов порождает незначительную «частную ошибку» в измерении. Однако их совокупное действие дает уже заметную «суммарную ошибку». Данная суммарная ошибка является результатом действия взаимно независимых частных ошибок, в силу чего суммарная ошибка в серии
экспериментов имеет распределение, близкое к нормальному.
Знаменитое математическое уравнение нормальной кривой,
как уже упоминалось, дал французский математик Муавр. Оно
105
5. Стандартные значения и нормальная кривая
было основано на наблюдениях поведения вероятностных исхо-
дов (событий) результатов игры. Этот процесс может быть про-
иллюстрирован с помощью примера бросания монеты. При под-
брасывании монеты всегда возможны два исхода: выпадет «орел»
или выпадет «решка».
Пусть нас интересует количество «решек», которые выпадают в последовательности из нескольких независимых испытаний
(подбрасываний) и, соответственно, вероятность получения этого результата. Эта вероятность может быть оценена естественным способом, как отношение числа полученных «решек», к общему числу испытаний (подбрасываний). Очевидно, что в одном
отдельно взятом испытании вероятность того, что выпадет «решка», 50 % или (в долях единицы) –
P = 0,5.
Ðèñ. 21. Распределение вероятностей при определенном количестве бро-
саний монеты
Предположим, что одна монета будет брошена последовательно 5 раз, а для «успеха» принимаем выпадение «решки». Возможные выходы из этой последовательности экспериментов такие: «решка» не выпадает ни разу, она выпадает один раз, выпа-
106
5.2. Нормальная кривая
дает 2 раза ... выпадает 5 раз. Распределения соответствующих
вероятностей показано на рисунке 21à.
Отметим, что распределение на рисунке 21à – симметрично.
В таблице 14 показаны соответствующие вероятности. Их вычисление осуществляется по формуле Бернулли, использующей
представление о биноминальном распределении:
n – k
(k) = C
P
n
k
n
pk q
, (24)
ãäå
k = 0, 1, 2 … n – возможный результат эксперимента;
n – общее количество осуществляемых опытов;
n!
= , – бином, характеризующий выбранное число (k)
C
n
k !
(n – k)!
из общего количества осуществляемых опытов (n);
! – знак факториала числа (факториал – это последовательность произведения чисел: например, 5! = 12345 = 125);
p – исходная вероятность;
q – противоположная ей величина (q = p – 1; в данном случае
равномерного распределения двух вариантов – исходов опыта – p = q = 0,5).
Таким образом, к примеру, вероятность того, что «решка» вы-
падет 3 раза из пяти, равна:
(3) =
P
5
5!
3 !(5 – 3)!
× 0,55×0,50 = 0,3125,
а вероятность того, что «решка» не выпадет ни разу при пяти
бросаниях, равна:
P
Распределение вероятностей исхода осуществляемых опытов в 5
Варианты исхода опытов Вероятность
(0) =
5
экспериментах с бросанием монеты
5!
0 !(5 – 0)!
0 0,03125
1 0,15625
2 0,3125
3 0,3125
4 0,15625
5 0,03125
× 0,55×0,50 = 0,03125.
Pn(k) = 1,0
Таблица 14
107
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Теперь предположим, что монеты бросают не 5, а 10 раз. Распределение соответствующих вероятностей показано на рисунке 21á. Это распределение также является симметричным. Муавр обобщил этот процесс для случая, когда число подбрасываний стремится к бесконечности, и описал аналитическое распределение вероятности с помощью следующей формулы:
2
(x – ☎)
1
–
2
p(x) =
2✂
✁
☎
e
✆
, (– < x < ), (25)
ãäå
(✂) – высота кривой (ордината) для данной точки õ распреде-
✂
ления или значение вероятности
✂
– знаменитое число Пифагора – «пи», которое выражает от-
;
✂
ношение длины окружности к ее диаметру и примерно рав-
íî 3,1416;
– число Эйлера, которое определяется как предел, к которо-
му стремится последовательность (1 + 1/
n
n)
, ãäå ✂ ✁ ✄, è ïðè-
мерно равно 2,7183;
– среднее значение распределения измерений;
✂
– стандартное отклонение распределения измерений.
✁
Из формулы (24) можно определить нужные нам вероятности
непосредственно или с помощью соответствующих таблиц. Формула (24) задает плотностную кривую (кривую плотности) нор-
мального распределения при случайном среднем
ном отклонении
. Известно, что многие переменные в социоло-
✁
и стандарт-
✂
гии принимают значения, которые имеют нормальную или близкую к нормальной форму распределения, но формы распределения не совпадают, потому что средние µ и стандартные отклоне-
у них различны.
íèÿ
✁
Чтобы сократить запись высказывания: «
пределение случайной величины с параметрами µ и
пользуется обозначение
X ~ N(✂,
2
).
✁
– нормальное рас-
✁
» часто ис-
✁
На рисунках 22–24 показаны три пары кривых нормального
распределения. У первой пары (рис. 22) одинаковые стандартные
отклонения, но различные средние.
108
5.2. Нормальная кривая
✆
Ðèñ. 22. Кривая плотности нормального распределения при
✁
✁
1
2
1
=
✆
;
2
Вторая пара (рис. 23) при различных средних имеет одинако-
вые стандартные отклонения, а в третьей паре (рис. 24) оба параметра различны. Ясно, что формула задает не отдельную кривую, а семейство кривых, которые имеют подобные свойства.
Очевидно, что функция плотности распределения зависит
от двух параметров
è ✁ (-✄ < µ < +✄;
✂
✁✁✁
> 0).
109
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Ðèñ. 23. Кривая плотности нормального распределения при
;
✆
1
=
✆
✁
✁
2
1
2
Ðèñ. 24. Кривая плотности нормального распределения при
110
✆
1
;
✆
✁
✁
2
1
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]