Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
3.2. Точные границы классового (группового) интервала
Таблица 5
Частотное распределение результатов экзамена по статистике
студентов-первокурсников.(групповые интервалы)
Групповой интервал Частота, f
20 – 24 1
25 – 29 2
30 – 34 7
35 – 39 18
40 – 44 22
45 – 49 42
50 – 54 30
55 – 59 37
60 – 64 15
65 – 69 6
Всего 180
Единственная разница между частотными распределениями,
показанными в таблице 4, и в таблице 5, это ширина классового интервала. Â первой таблице эта ширина составляет 1 единицу, а во второй – 5 единиц. Отметим, что независимо от того, что
вторая классификация дает данные обозримее и проще для интерпретации, налицо потеря специфичной информации, количество которой иногда может быть значительно. Например, по таблице 5 уже невозможно определить точное количество студентов, показавших результаты 65, 68 или 69 баллов. Единственно,
мы можем увидеть, что есть 6 студентов с результатами между
65 и 69 баллами.
3.2. Точные границы классового (группового) интервала
Возникают ситуации, когда важно знать точные границы
классового (группового) интервала. Предположим, что изучаемая переменная может рассматриваться как непрерывная (дробная), а не как дискретная (мы помним, что дробные значения могут округляться до целых, причем дробное значение меньше 0,50
округляется в меньшую сторону – «отбрасывается», а значение
больше 0,50 при округлении увеличивает значение переменной
до 1). Например, результаты экзамена по статистике студентовпервокурсников могут рассматриваться как наблюдение непрерывной случайной величины, можем ее назвать – «базовые зна-
41
3. Формы представления и описания данных
ния по социологии». Поскольку мы оперируем целыми числами, то, скажем, цифра 53 означает, по сути, число, которое близко к данному значению. В этом случае результат, равный 53 баллам, представляет в действительности число, которое может быть
как 53,2, так и 52,8, т. е. истинное значение лежит в интервале, заключенном от 52,5 и до 53,5. Следовательно, значения 52,5
и 53,5 представляют точные границы рассмотренного значения
53. В этой ситуации значения, которые расположены «до» или
«после» этих значений, будут отнесены к другим интервалам. Например, значение 53,7 запишется как 54.
Расширение логики концепции точных границ частотного распределения, определяет необходимость показать разницу между
понятиями границы наблюдения группового интервала и точные
границы. В таблице 5, например, интервал 50–54 представляет
границы наблюдения четырех интервалов, в то время как точные границы находятся между 49,5 – 54,5. В этом случае точ-
ные границы составляют 0,5 единицы до и после границ наблюдения группового интервала. Отметим, что если измерение совершается с наибольшей точностью, например, с точностью до ближайшей десятой, то идея точных границ остается справедлива.
Предположим, что границы измерения для заданного группового интервала 17,3 и 18,7. Точные границы для этого интервала
17,25 – 18,75. Таблица 6 иллюстрирует частотное распределение
результатов теста по статистике для 180 первокурсников в соответствии с точными границами è границами измерения.
Таблица 6
Частотное распределение результатов экзамена по статистике
студентов-первокурсников
Групповой интервал Точные границы
20 – 24 19,5–24,5 22 1
25 – 29 24,5–29,5 27 2
30 – 34 29,5–34,5 32 7
35 – 39 34,5–39,5 37 18
40 – 44 39,5–44,5 42 22
45 – 49 44,5–49,5 47 42
50 – 54 49,5–54,5 52 30
55 – 59 54,5–59,5 57 37
Средняя точка
интервала
Частота, f
42
3.2. Точные границы классового (группового) интервала
Окончание табл. 6
Групповой интервал Точные границы
60 – 64 59,5–64,5 62 15
65 – 69 64,5–69,5 67 6
Всего – – – 180
Средняя точка
интервала
Частота, f
Существует два основных правила для построения частотного
распределения, когда используют групповые интервалы, отличные от оригинальных измерений.
Первое правило: ширина интервала должна быть такого раз-
мера, чтобы использовать не более 10–20 интервалов, для охвата всех измерений. В нашем примере мы использовали 10 интервалов с шириной 5 единиц каждый. Если бы был использован
групповой интервал с шириной 3, то тогда были бы необходимы
16 интервалов для всех измерений. Это первое правило дает нам
возможность оперировать с небольшим количеством интервалов,
без потери информации о распределении измерения.
Ширину интервала (его шаг) и количество интервалов
(классов) определяют по формуле Стерджесса. Эта формула
имеет вид:
w = (x
max
–
(1+3,332 lg
x
min) /
n), (2)
ãäå
– наибольшее измеренное значение;
x
max
– наименьшее измеренное значение;
x
min
n – число наблюдаемых случаев;
lg – десятеричный логарифм (логарифм по основанию 10);
и 1 + 3,322 lg
n = m – количество интервалов.
При этом округление, как правило, осуществляется всегда
до целого числа в большую сторону. Например, в приведенном
выше случае
= 69,5 è x
x
max
= 19,5, n = 180 è lg180 = 2,255…
min
Соответственно:
m = 1 + 3,322 × 2,255 = 8,49,
округляя до целого в большую сторону получаем значение 9. Поэтому в данном случае следовало бы взять девять интервалов
с шагом, равным (69,5 – 19,5) 6 : 9 = 5,55, т. е. при округлении
до целого – равным 6. Но это не слишком удобно. Формула Стер-
43
3. Формы представления и описания данных
джесса, несмотря на ее точные значения, используется приблизительно. Все зависит от конкретной ситуации, и в нашем примере
нет ошибки при принятии числа интервалов равным 10, а шага
интервала – равным 5. Гораздо хуже было бы, сократив число
интервалов до 5, принять шаг равным 10 единицам. Тогда искажение результата было бы существенно большим по сравнению
с первоначальной информацией, собранной при сплошном опросе экзаменуемых студентов.
Второе
nравило: предпочтительно выбирать в качестве ши-
рины интервала нечетное число. Тогда средняя точка интервала
будет целое, а не дробное число. Средняя точка интервала определяется как точка, которая делит интервал пополам. В таблице
6 для первого интервала, к примеру, средняя точка равна 22. Это
правило служит для облегчения вычислений.
Средние точки интервалов рассмотренного примера приведены в таблице 6. Эти точки одни и те же независимо от того, используем ли мы точные границы или границы измерения.
3.3. Допущения для группового интервала с шириной
больше 1
Следует обратить внимание на допущения для группового интервала с шириной, большей 1. Когда ширина группового интервала больше 1, группировка наблюдаемых значений в классы ведет к потере известного количества информации относительно первоначально измеренных значений, поскольку абсолютная шкала заменяется нами на интервальную. Это выражается
не только в утрате точных индивидуальных измерений, но также
и в размывании различий между значениями, которые попадают
в один и тот же интервал. Для представления частотного распределения графически и для вычисления некоторых основных характеристик необходимо сделать два предположения.
Первое предположение состоит в том, что в каждом групповом
интервале измерения равномерно распределены между его точными границами. Например, в таблице 6 интервал 55–59, который имеет точные границы 54,5–59,5, попадают 37 значений измерений. Согласно выше сказанному предположению, эти 37 измерений будут распределены в интервале следующим образом:
44
3.4. Графическое представление частотного распределения
Интер-
âàë
Частота 7,4 7,4 7,4 7,4 7,4 37,0
54,5–55,5 55,5–56,5 56,5–57,5 57,5–58,5 58,5–59,5 Всего
Второе предположение связано с тем фактом, что если нуж-
но только одно число для представления интервала, то это число – средняя точка на данном интервале. Ранее мы уже определи
среднюю точку на интервале как точку, которая его делит пополам. В сущности, принимаем предположение, что все точки интервала могут быть адекватно представлены через среднюю точку интервала.
3.4. Графическое представление частотного
распределения
До сих пор мы определяли, классифицировали и представляли значения измерений для получения частотного распределения,
при этом не обсуждалась форма этого распределения. И оптимальный способ в этом случае – представить данные обобщения графически. Кроме того, графическое представление позволяет установить, что одни измерения не отличаются существенно от других или отсутствуют специфические размещения измерений в концах распределения. Независимо от того, что информация, которая может быть получена из графического изображения, ограничена количественно, анализ такого представления
предполагает понимание данных и иллюстрирует, как одно частотное распределение может отличаться от другого. Вид и форма графика зависят от сущности данных.
В общем случае графиками называются условные изображения числовых величин и их соотношений в виде различных геометрических образов: точек, линий, плоских фигур и т. п. График позволяет оценить характер изучаемого явления, присущие
ему закономерности и особенности, тенденции развития, взаимосвязь характеризующих его показателей.
Каждый график состоит из графического образа и вспомогательных элементов.
Графический образ – это совокупность точек, линий и фигур,
с помощью которых изображаются данные.
Вспомогательные элементы графика включают общее название графика, оси координат, шкалы, числовые сетки и числовые
45
3. Формы представления и описания данных
данные, дополняющие и уточняющие изображаемые показатели.
Вспомогательные элементы облегчают чтение графика и его ис-
толкование. Название графика должно кратко и точно раскры-
вать его содержание. Пояснительные тексты могут располагать-
ся в пределах графического образа или рядом с ним либо выно-
ситься за его пределы.
Оси координат с нанесенными на них шкалами и числовые
сетки необходимы для построения графика и пользования им.
Шкалы могут быть прямолинейными или криволинейными (круговыми), равномерными (линейными) и неравномерными. Иногда целесообразно применять так называемые сопряженные шка-
ëû, построенные на одной или двух параллельных линиях. Чаще
всего одна из сопряженных шкал используется для отсчета абсолютных величин, а вторая – соответствующих им относительных. Числа на шкалах проставляются равномерно, при этом последнее число должно превышать максимальный уровень показателя, значение которого отсчитывается по этой шкале. Числовая
сетка, как правило, должна иметь базовую линию, роль которой
обычно играет ось абсцисс.
Графики можно классифицировать по разным признакам: назначению (содержанию), способу построения и характеру графического образа.
Äëÿ неметрических èëè сгруппированных метрических дан-
íûõ целесообразно использовать:
1. Столбиковые диаграммы (рис. 2–3) – это графическое представление (относительных) частот в виде прямоугольников с одинаковой шириной и длиной, пропорциональной (относительной)
частоте. Столбиковая диаграмма может:
а) отражать распределение на случайные классы, как показа-
но на рисунке 2;
б) показывать сравнительное распределение по классам двух
или более генеральных совокупностей (например, по полу, по возрасту и т. д.), как это показано на рисунке 3;
в) служить индикатором измерения (отслеживать увеличение,
уменьшение) от одного класса к другому;
46
3.4. Графическое представление частотного распределения
Ðèñ. 2. Столбиковая диаграмма для данных из таблицы 6 (абсолютные
частоты) – общее распределение для мужчин и женщин
Ðèñ. 3. Столбиковая диаграмма для данных из таблицы 6 (абсолютные
частоты) – распределение по полу
47
3. Формы представления и описания данных
2. Круговые диаграммы представляют графическое соотноше-
ние между абсолютными или относительными частотами через
сектора круга. Площадь каждого сектора пропорциональна частоте соответствующего класса. На рисунке 4 изображен вариант
круговой диаграммы, который показывает одновременно распределения и абсолютных, и относительных частот.
Ðèñ. 4. Круговая диаграмма данных из таблицы 6 (абсолютные и отно-
сительные частоты в %)
Для представления метрических данных применяются:
1) Одномерная точечная диаграмма – это графическое изображение распределения значений переменной, при котором
каждому наблюдению, представленному в виде точки, соответствует его значение как (обыкновенно горизонтальная) отсечка,
при этом масштаб задан размахом измеренных значений переменной (рис. 5).
48
3.4. Графическое представление частотного распределения
Ðèñ. 5 Одномерная точечная диаграмма
2) Диаграмма типа «короб» (box-plot), которая часто еще на-
зывается «ящичной», – это графическое изображение меры расположения, т. е. медианы, и меры рассеивания, т. е. интерквартильного размаха
(эти оба термина будут рассмотрены далее).
Она позволяет наглядно представить возможные резко отличающиеся (анормальные) измерения, а также дает представление
о симметричности и «скошенности» распределения метрической
переменной.
Ðèñ. 6 Диаграмма типа «короб» (Box-plot), N = 180
На рисунке 6 показана такая диаграмма для переменной «Количество баллов», которые получены на экзамене, проведенном
у 180 студентов.
Утолщенной линией в средине
прямоугольника отмечена ме-
диана. Внутрь прямоугольника попадает 50 % измерений. Две
49
3. Формы представления и описания данных
горизонтальные линии под и над прямоугольником показывают
нижний и верхний квартили (с которыми также познакомим-
ся позже). Видно, что вертикальная линия под прямоугольником
длиннее той, что над ним. Это означает, что распределение лево-
направленное. Ящичная диаграмма наиболее часто используется
в ходе разведочного анализа, позволяя сократить время исследо-
вателя для определения наличия зависимостей изучаемой пере-
менной от предполагаемого фактора.
3) Диаграмма типа ствол-ëèñò (stem-and-leaf). Этот тип диаграммы обобщает информацию для формы распределения одной
метрической переменной. Поясним этот подход с помощью числового примера (рис. 7). Снова используем данные результата тестирования 180 студентов, показанные в таблице 1. Столбец «Frequency» показывает частоту случаев в каждом из классов (интервалов), в которые сгруппированы измерения. Имеем
10 классов. Столбец «Stem» показывает стебель, т. е. базу для
данного класса. Например: 3 – база для третьего и четвертого
класса. В нашем случае базу (стебель) нужно умножить на 10,
и это указано перед диаграммой, где дана ширина стебля (Stem
width: 10,0). После точек изображены листья, например, в третьем классе имеем 8 листьев (случаев), они суть следующие: первый равен 30 (3×10 + 0 = 30) баллам, второй и третий соответственно равны 32-м баллам (3×10 + 2), четвертый, пятый и шестой лист отвечают 33-м баллам, а седьмой, последний для этого
класса, лист равен 34-м баллам. По этому способу рассматриваются и другие классы. Диаграмма подтверждает вывод о смещении распределения влево.
50
Ðèñ. 7. Диаграмма типа «Ствол – лист»
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]