Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
2.7. Шкалы измерений
личные идентифицирующие символы. Переменной, обозначающей «класс обучения», которая имеет 11 групп, могут быть присвоены символы (например, цифры) «1», «2»… «11» или (буквы)
«А; Б… И». Примером номинального измерения может быть классификация людей в соответствии с их годом рождения. Но сравнение объектов внутри группы, как и между группами невозможно. Структура объектов группы не изменяется, если мы произведем обмен названий групп, например, вместо «мужской пол,
женский пол» будем использовать «юноши и девушки» и т. д.
Важным частным случаем номинальной шкалы, является
шкала, которая имеет только два класса. Такая шкала называется дихотомической (двоичной, бинарной). Так же называются и переменные, измеренные в этой шкале, такие как, например, пол (мужской, женский) или состояние здоровья (здоровые,
больные).
Основные свойства номинальной шкалы:
1. Наличие двух или более взаимно непересекающихся кате-
горий (классов, групп).
2. Категории (классы, группы) не могут сравниваться, потому
что нет способа упорядочивания. Это относится и к объектам разных классов, и к объектам внутри класса.
Другими словами, номинальная шкала просто классифициру-
ет, не определяя соотношения ни между категориями (классами,
группами), ни между объектами. Однако при рассмотрении сопряжения номинальных шкал мы получаем возможность с использованием методик статистического анализа извлекать очень
ценную информацию.
Второй, более информативной шкалой является порядковая
или ранговая шкала.
2.7.2. Ранговая шкала
Ранговая шкала (или порядковая шкала) занимает следую-
щий уровень в иерархии частоты использования шкал измерения. Эта шкала имеет по отношению к номинальной то преимущество, что позволяет осуществлять непосредственное сравнение объектов, но для этого объекты должны быть расположены
по порядку, т. е. ранжированы в соответствии с уровнем выраженности исследуемой характеристики (свойства). В этом случае
процедура измерения производится следующим образом: каждо-
31
2. Данные, переменные, измерение, шкалы
му объекту присваивается номер или символ, который зависит
от величины исследуемой характеристики. Например, мы можем использовать числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… или буквы A, B, C, D,
, F… для обозначения различных уровней выраженности иссле-
✂
дуемой характеристики в исследовании. Согласно этим обозначениям уровень (если, например, проводится изучение учебной
успеваемости студентов) будет означать самую высокую степень
владения материалом, а уровень F – самую низкую, или наоборот. Но по этой шкале тем не менее невозможно утверждать, что
разница между, например, è B равна разнице между B è C. В
ранговой шкале измерение, расстановку и нумерацию объектов
можно организовать по выраженности от высокой к низкой или
наоборот, но мы не можем вычислить величину разницы выраженности (уровень) ни между объектами вообще, ни даже между
двумя соседними объектами.
Основные свойства ранговой шкалы:
1. Наличие двух или более взаимоисключающих категорий
(объектов);
2. Категории имеют введенный логический (линейный) поря-
äîê;
3. Категории могут сравниваться в соответствии с величиной
выраженности характеристики, которая измеряется.
Первые две рассмотренные шкалы считают неметрическими,
а две представленные ниже – метрическими. Тут же стоить пояснить, что такое метрика. Мы это сделаем на примере интервальной шкалы.
2.7.3. Интервальная шкала
Интервальная шкала (или шкала равных интервалов) – это
следующий уровень иерархии шкал, если сравнивать их по частоте использования в социологии. Интервальная шкала имеет
как все свойства двух предыдущих шкал, так и дополнительное
свойство. Оно заключается в том, что разница между двумя значениями характеристики объекта в любой части шкалы является одинаковой, а это означает, что задан постоянный «шаг»
измерения (константа). Поэтому данная шкала называется шкалой с равными интервалами, так как задана единица измерения или, другими словами, метрика. В таком типе шкалы расстояние между любыми двумя точками известно. Начало отсче-
32
2.7. Шкалы измерений
та (начальная точка) на шкале относительно, например, температура может быть измерена двумя способами: и по Фаренгейту и по Цельсию, где 0° С
0° F. Отношение любых двух интерва-
лов независимо от единицы измерения, например, от 0° C = 32° F,
50° С = 122° F и т. д. Это просто означает, что можно легко
из одной шкалы перемещаться в другую в соответствии с формулой t°(C) = [t°(F) – 32°Ñ] × 5/9. Очевидно, нулю или начальной точке просто соответствует точка на шкале, она отнюдь не означает
отсутствие свойства объекта.
Основные свойства интервальной шкалы:
1. Наличие двух или более взаимоисключающих категорий
(объектов).
2. Категории имеют введенный логический (линейный) поря-
äîê.
3. Категории могут сравниваться в соответствии с величиной
характеристики, которая измеряется.
4. Одинаковые различия между характеристиками представ-
ляются как одинаковые расстояния между числами, которые соответствуют этим характеристикам.
5. Ноль – относительная точка шкалы, т. е. это просто точка
на шкале.
Теперь перейдем к четвертой, самой информативной из шкал.
2.7.4. Абсолютная шкала
Абсолютная шкала (или относительная шкала, или пропор-
циональная шкала, или шкала равных отношений) – это высший тип шкалы в информационном отношении. Однако она
не столь часто может быть использована в социологических исследованиях, поскольку далеко не все объекты и явления общественной жизни могут быть выражены количественно с достаточной для этого степенью точности. Данная шкала имеет все
свойства ранее рассмотренных шкал и еще одно важное свойство: «истинная» или абсолютная отправная точка, которая выражает полное отсутствие измеряемого параметра, такое как, например, 0 см = 0 дюймов = 0 м. Отношение любых двух значений на шкале не зависит от единицы измерения, например,
1 дюйм = 2,54 см, 12 дюймов = 30,48 см. Эта дополнительная характеристика позволяет не только сравнивать объекты между собой по их различиям, но и строить отношения между ними. На-
33
2. Данные, переменные, измерение, шкалы
пример, разница между 60 и 80 кг такая же, как между 70 и
90 кг, но объект, который весит 40 кг, в два раза тяжелее, чем
объект весом 20 кг. С другой стороны, если сравнивать с интервальной шкалой, мы не можем утверждать, что объект с температурой 50°С в два раза жарче, чем объект с температурой 25°С, поскольку в данном случае используются разные подходы к оценке реальности.
Основные свойства абсолютной шкалы:
1. Наличие двух или более взаимоисключающих категорий
(объектов).
2. Категории имеют введенный логический (линейный) поря-
äîê.
3. Категории могут сравниваться в соответствии с величиной
характеристики, которая измеряется.
4. Одинаковые различия между характеристиками представляются как одинаковые расстояния между числами, которые соответствуют этим характеристикам.
5. Ноль – абсолютная точка на шкале, т. е. она означает отсутствие измеряемой характеристики.
Вышеизложенное о типах шкал измерений, дает нам возможность определить целесообразность применения той или иной
шкалы и может быть обобщено следующим образом:
– номинальная шкала предназначена для классификации объектов по виду признака, это шкала без сравнивающих правил;
– ранговая шкала предназначена для сравнения и ранжирования объектов по уровню признака, это шкала с заданным линейным порядком;
– интервальная шкала предназначена для определения разницы между уровнями признака, это шкала с линейный порядком
и с дополнительным набором: единицей измерения и относительным началом координат;
– абсолютная шкала, предназначена для определения отношения между уровнями признака, это шкала с линейным порядком, а также с единицей измерения и абсолютным началом этого измерения (нулем).
34
3. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И ОПИСАНИЯ ДАННЫХ
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ: асимметричное распределение, границы
наблюдения, квартили, классовый (групповой) интервал, кумулятивная частота, нормальная кривая, огива, процентильный ранг, процентильный размах, ранговое распределение, симметричное распределение,
средняя точка интервала, точные границы, гистограмма, частотный полигон, частотное распределение.
Полученное в результате измерения множество значений переменной, интерпретирующее уровни свойства (характеристики)
изучаемого объекта, необходимо представить в виде, удобном для
дальнейшей обработки – анализа и интерпретации. Существуют
различные варианты представления значений переменной, рассмотрим их.
Для представления информации необходимо определить принцип логической упорядоченности, и зачастую – это разделение
полученных данных по какому-либо критерию, например, по частоте встречаемости (повторяемости) рассматриваемого числового значения. По форме представления значения переменной могут быть включены в текст, представлены в виде таблиц или выражены графически.
Данные любого исследования в социологии обыкновенно состоят из последовательности чисел, которые представляют измерение рассматриваемых переменных. Если, например, мы осуществили проверку математических способностей 180 студентов
с помощью подходящего теста, то получили в результате 180 чисел, каждое из которых характеризует математические способности конкретного студента. Рассмотрим полученное множество,
состоящее из этих 180 чисел. При этом обращает на себя внимание, что почти невозможно сделать определенный вывод на базе
только этих данных, не прибегая к использованию некоторой логической процедуры для их организации и обобщения. Одной
из простейших процедур для представления и описания данных
с целью получения ясной картины является частотное распределение.
35
3. Формы представления и описания данных
3.1. Частотное распределение
Частотное распределение – это такое расположение данных,
которое показывает, сколько раз данное значение признака или
группа значений повторяется.
Зачем нужно исследователю строить частотное распределение
группы измерений или наблюдений? Получение частотного распределения случайной переменной систематизирует данные и показывает некоторые стороны ее сущности. Частотное распределение не в состоянии раскрыть информационное содержание данных, но может дать направление для их анализа.
Предположим, что мы измерили результаты, которые показали 180 студентов первокурсников на экзамене по статистике.
Для наглядности эти результаты можно представить в порядке
возрастания (убывания) их значений (по величине). Такое упорядоченное множество называется вариационным рядом. Когда
имеется достаточно большой объем данных, то применяют табулирование – данные представляются в виде таблицы определенного вида.
Данные рассматриваемого примера сведены в таблице 1 в том
порядке, в котором они были получены.
Таблица 1
Результаты экзамена по статистике студентов-первокурсников
68 52 69 51 43 36 44 35 54 57 55 56
55 54 54 53 33 48 32 47 47 57 48 56
65 57 64 49 51 56 50 48 53 56 52 55
42 9 41 48 50 24 49 25 53 55 52 56
64 63 63 64 54 45 53 46 50 40 49 41
45 54 44 55 63 55 62 56 50 46 49 47
56 38 55 37 68 46 67 45 65 48 64 49
59 46 58 47 57 58 56 59 60 62 59 63
56 49 55 50 43 45 42 46 53 40 52 41
42 33 41 34 56 32 55 33 40 45 39 46
38 43 37 44 54 56 53 57 57 46 56 45
50 40 49 39 47 55 46 54 39 56 38 55
37 29 36 30 37 49 36 50 36 44 35 45
42 43 41 42 52 47 51 46 63 48 62 49
53 60 52 61 49 55 48 56 38 48 37 47
36
3.1. Частотное распределение
Рассматривая эту таблицу, едва ли возможно сделать какие-
то однозначные выводы. Кроме того, даже представляет затруднение быстро определить наибольшее и наименьшее из измеренных значений.
В качестве первого шага в организации данных необходимо
их переставить или ранжировать от наибольшего к наименьшему значению (возможны ситуации, когда целесообразно ранжировать от наименьшего значения к наибольшему).
Такое расположение, показано в таблице 2, оно известно под
названием распределение рангов или просто ранговое распределе-
íèå. Этот шаг нам обеспечивает следующие возможности:
1) выравнивание подобных значений, расположение их рядом
одно за другим так, чтобы их частота могла быть определена просто;
2) стало ясным, какое значение является наибольшим, а ка-
кое – наименьшим;
3) каждое измерение получает ранг сообразно месту, которое
оно занимает в этом ряду, начиная с 1-го и заканчивая номером
последнего измерения.
Таблица 2
Расположение в нарастающем порядке результатов экзамена
по статистике студентов-первокурсников (ранговое распределение)
24 36 40 43 46 48 49 52 54 56 57 63
25 37 40 44 46 48 49 52 54 56 57 63
29 37 41 44 46 48 50 52 55 56 57 63
30 37 41 44 46 48 50 53 55 56 57 63
32 37 41 44 46 48 50 53 55 56 58 63
32 37 41 45 46 48 50 53 55 56 58 64
33 38 41 45 47 49 50 53 55 56 59 64
33 38 42 45 47 49 50 53 55 56 59 64
33 38 42 45 47 49 50 53 55 56 59 64
34 38 42 45 47 49 51 53 55 56 60 65
35 39 42 45 47 49 51 54 55 56 60 65
35 39 42 45 47 49 51 54 55 56 61 67
36 39 43 46 47 49 52 54 55 56 62 68
36 40 43 46 48 49 52 54 55 57 62 68
36 40 43 46 48 49 52 54 56 57 62 69
37
3. Формы представления и описания данных
Таблица 3
Расположение в нарастающем порядке результатов экзамена
по статистике студентов-первокурсников (ранговое распределение)
¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã
1 24 1 46 43 44,5 91 49 91,5 136 56 141,5
2 25 2 47 44 48,5 92 49 91,5 137 56 141,5
3 29 3 48 44 48,5 93 50 96 138 56 141,5
4 30 4 49 44 48,5 94 50 96 139 56 141,5
5 32 5,5 50 44 48,5 95 50 96 140 56 141,5
6 32 5,5 51 45 54 96 50 96 141 56 141,5
7 33 8 52 45 54 97 50 96 142 56 141,5
8 33 8 53 45 54 98 50 96 143 56 141,5
9 33 8 54 45 54 99 50 96 144 56 141,5
10 34 10 55 45 54 100 51 101 145 56 141,5
11 35 11,5 56 45 54 101 51 101 146 56 141,5
12 35 11,5 57 45 54 102 51 101 147 56 141,5
13 36 14,5 58 46 62 103 52 105,5 148 56 142
14 36 14,5 59 46 62 104 52 105,5 149 57 151,5
15 36 14,5 60 46 62 105 52 105,5 150 57 151,5
16 36 14,5 61 46 62 106 52 105,5 151 57 151,5
17 37 19 62 46 62 107 52 105,5 152 57 151,5
18 37 19 63 46 62 108 52 105,5 153 57 151,5
19 37 19 64 46 62 109 53 112 154 57 151,5
20 37 19 65 46 62 110 53 112 155 58 155,5
21 37 19 66 46 62 111 53 112 156 58 155,5
22 38 23,5 67 47 70 112 53 112 157 59 158
23 38 23,5 68 47 70 113 53 112 158 59 158
24 38 23,5 69 47 70 114 53 112 159 59 158
25 38 23,5 70 47 70 115 53 112 160 60 160,5
26 39 27 71 47 70 116 54 119 161 60 160,5
27 39 27 72 47 70 117 54 119 162 61 162
28 39 27 73 47 70 118 54 119 163 62 164
29 40 30,5 74 48 77,5 119 54 119 164 62 164
30 40 30,5 75 48 77,5 120 54 119 165 62 164
31 40 30,5 76 48 77,5 121 54 119 166 63 168
32 40 30,5 77 48 77,5 122 54 119 167 63 168
33 41 35 78
48 77,5 123 55 128,5 168 63 168
34 41 35 79 48 77,5 124 55 128,5 169 63 168
38
3.1. Частотное распределение
Окончание табл. 3
¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã ¹ çíà÷. ðàíã
35 41 35 80 48 77,5 125 55 128,5 170 63 168
36 41 35 81 48 77,5 126 55 128,5 171 64 172,5
37 41 35 82 49 86,5 127 55 128,5 172 64 172,5
38 42 40 83 49 86,5 128 55 128,5 173 64 172,5
39 42 40 84 49 86,5 129 55 128,5 174 64 172,5
40 42 40 85 49 86,5 130 55 128,5 175 65 175,5
41 42 40 86 49 86,5 131 55 128,5 176 65 175,5
42 42 40 87 49 86,5 132 55 128,5 177 67 177
43 43 44,5 88 49 86,5 133 55 128,5 178 68 178,5
44 43 44,5 89 49 86,5 134 55 128,5 179 68 178,5
45 43 44,5 90 49 86,5 135 56 141,5 180 69 180
Таким образом, два или несколько одинаковых измерений получают ранг, равный среднему значению мест, которые они занимают. Таблица 3 дает представление о соотношении значений
и их рангов, исходя из повторяемости значений измерений.
Для определения интервала, занимаемого всеми полученными значениями, рассматривают параметр, называемый размах
распределения, который можно определить следующим образом:
–
= 45. (1)
max
x
min
è
– соответ-
x
max
min
ãäå
R обозначает размах распределения, а x
R = x
ственно наибольшее и наименьшее измеренные значения. Из данных таблицы 2 получаем:
R = 69 – 24 = 45.
Хотя размах распределения вычисляется сравнительно просто, на практике он используется для описания рассеивания данных сравнительно редко из-за явно присущих ему недостатков:
1) в расчете не используются непосредственно значения всех
наблюдений, а только двух – наименьшего и наибольшего;
2) зависит от количества наблюдений и может увеличиваться
с нарастанием числа измерений, но, очевидно, не может никогда уменьшаться;
3) наличие анормальных наблюдений (экстремальных значений, которые существенно отличаются от близких по рангу измерений), существенно влияют на размер размаха.
39
3. Формы представления и описания данных
Следующий шаг – получить частотное распределение в таком
виде, как это представлено в таблице 4. В этой таблице показаны
частоты всех измеренных значений: есть одно значение – 69 баллов, два значения по 68 и т. д. В этом случае данные объединяются в столько классов, сколько имеем различных значений. Описанные выше два шага дают начальное представление о характере данных, но очень часто требуется использование укрупненной
классификации, особенно в случае, когда произведено много различных измерений. Это делает данные нагляднее и проще для
последующей обработки.
Таблица 4
Частотное распределение результатов экзамена по статистике
✂✁✄☎✆✝✞
Измерение Частота, f Измерение Частота, f Измерение Частота, f
69 1 54 7 39 3
68 2 53 7 38 4
67 1 52 6 37 5
66 0 51 3 36 4
65 2 50 7 35 2
64 4 49 11 34 1
63 5 48 8 33 3
62 3 47 7 32 2
61 1 46 9 31 0
60 2 45 7 30 1
59 3 44 4 29 1
58 2 43 4 28 0
57 6 42 5 27 0
56 14 41 5 26 0
55 12 40 4 25 1
– – – – 24 1
-первокурсников
Количество классов может быть уменьшено, если объединяются несколько измеренных значений интервала, который включает, например, все баллы от 69 до 65. Такие интервалы называются классовыми интервалами или просто классами. Частотное
распределение, которое использует классовый интервал с шириной 5 единиц, показано в таблице 5.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]