Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математической статистики в социальных науках (описательная статистика). Учебник
.pdf
5.2. Нормальная кривая
Из определения нормального распределения следует, что оно
симметрично относительно
1
функция достигает максимального значения. Спрямление
2✂
✁
☎
плотностной кривой (или ее наклон) зависит от
, ò. å. f (x – ✂) = f [ – (x – ✂)], и в точке
✂
.
✁
5.2.2. Свойства нормального распределения
1. Нормальное распределение полностью характеризуется
и зависит от двух параметров ✂ è
2
. Обозначение
✁
N(✂,
2
) полно-
✁
стью описывает распределение.
2. Среднее значение равно
3. Дисперсия –
2
, а стандартное отклонение –
✁
4. Распределение симметрично относительно
ное (с вершиной и максимумом в
.
✂
.
✁
, одномодаль-
✂
) и имеет колоколообразную
✂
форму.
5. При фиксированном значении
ê
такое, что
✂
2
<
✂
✂
1
2
, то перемещение происходит вправо.
>
✂
, сдвигает кривую вдоль оси ОХ влево. Если
✂
1
2
6. При фиксированном значении
, изменение значения ✂ îò
✁
изменение ✁ îò
✂
ê
✁
✁
1
èç-
2
✂
менит крутизну (угол наклона ветвей) кривой: при увеличении
неравенства
рот, при уменьшении
ми словами, уменьшение
>
✁
, кривая становится более крутой, и, наобо-
✁
1
2
<
✁
кривая становится пологой. Други-
✁
1
2
, (соответственно и дисперсии), делает
✁
кривую распределения более сжатой, и, наоборот, увеличение делает кривую распределения широкой.
7. Нормальная кривая непрерывна, т. е. кривая определена
для каждого значения аргумент x.
8. Нормальная кривая асимптотична относительно оси ОХ.
Это означает, что кривая никогда не коснется и не пересечет эту
ось, какие бы большие (удаленные от начала отсчета) значения
переменной ни рассматривались и какое бы значение среднего
ни определялось. Далее будет показано, что практически вероятность измерения находящегося на расстоянии больше трех стандартных отклонений от среднего (правило трех сигм), ничтожно
мала. Теоретически это объясняется асимптотическим поведением кривой.
9. Интервалы около средней с длинной
, 2✁ è 3✁, соответ-
✁
ственно составляют 68,27 %, 95,45 % и 99,73 % общей величи-
111
1
5. Стандартные значения и нормальная кривая
ны вероятности данной точки, лежащей в этом интервале. Иными словами:
P(✂ – ✁ < ✂ < ✂ + ✁)= 0,6827,
P(✂ – 2✁ < ✂ < ✂ + 2✁)= 0,9545,
P(✂ – 2✁ < ✂ < ✂ + 2✁)= 0,9973.
На самом деле
P (✂ – 1,96 ✁ < µ < ✂ + 1,96 ✁) = 0,95. Важность
этого свойства нормального распределения станет ясной при применении этого распределения для решения практических задач.
2
Y = aX + b (ãäå a è b действительные
10. Åñëè
числа), то
X ~ N (✂,
Y ~ X (
✂
) è
✁
+ b, (a✁)
✂
2
), т. е. если подвергнуть нормальное
распределение линейным преобразованиям, то новое распределение также будет нормальным со средним
a✂ и дисперсией a
2✁2
Этот факт является очень полезным, когда нужно найти вероятность нормального распределения. Предположим, что
2
) и необходимо определить для указанных фиксированных дей-
✁
ствительных чисел
возможных комбинаций
a è b вероятность p (a < x < b). Очевидно, что
è ✁ бесчисленное множество и необхо-
✂
X ~ N (✂,
димо ввести понятие стандартной нормальной кривой.
5.3. Стандартная нормальная кривая
Понятие семейства нормальных кривых является важным,
прежде всего, из-за того, что позволяет нам работать с любым
числом переменных с нормальным распределением, независимо от того, какое у них среднее, и того, какое у них стандартное отклонение. В то время, когда для проведения расчетов использовали только таблицы, не представлялось возможным разработать таблицы для всех произвольных комбинаций и среднего и стандартного отклонения распределения. В настоящее время повсеместно используются компьютеры, что упрощает задачу и позволяет производить расчеты для любых значений и среднего и стандартного отклонения. Становится очевидной необходимость какого-то «стандартного» нормального распределения,
которое может быть использовано для любого нормального распределения случайной величины. Такое нормальное распределение существует и основано на концепции стандартного значения.
Стандартное нормальное распределение (иногда называемое еще
единичное нормальное распределение) – это распределение, кото-
112
.
5.2. Нормальная кривая
рое получается, когда стандартные значения нормально распределены.
Согласно свойству 10, случайная переменная Z =
X –
✁
✂
íîð-
мально распределена, когда X нормально распределена. Кумулятивную функцию распределения Z часто обозначают через ✁. Получаем:
F
(x) = p(
x
✁ ✂
) = p(
X –
x –
✂
✁
✁
✁
✂
) = p(
✄ ✁
x –
✂
) = ✁( ),
✁
x –
✁
✂
è
p(a < x < b) = F
Случайная переменная
(b) – Fx(a) = ✁( ) – ✁( ).
x
b –
✁
z называется стандартной нормальной
a –
✂
✂
✁
случайной переменной и z ~ N (0, 1). Из вышеприведенного равен-
ства следует, что вероятность нормально распределенной случайной величины X ~ N (✂,
2
) может быть представлена через вероят-
✁
ность стандартной нормальной величины. Это очень полезно, так
как дает возможность табулировать только значения случайной
переменной
z ~ N(0, 1).
Например, посмотрим на результаты социологического теста.
Если мы заранее трансформировали все измерения к стандартным значениям, то распределение этих измерений будет ñòàí-
дартным нормальным распределением. Это распределение, очевидно, будет иметь такую же форму, как и то, которое выражено с помощью формулы (24), но в нем среднее необходимо заменить на 0, а дисперсию и стандартное отклонение – соответственно на 1. Получим следующую формулу стандартного нормаль-
ного распределения:
2
(z – ☎)
1
–
2
p(x) =
2✂
✁
☎
e
✆
, (– < z < ) , (26)
ãäå
z – данное стандартное значение, которое показывает расстояние от исходного измерения до среднего в метриках этого
стандартного отклонения;
p(z), ✂ è определяются таким же образом, как и в форму-
ëå (25).
113
5. Стандартные значения и нормальная кривая
5.3.1. Применение стандартной нормальной кривой
Когда мы уверены, что переменная является нормально распределенной с заданными средним и стандартным отклонением,
стандартная нормальная кривая может быть использована как
важный инструмент при описании распределения. Например,
стандартная нормальная кривая может быть использована при
определении относительных долей измерения, которые попадают
между двумя точками распределения, для определения нужного
процентиля или для определения процентильного ранга данной
точки измерения.
Предположим, что мы хотим понять, что относительная доля
измерений, лежащих до (левее) среднего, меньше или равна среднему значению. Математически это означает интегрирование
функции плотности (задается с помощью формулы (25)) в границах от –
до 0. Следовательно, выражение
✄
0
e
–
✁
☎
2
z
1
–
2
dz = 0,50
2✂
показывает, что 0,50 или, иначе говоря, половина измерений
расположены до среднего значения. Вместо того чтобы вычислять это сложное выражение, можно воспользоваться соответствующими таблицами. В этом случае необходимо использовать
таблицу «Значения нормальной кривой» (прил. 2), которая содержит для данной величины z соответствующие значения ординаты и площади фигуры под кривой стандартного нормального
распределения от -✄ до выбранной точки.
Рисунок 25 иллюстрирует использование этой таблицы для
определения ординат нормальной кривой для нескольких значений z. Например, ордината средней (z = 0) равна 0,3989. Для
z = +1, p(z) = 0,2420 è äëÿ z = +2,0, p(z) = 0,0540. Так как данная
кривая симметрична, то эти значения будут те же, и для z = –1
è
z = –2,0 соответственно. Вспомним асимптотическое свойство
этой кривой – она стремится к оси
, но никогда не пересека-
✂
✁
åò åå.
114
5.2. Нормальная кривая
Ðèñ. 25. Ординаты нормальной кривой для z = 0, ± 1, ± 2
Рисунок 26 иллюстрирует использование таблиц для опреде-
ления площади фигуры, которую ограничивают перпендикуляры, поднятые от средней и данного стандартного значения.
Ðèñ. 26. Вид площади под нормальной кривой для z = 0, ±1, ±2
Предположим, что мы хотим определить ту часть площади
под кривой, которая расположена между точками
z = 0 è z = +1.
115
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Из таблицы видно, что площадь от -✄ äî +1 ýòî 0,8413, à îò -✄
до 0 она равна 0,500. Тогда интересующая нас площадь будет
разницей между этими значениями, или, иначе говоря, будет
равна 0,8413 – 0,5000 = 0,3413. Получается, что примерно 34 %
от всей площади поверхности под кривой заключено между средним значением и стандартным отклонением от него. Аналогичным образом мы можем определить, что в интервал между
z = +2,0 падает 0,4772, или 47,7 % всей площади, а между
и
точками
z = 0 è z = +3,0 лежит 0,4987, что составляет пример-
z = 0
íî 49,9 %.
Обратим внимание еще раз на то, что из-за симметричности
кривой, площадь между
z = 0 è z = –1 равна площади между
z = 0 è z = +1, т. е. 0,3413. Таким образом, площадь между точ-
z = –1 è z = +1 составит 0,3413 + 0,3413 = 0,6826, или
ками
примерно 68 % от всей площади. Этот же результат получается и при непосредственным использовании таблиц. То же значение получается и при разнице 0,8413 – 0,1587 = 0,6826. Аналогичным образом устанавливается площадь, заключенная меж-
z = –2 è z = +2, она будет равна 0,4772 + 0,4772 = 0,9544,
ду
или примерно 95 % от всей площади, в то время как между
z = –3 è z = +3 будет лежать 0,49865 + 0,49865 = 0,9973, что составляет 99,7 % от всей площади. Важно отметить, что площадь
поверхности для
z-значений, меньших чем –3,0 и больших чем
+3,0, ничтожно мала (она равна около 0,0026), и, следовательно, для практических целей представляется важным так называемое «правило трех сигм», т. е. маловероятно, чтобы наблюдались нормальные значения вне интервала (–3, +3) или – за пределом трех стандартных отклонений по обе стороны от среднего. Любое значение для
z вне этого интервала «подозрительно»
и должно быть проанализировано дополнительно. Практика социологических исследований показывает, что чаще всего это связано с малым количеством респондентов, попавших в анализируемые ячейки таблицы.
Определение относительных долей (частот). Пусть дано
распределение, представленное стандартизированными измерениями, полученными в социологическом тесте, в котором приняли участие 15 000 человек. Предположим, что результаты
нормально распределены и необходимо определить относительную долю случаев, которые попадают в интервал, ограниченный
116
5.2. Нормальная кривая
точками z = –0,5 è z = +1,5, т. е. надо узнать, где лежит половина стандартного отклонения ниже среднего и одно и половина стандартного отклонения выше среднего. Графически данный пример иллюстрируется на рисунке 26. С помощью таблицы определяем, что площадь поверхности от -✄ äî z = –0,5 ðàâíà 0,3085 è îò -
äî z = +1,5 равна 0,9332 соответственно. Раз-
✄
ность этих двух значений даст искомую площадь. Получаем:
0,9332 – 0,3085 = 0,6247. Или – примерно 62,5 % всех измерений лежит в интервале с левой границей, определенной как среднее минус половина стандартного отклонения, и правой границей, определенной как среднее плюс 1,5 стандартных отклонения. Полученный выше результат может быть использован для
определения через
z-значения ожидаемого числа наблюдений, ко-
торые попадают в этот интервал.
Так, предположим, что имеется 1 529 наблюдений (табл. 13.1),
тогда 1529 × 0,6247 = 955,2, или примерно 955 наблюдений лежат в диапазоне (z = –0,5, z = +1,5).
Èëè, допустим, имеется 15 000 наблюдений, тогда
15000 × 0,6247 = 9370,5, т. е. примерно 9 371 наблюдений лежит
в диапазоне (
z = –0,5, z = +1,5).
Рассмотрим еще один пример. Пусть необходимо определить
число результатов, которые лежат в диапазоне (среднее плюс
1 сигма –
z = +2,0. Из таблиц определим площадь от -✄ äî z = +1,0 è îò -✄
è
z = +2,0 и их разница даст запланированную площадь. Полу-
äî
x
+✁; среднее плюс 2 сигмы – x + 2✁), т. е. между z = +1,0
чаем: 0,9772 – 0,8413 = 0,1359, или около 13,6 % измеренных
результатов попадают в интервал между одним стандартным отклонением и двумя стандартными отклонениями правее (больше)
среднего. Это соответствует 0,1359 × 1529 = 207,79, или примерно 208 ожидаемым значениям измерений в этом интервале.
В другом нашем примере с 15 000 наблюдений 13,6 % изме-
ренных результатов попадут в интервал между одним стандартным отклонением и двумя стандартными отклонениями правее
(больше) среднего, что соответствует 0,1359 × 15000 = 2038,50,
или примерно 2 039 ожидаемым значениям измерений в этом интервале.
Определение процентилей и процентильных рангов. Òà-
блица значений стандартной нормальной кривой может быть использована еще и для легкого определения
k-го процентиля или,
117
5. Стандартные значения и нормальная кривая
наоборот, соответствующего данному значению процентильному
рангу. Напомним, что
торого лежат
k процентов измерений, а процентильный ранг дан-
k-й процентиль – это то измерение, до ко-
ного измерения есть точка на процентной шкале, которая соответствует проценту измерений, лежащих ниже (до) данного измерения.
Предположим, что необходимо определить, 84-й и 28-й процентили распределения из 15000 измерений какого-то параметра. Перейдем от процентов к частям от единицы, тогда 84 % будет соответствовать 0,84, а 28 – 0,28. В таблице в графе «Площадь» нет точного значения равного 0,84, но есть два наиболее
близких значения: 0,8413 и 0,8389. Этим значения соответствуют z-аргументы 1,00 и 0,99. Мы можем использовать линейную
интерполяцию, и определить, что именно в 84 % случаев будет
находиться слева от
Z = +0,995. Теперь предположим, что средний результат для этих 15000 измерений равен 85, а стандартное
отклонение равно 20. Применим формулу (20), определим 84-й
процентиль по исходной шкале:
=
✂
✂
+ x
✄
✁
= 20 × 0,995 + 85 = 104,90, èëè 105.
✂
Аналогичным образом можем определить и 28-й процентиль.
Из таблицы получаем, что 28-й процентиль равен 0,583. Другими словами, 28 % площади будет лежать слева от
z=–0,583. Снова мы можем использовать формулу (20) и найти нужный процентиль по шкале:
✂
✄
=
+ x
✂
✁
= 20 × (–0,583) + 85 = 73,34, èëè 74.
✂
Описанный метод может служить для определения процентильного ранга, если задано процентильное значение. Предположим, что мы должны найти процентильный ранг измерения
102-го в стандартизированном тесте оценки достижений в учебе. Первый шаг – необходимо определить стандартные значения
z-значения) и после этого обратиться к таблице, чтобы найти,
(
какая часть площади поверхности под кривой лежит слева от вычисленного z-значения. Пусть, среднее равно 85, а стандартное
отклонение равно 20 баллам. Получим:
z = (102 – 85)/20 = +0,85.
Из таблицы мы находим, что это соответствует 0,8023. Таким образом, 80,23 % от всей площади будет лежать слева от
z = 0,85,
что соответствует процентильному рангу, равному 80.
118
5.2. Нормальная кривая
5.3.2. Дискретные распределения, аппроксимированные кривой
нормального распределения
Биномиальное распределение. Нормальное распределение может быть использовано для аппроксимирования (приближения)
биномиального распределения (формула 24), когда число испытаний
n возрастет и вероятность успеха в отдельных опытах p áëèç-
ка к 0 или 1. Аппроксимация очень хороша, если оба значения
np è np = n(1 – p) больше 5. Биномиальная случайная переменная
x для достаточно больших n приблизительно нормально распреде-
2
pqn = p(1 – p)n. Ñòàí-
лена со средним µ =
np и дисперсией
=
✁
дартная нормальная переменная (см. формула 19) в этом случае
при произвольно взятом значении
– x
x
i
Z =
✁
r:
r – np
= . (27)
(1 – p)
✝✞
☎
Расnределение Пуассона. Распределение пуасоновой случайной величины
x для достаточно больших значений n, где произведение общего числа событий на их вероятность сохраняет постоянное значение (
= np) при количестве ожидаемых событий
✂
k, каждое из которых маловероятно,
P
n
(k) =
приближается к нормальному распределению со средним
/k!,
. Ñòàí-
✂
ke–
✂
дартная нормальная случайная величина для данного значения
будет записана, как:
✂
✁✄✄r☎✂✆
. (28)
☎
✂
Поправки для непрерывности. Оба распределения (биномиальное и Пуассоново) являются дискретными вероятностными распределениями, а нормальное распределение является непрерывным вероятностным распределением. Когда дискретное распределение аппроксимируется через непрерывное, всегда допускается какая-то погрешность. По этой причине вводится так называемая поправка для непрерывности, которая делает ошибку приемлемо маленькой. Поправка для непрерывности имеет вид 1/2
(или 1/2
n, когда идет речь об относительных долях). Эта поправка извлекается из абсолютного значения числителя в выражении
для стандартной случайной величины, т. е. из числителей формул (24) и (25).
119
5. Стандартные значения и нормальная кривая
Мы проиллюстрировали необходимость использования стандартных значений (или z-значений), для описания положения
индивидуального измерения в распределении. Использование
z-значений рекомендуется в связи с тем, что шкала, по которой
они измеряются, это интервальная шкала с фиксированной единицей измерения, где могут сравниваться как значения внутри
данного распределения, так и значения разных распределений.
Стандартные значения используются также и в том случае, если
нужно определить взвешенное среднее нескольких испытаний.
Нормальная кривая представляется как алгебраическое выражение, которое на самом деле задает семейство подобных кривых. Это означает, что каждой комбинации из значений среднего
и стандартного отклонения соответствует отдельная кривая. Как
следствие, возникает понятие стандартного нормального значения или z-значения, связанного с конкретным семейством кривых, а следовательно, возникает и идея стандартной нормальной кривой. Стандартная нормальная кривая представляет собой нормальное распределение значений, у которого среднее равно нулю и стандартное отклонение равно единице (формула 25).
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]